高中数学单元测试——第一章集合与常用逻辑用语（适中版01）

**基本信息** 高中数学第一章集合与常用逻辑用语单元复习卷，覆盖集合关系、逻辑用语等核心知识，通过基础题到创新探究题的梯度设计，培养抽象能力、推理能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合关系（1）、空集判断（2）、命题否定（3）|基础巩固，聚焦概念辨析| |多选题|3/18|集合表示（9）、充要条件（10）|多角度考查，培养推理意识| |填空题|3/15|集合运算（12）、Venn图应用（13）|情境简洁，强化符号意识| |解答题|5/77|集合元素个数（15）、新定义性质P（19）|综合应用，发展创新意识|

高中数学单元测试 —— 第一章 集合与常用逻辑用语（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知命题有些实数的相反数是正数，则是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知集合为小于6的质数，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知，则的非空真子集的个数为（   ） A．7 B．6 C．3 D．2 6．（本题5分）设集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 8．（本题5分）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 10．（本题6分）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 11．（本题6分）已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知，若，则________ 13．（本题5分）若集合，，，则如图中的阴影部分表示的集合为______. 14．（本题5分）已知命题，使为真命题，则实数m的取值集合为B，若为非空集合，且是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______． 四、解答题 15．（本题13分）已知全集，. (1)若中有个元素，求实数的值； (2)若中有四个元素，求实数的值. 16．（本题15分）已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 17．（本题15分）设集合，集合． (1)若，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 19．（本题17分）对于由个正整数构成的集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”． (1)判断集合是否具有“性质”，并说明理由； (2)证明：五元正整数集合不具有“性质”； (3)证明：若集合具有“性质”，则为奇数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 集合与常用逻辑用语（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】因为，所以，，故A对，BCD都错. 故选：A. 2．（本题5分）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 3．（本题5分）已知命题有些实数的相反数是正数，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】已知有些实数的相反数是正数，即，则. 故选：B 4．（本题5分）已知集合为小于6的质数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先求集合M，再结合并集可直接求解得到结果. 【详解】由题意可知：，所以. 故选：D. 5．（本题5分）已知，则的非空真子集的个数为（   ） A．7 B．6 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由条件根据补集的定义求，再列出其非空真子集，由此确定结论. 【详解】因为，又 所以， 集合的非空真子集有，，，，，，共个， 故选：B. 6．（本题5分）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集运算得，再根据交集运算求解即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以 故选：B 7．（本题5分）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【分析】利用判断命题的真假，举出实例，得到为真命题. 【详解】 由，得是真命题，是假命题； 命题，时，，， 故满足，为真命题. 故选：A. 8．（本题5分）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令或，，是的充分不必要条件可得真包含于，可求解. 【详解】令或，， 因是的充分不必要条件，可得真包含于， 可得. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 10．（本题6分）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断 【详解】对于A：若，，或， 则至少含有一个元素，； 若，则不一定有，比如时，，； 因此“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B：或， 若，则必有；若，则不一定有， 比如时，，不是的子集， 因此“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C：若中只有一个元素，则，当，且时，， 即“中只有一个元素”不是“”的充分条件，C错误； 对于D：若，则， 此时，不是的子集； 若，则，，但 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，D正确； 故选：ABD. 11．（本题6分）已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合Venn图逐项判断即可. 【详解】 由Venn图知： ，当时也成立，A正确； ，当时也成立，B错误； ，当时也成立，C正确， ，当时也成立，D正确， 故选：ACD 三、填空题 12．（本题5分）已知，若，则________ 【答案】 【分析】对进行分类讨论，注意需要满足集合元素的互异性. 【详解】由题意可知或 当，不满足集合元素的互异性，所以不符合题意； 当时，解得或(舍去)，当时，集合为，符合题意. 综上所述，. 故答案为： 13．（本题5分）若集合，，，则如图中的阴影部分表示的集合为______. 【答案】 【分析】先求出，然后利用韦恩图知阴影部分表示的集合为，利用交集运算求解即可. 【详解】由集合，，得， 而，所以图中的阴影部分表示的集合. 故答案为：. 14．（本题5分）已知命题，使为真命题，则实数m的取值集合为B，若为非空集合，且是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出集合B，再利用充分不必要条件转化为是的真子集，利用集合关系解题即可. 【详解】由题意，可知关于x的方程无实数根， 所以，解得，即， 因为为非空集合，所以，即， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，即，所以． 故答案为：． 四、解答题 15．（本题13分）已知全集，. (1)若中有个元素，求实数的值； (2)若中有四个元素，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中的元素个数可得集合中有两个元素，即二次方程有两个不等的实根，利用根与系数关系可得； （2）根据中的元素个数，可得集合中只有一个元素，即二次方程只有一个解，可得. 【详解】（1）由中有个元素，集合中有两个元素， 即方程有两个不等的实根，， 则，且，， 则，； （2）由中有四个元素，则集合中有且只有一个元素， 则方程有且只有一个实数根， 则，且， 则，. 16．（本题15分）已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1)，使；若为真命题，； (2)或 【分析】（1）根据题意写出，由求出的取值范围； （2）按照为真、为假和为假、为真两种情况分别求出的取值范围，进而得到实数的取值范围. 【详解】（1）根据题意，，使. 若为真命题，方程有实数解，，解得. 所以的取值范围为. （2）若命题为真、为假，有，得. 若命题为假、为真，有，得. 综上所述，若命题、一真一假，实数的取值范围为或. 17．（本题15分）设集合，集合． (1)若，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1), (2) 【详解】（1）当时，， 所以， 又， 所以. （2）因为，所以， 当时，，解得； 当时，则，解得， 综上，实数a的取值范围. 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即得. （2）写出符合题意的必要不充分条件. （3）利用充要条件的定义推理得证. 【详解】（1）由，得，即， 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. （2）的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. （3）必要性：若为等边三角形，即， 显然，因此； 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 19．（本题17分）对于由个正整数构成的集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”． (1)判断集合是否具有“性质”，并说明理由； (2)证明：五元正整数集合不具有“性质”； (3)证明：若集合具有“性质”，则为奇数． 【答案】(1)不具备“性质”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）若去掉一个数时，可得集合，得到剩余所有元素之和为，不能分成相等的两个数，所以不具备“性质” （2）若去掉元素，得到或，若去掉元素，得到或，分别联立方程组，推出矛盾，即可得证； （3）设集合中所有元素之和为，得到为偶数，且的奇偶性必相同，分为奇数和为偶数，两种情况讨论，结合题设中“性质”定义，进行推理，即可求解. 【详解】（1）集合， 若去掉任意一个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合， 且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”， 对于集合， 若去掉一个数时，可得集合， 可得，其中为奇数，不能分成相等的两个数， 所以不具备“性质” （2）证明：由五元正整数集合， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有或， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有或， 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 所以当时，集合一定不具备“性质” （3）证明：由集合， 设集合中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 所以的奇偶性必相同， ①若为奇数，则为奇数，所以必为奇数； ②若为偶数，此时取，可得仍满足题设中的条件，集合也具备“性质”， 若仍为奇数，由①知，集合具备“性质”，此时为奇数； 若仍为偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数，且具备“性质”的集合， 综上可得，集合中的元素个数为奇数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $