高中数学单元测试——第一章集合与常用逻辑用语（适中版02）

**基本信息** 高中数学集合与常用逻辑用语单元复习卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查集合关系运算、命题否定、充分必要条件等核心知识，适配单元复习，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合关系、空集表示、命题否定|基础概念辨析，如子集关系判断| |多选题|3/18|描述法表示、充分必要条件、集合元素个数|选项分层，如第10题条件关系分析| |填空题|3/15|集合运算、韦恩图、命题充要条件|情境简洁，如韦恩图阴影部分元素个数| |解答题|5/77|集合元素个数、命题与参数范围、数集性质|综合探究，如第19题数集性质证明，体现创新意识|

高中数学单元测试 —— 第一章 集合与常用逻辑用语（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）命题“存在一个四边形，它的对角线垂直”的否定是（    ） A．存在一个四边形，它的对角线不垂直 B．存在很多个四边形，它的对角线不垂直 C．任意一个四边形，它的对角线不垂直 D．任意一个四边形，它的对角线垂直 4．（本题5分）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知集合，集合，则满足条件的集合的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 8．（本题5分）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 10．（本题6分）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 11．（本题6分）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是10，8，6．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 12．（本题5分）已知，若，则________ 13．（本题5分）已知全集为实数集，集合，的关系的韦恩图如下图所示，则阴影部分表示的集合的元素个数为______． 14．（本题5分）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是______． 四、解答题 15．（本题13分）已知集合. (1)若A中有且仅有1个元素，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围. 16．（本题15分）已知命题，当命题为假命题时，正实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（本题15分）设全集，集合，或．    (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求a的取值范围． 18．（本题17分）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 19．（本题17分）已知数集（其中，，）具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质； (2)证明：； (3)已知数集具有性质，若，，求数集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 集合与常用逻辑用语（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若集合，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】因为，所以，，故A对，BCD都错. 故选：A. 2．（本题5分）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 3．（本题5分）命题“存在一个四边形，它的对角线垂直”的否定是（    ） A．存在一个四边形，它的对角线不垂直 B．存在很多个四边形，它的对角线不垂直 C．任意一个四边形，它的对角线不垂直 D．任意一个四边形，它的对角线垂直 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得解 【详解】命题“存在一个四边形，它的对角线垂直”的否定是“任意一个四边形，它的对角线不垂直”. 故选：C. 4．（本题5分）已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 5．（本题5分）已知集合，集合，则满足条件的集合的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据包含关系，问题转化为求集合的子集的个数，即可得. 【详解】由题意，集合的个数为集合的子集的个数，共个. 故选：B 6．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集，补集的概念运算求解即可. 【详解】， ，. 故选：B． 7．（本题5分）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【分析】利用判断命题的真假，举出实例，得到为真命题. 【详解】 由，得是真命题，是假命题； 命题，时，，， 故满足，为真命题. 故选：A. 8．（本题5分）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 二、多选题 9．（本题6分）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 10．（本题6分）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断 【详解】对于A：若，，或， 则至少含有一个元素，； 若，则不一定有，比如时，，； 因此“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B：或， 若，则必有；若，则不一定有， 比如时，，不是的子集， 因此“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C：若中只有一个元素，则，当，且时，， 即“中只有一个元素”不是“”的充分条件，C错误； 对于D：若，则， 此时，不是的子集； 若，则，，但 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，D正确； 故选：ABD. 11．（本题6分）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是10，8，6．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【分析】将问题转化为Venn图问题，然后结合题意确定这三天都开车上班职工人数至多人数，即可得答案. 【详解】解：如图所示：   表示周一上班开车的人数，表示周二上班开车的人数， 表示周三上班开车的人数，表示三天上班开车的人数， 由题意可得表示周三上班开车的人数， 由题意则有， 所以， 从而得， 当时，取最大值. 即三天都开车上班的职工人数至多为人. 故选：ABC. 三、填空题 12．（本题5分）已知，若，则________ 【答案】 【分析】对进行分类讨论，注意需要满足集合元素的互异性. 【详解】由题意可知或 当，不满足集合元素的互异性，所以不符合题意； 当时，解得或(舍去)，当时，集合为，符合题意. 综上所述，. 故答案为： 13．（本题5分）已知全集为实数集，集合，的关系的韦恩图如下图所示，则阴影部分表示的集合的元素个数为______． 【答案】 【分析】求出韦恩图阴影部分的集合表示，再利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】韦恩图中阴影部分表示的集合为， ∵，， ∴，所以阴影部分表示的集合的元数个数为. 故答案为：. 14．（本题5分）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全称命题为真命题等价转化为不等式恒成立问题，再利用二次函数的性质及充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由“，”为真命题，等价于在上恒成立， 所以，即可. 设，，则 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上， 所以在上单调递增. 当时，取得最小值为，即， 所以的一个充分不必要条件是的真子集，则满足条件. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 15．（本题13分）已知集合. (1)若A中有且仅有1个元素，求实数m的值； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解； （2）求得集合，分、结合的情况讨论方程的解的情况，可求实数m的取值范围. 【详解】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合中有且仅有一个元素， 所以实数m的值为或； （2）， 因为，所以， 由（1）知时，，不符合， 当时，若，解得，此时，符合， 若，解得，此时方程的根为， 集合，符合， 若，由，则可得， 此时有且，无解， 综上所述：实数m的取值范围为. 16．（本题15分）已知命题，当命题为假命题时，正实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次方程根的存在条件即可求解； （2）结合必要不充分条件与集合包含关系的转化即可求解． 【详解】（1）命题为真命题，，解得， 又； （2）是的必要不充分条件，是的真子集， 解得，故实数的取值范围为 17．（本题15分）设全集，集合，或．    (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】由韦恩图图及含参数的集合交并补的混合运算即可求解. 【详解】（1）因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或，且， 所以，， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或者， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，a的取值范围为． 18．（本题17分）设，集合，，. (1)证明：的充要条件是； (2)若集合，求集合； (3)若，，，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)或； 【分析】（1）根据已知条件结合充要条件定义即可证明； （2）根据韦达定理得出，再代入计算求解； （3）先根据已知条件得出，再结合，得出进而分类讨论计算求解即可. 【详解】（1）若，所以； 若，所以； 所以的充要条件是； （2）因为，所以且，所以， 所以，所以； （3）因为，，，且， 又因为，所以， 当时，； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，，所以； 所以实数的取值范围为或； 19．（本题17分）已知数集（其中，，）具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于. (1)分别判断数集与是否具有性质； (2)证明：； (3)已知数集具有性质，若，，求数集. 【答案】(1)不具有性质，具有性质； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）数集中任取元素验证性质判断； （2）由性质证不成立，则成立； （3）由性质从小到大逐个构造数集中的元素. 【详解】（1）对于集合：取，则， 所以数集不具有性质； 对于数集：， 即对中任意，与中至少有一个属于， 所以数集具有性质. （2）由已知， 若，则，，所以， 又，所以数集不具有性质，不符合题意， 所以； （3）由（2）可知，， 因为， 所以，所以， 因为数集具有性质，所以， 所以， 所以，即， 因为，则，所以， 由，又，所以， 所以，所以 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $