高中数学单元测试——第一章集合与常用逻辑用语（较难版01）

**基本信息** 高中数学集合与常用逻辑用语单元复习较难卷，通过基础辨析、情境应用及创新探究，全面考查抽象能力、推理能力与应用意识，适配单元重难点巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合定义、命题否定、集合运算|基础概念辨析，如空集判断、命题否定| |多选题|3/18|集合表示法、充分必要条件、集合应用|多选项设计，如描述法表示、职工上班人数情境（应用意识）| |填空题|3/15|集合关系、补集、命题真假|参数求解，如集合包含求参数| |解答题|5/77|集合元素个数、命题与参数范围、新定义集合运算|分层设计，19题新定义运算培养创新意识（数学眼光），18题充要条件证明体现推理能力（数学思维）|

高中数学单元测试 —— 第一章 集合与常用逻辑用语（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）下列四个集合中，(   )是空集 A． B． C． D． 3．（本题5分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（    ） A．任意一个有理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 4．（本题5分）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知集合，集合，则满足条件的集合的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 8．（本题5分）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）集合用描述法可以表示为（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 11．（本题6分）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是10，8，6．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 12．（本题5分）已知集合，，若，则实数__________. 13．（本题5分）已知全集 ，集合 或，那么阴影部分表示的集合为___________.    14．（本题5分）已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15．（本题13分）设全集，集合． (1)若集合A恰有一个元素，求实数a的值； (2)若，求． 16．（本题15分）已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 17．（本题15分）已知全集，集合. (1)求； (2)若非空集合，且，求实数的取值范围. 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 19．（本题17分）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 集合与常用逻辑用语（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系以及集合间的基本关系逐项分析即可． 【详解】对于A，0不属于空集，故A错误； 对于B，不是自然数，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，成立，但当两者作为集合中的元素时，也即和时，并不是的子集，故D错误． 故选：C． 2．（本题5分）下列四个集合中，(   )是空集 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，对选项逐一判定，即可得到结果. 【详解】解：选项A：集合中有一个元素0，不为空集； 选项B：集合中不存在元素，所以该集合为空集； 选项C：集合中有一个元素1，所以不为空集； 选项D：集合中存在无数个元素，所以不为空集. 故选：B. 3．（本题5分）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（    ） A．任意一个有理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 【答案】B 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”为存在量词命题， 该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”， 故选：B. 4．（本题5分）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合A，再根据并集的定义可得. 【详解】由不等式，可得；又因为，因此. 又因为，所以. 5．（本题5分）已知集合，集合，则满足条件的集合的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据包含关系，问题转化为求集合的子集的个数，即可得. 【详解】由题意，集合的个数为集合的子集的个数，共个. 故选：B 6．（本题5分）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的补集和交集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 故选：D. 7．（本题5分）下列命题中为真命题的是（    ） A． B．是整数 C． D． 【答案】B 【分析】依次对每个选项中的命题进行真假判断，通过举例或推理来确定. 【详解】对于A 选项，对于命题，因为对于任意实数，，所以，恒大于，A选项错误. 对于B 选项，对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数，所以是整数，B选项正确. 对于C 选项，对于命题，当时，，不满足，C选项错误. 对于D 选项，对于命题，例如，则，D选项错误. 故选：B. 8．（本题5分）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令或，，是的充分不必要条件可得真包含于，可求解. 【详解】令或，， 因是的充分不必要条件，可得真包含于， 可得. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）集合用描述法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据集合的表示逐项分析即得. 【详解】是无限集，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD. 10．（本题6分）已知集合，，则（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“中只有一个元素”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断 【详解】对于A：若，，或， 则至少含有一个元素，； 若，则不一定有，比如时，，； 因此“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B：或， 若，则必有；若，则不一定有， 比如时，，不是的子集， 因此“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C：若中只有一个元素，则，当，且时，， 即“中只有一个元素”不是“”的充分条件，C错误； 对于D：若，则， 此时，不是的子集； 若，则，，但 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，D正确； 故选：ABD. 11．（本题6分）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是10，8，6．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【分析】将问题转化为Venn图问题，然后结合题意确定这三天都开车上班职工人数至多人数，即可得答案. 【详解】解：如图所示：   表示周一上班开车的人数，表示周二上班开车的人数， 表示周三上班开车的人数，表示三天上班开车的人数， 由题意可得表示周三上班开车的人数， 由题意则有， 所以， 从而得， 当时，取最大值. 即三天都开车上班的职工人数至多为人. 故选：ABC. 三、填空题 12．（本题5分）已知集合，，若，则实数__________. 【答案】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 13．（本题5分）已知全集 ，集合 或，那么阴影部分表示的集合为___________.    【答案】 【分析】由韦恩图得阴影部分为，即可求解. 【详解】由题意，得， 由韦恩图得阴影部分为， 故答案为： 14．（本题5分）已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据是假命题，则是真命题.进而得到，根据集合之间的包含关系构造不等式组，计算即可. 【详解】是假命题，则是真命题. 由于，都有， 则. 可得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）设全集，集合． (1)若集合A恰有一个元素，求实数a的值； (2)若，求． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据方程只有一个解，由求解； （2）由，求得集合A，B，再由集合的补集交集运算求解. 【详解】（1）解：因为集合，且集合A恰有一个元素， 所以，解得； （2）因为集合，且 ， 所以，， 解得，， 所以， 则． 16．（本题15分）已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1)，使；若为真命题，； (2)或 【分析】（1）根据题意写出，由求出的取值范围； （2）按照为真、为假和为假、为真两种情况分别求出的取值范围，进而得到实数的取值范围. 【详解】（1）根据题意，，使. 若为真命题，方程有实数解，，解得. 所以的取值范围为. （2）若命题为真、为假，有，得. 若命题为假、为真，有，得. 综上所述，若命题、一真一假，实数的取值范围为或. 17．（本题15分）已知全集，集合. (1)求； (2)若非空集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或. (2) 【分析】（1）利用集合的交并补定义，即可得出答案； （2）等价于，再由集合的包含关系与集合非空，即可列出不等式组，解出答案. 【详解】（1）； ， 或. （2）已知集合非空，且， 所以满足， . 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即得. （2）写出符合题意的必要不充分条件. （3）利用充要条件的定义推理得证. 【详解】（1）由，得，即， 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. （2）的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. （3）必要性：若为等边三角形，即， 显然，因此； 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 19．（本题17分）已知集合为非空实数集，定义：，（注：和可相等，也可不相等）. (1)若集合，写出集合，； (2)若集合，，且，求的值； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)67. 【分析】（1）根据给定的定义，直接计算即得集合. （2）根据给定的定义求出集合，再利用集合相等求出. （3）设集合，求出对应的集合，再由建立不等式关系，求出对应的值即可. 【详解】（1）集合，则， ， 所以. （2）集合，，则集合中元素为： 显然，由，得，解得， 此时，所以. （3）设满足题意，其中， 则， 则，又，则， 由，由容斥原理，得， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 因此，即，解得， 事实上当时满足题意， 理由如下：设，， 则，， 由，得，解得， 因此m的最小值为34，即当时，中元素最多，时满足题意， 所以的最大值是67. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $