第一章 集合与常用逻辑用语（单元测试卷）2025-2026学年高一数学单元复习验收人教A版必修第一册

高一数学单元测试卷 第一章 集合与常用逻辑用语 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，，，且，则　　 A．10或13 B．13 C．4或7 D．7 2．已知命题：“，”，则它的否定为　　 A．， B．， C．， D．， 3．设，则“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 4．已知集合，1，，满足条件的集合的个数为　　 A．3 B．6 C．7 D．8 5．“”的一个充分不必要条件是　　 A． B． C．或 D． 6．设，，若，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D．或 7．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 8．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，则下列关系式表示正确的有　　 A． B． C． D．， 10．在四边形中，“四边形是梯形”的一个充分不必要条件可能是（    ） A．平行于，且等于 B．平行于，且不等于 C．平行于，且不平行于 D．平行于或平行于 11．用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．集合的非空真子集的个数是 　　 ． 13．已知命题“，”是假命题，则的取值范围是 　　． 14．设，，若p是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ；若是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合，． （1）若集合中仅含有一个元素，求实数的值； （2）已若集合中仅含有两个元素，求实数的取值范围． 16．（15分）写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)，； (2)至少有一个实数，使； (3)，． 17．（15分）设全集为，集合，，． (1)求，； (2)； (3)若，求实数a的取值范围． 18．（17分） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 19．（17分）笛卡尔积是集合论中的一个基本概念，由法国数学家笛卡尔首次引入.笛卡尔积在计算机科学、组合数学、统计学等领域中有广泛的应用.对于非空数集，定义且，将称为“与的笛卡尔积”. (1)若，，求. (2)若集合是有限集，将的元素个数记为.已知是非空有限数集，，且对任意的集合恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时，和满足的关系式及应满足的条件. 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学单元测试卷 第一章集合与常用逻辑用语 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.若集合A={x-3,x-6,4),且7∈A,则x=() A.10或13 B.13 C.4或7 D.7 2.已知命题p:“x>0,x2-x+1≥0”，则它的否定为() A.x<0,x2-x+1<0 B.3x<0,x2-x+1<0 C.∀0，x2-x+1<0 D.3>0,x2-x+1<0 3.设xER,则x2+4比-12<0是<1的()条件. A.充分不必要B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要 4.己知集合B={-1,1,4),满足条件⑦MB的集合M的个数为() A.3 B.6 C.7 D.8 “x中≤2”的一个充分不必要条件是( 5.“3 A0<<5 B.-1<x≤2 1 C<1或号 D.x>1 6.设A={x|1≤x≤3}，B={x3a≤x≤a+1},若BA,则实数a的取值范围是() A.a=1 Ba as对 C. D.a≥或a 2 7.甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：A={刘0<△x<2} B=树-3s≤号.C-{0<r引 然后他们三人各用一句话来正确的描述“△”中的数字，让丁同学找出 该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数：乙：B是A成立的必要不充分 1/4 条件：丙：C是A成立的充分不必要条件则“△”中的数字可以是() A.3或4 B.2或3 C.1或2 D.1或3 8.设U为全集，A,B是集合，则“存在集合C使得A三C,BcC,C"是“A∩B=O"的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知集合P={x|(x-3)(x-2)=0},则下列关系式表示正确的有() A.{3}∈P B.-2∈P C.cP D.P≤{2,3} 10.在四边形ABCD中，“四边形ABCD是梯形的一个充分不必要条件可能是() A.AB平行于CD,且AB等于CD B.AB平行于CD,且AB不等于CD C.AB平行于CD,且AD不平行于BC D.AB平行于CD或AD平行于BC 11.用C(A)表示非空集合A中元素的个数，定义A*B= C(A)-C(B),C(A)C(B) C(B)-C(A),C4<CB已知集合 A={刘x2+x=0},B=x∈R(x2+ax)(x2+a+1)=0,则下面正确结论正确的是（). A.aER,C(B)=3; B.a∈R,C(B)≥2： C.“a=0"是“A*B=1"的充分不必要条件： D.若S={aERA*B=1},则C(S)=3 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.集合A={x∈Z|1<x<6}的非空真子集的个数是 13.已知命题“x∈1，+)，2x-m+1=0”是假命题，则m的取值范围是_ 14.设p:x2-2x≤0，q:(x-m)(x-m-3)<0,若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围 是一；若p是q的必要不充分条件，则实数的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)己知集合A={x∈R|x2-3x+1=0,a∈R}. (1)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值： (2)已若集合A中仅含有两个元素，求实数a的取值范围， 2/4 16.(15分)写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)]x∈R,x2+2x+3≤0： (2)至少有一个实数x,使x3+1=0 (3)月x,y∈Z,V2x+y=3. 17.(15分)设全集为R,集合A={x3≤x<7},B={x2<x<6},C={xx<2a+1}. (1)求AnB,AUB: (2)(CRA)nB: (3)若A∩C=0,求实数a的取值范围. 3/4 18.(17分)已知集合A={-2≤x≤5}，B={+1≤x≤2-1} (I)是否存在m的值，使得x∈B是x∈A的充要条件，若存在求出的值；若不存在，请说明理由. (2)若x∈B是x∈A的充分条件，求m的取值范围 (3)若A⌒B=©，求m的取值范围 19.(17分)笛卡尔积是集合论中的一个基本概念，由法国数学家笛卡尔首次引入.笛卡尔积在计算机科学、 组合数学、统计学等领域中有广泛的应用.对于非空数集A,B,定义A×B={(x,y)x∈A且yEB},将AXB 称为“A与B的笛卡尔积”. (1)若A={-1,1},B={-1,0,1},求(A×B)n(B×A) (2)若集合C是有限集，将C的元素个数记为C.已知A1,A2是非空有限数集，|A1×A2=m(m∈N),且 4x4+x42≥Q对任意的集合A1,A2恒成立，求a的取值范围，并指明当a取到最值时，A1和A2满足的关 A2×A1| 系式及m应满足的条件. 4/4高一数学单元测试卷 第一章集合与常用逻辑用语 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意襄项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.若集合A={x-3,x-6,4),且7∈A,则x=() A.10或13 B.13 C.4或7 D.7 【解析】集合A={x-3,x-6,4},且7∈A, 当x-3=7,即x=10时，x-6=4,此时x-6与4重复， 则x≠10， 当x-6=7,即x=13时，A={10,7,4. 综上所述，x=13. 故选：B 【点评】本题主要考查元素与集合的属于关系，属于基础题. 2.已知命题p:“x≥0，x2-x+1>0”,则它的否定为() A.x<0,x2-x+1<0 B.x<0,x2-x+1<0 C.⊙0，x2-x+1<0 D.3x>0,x2-x+1<0 【解析】由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 命题p:“x>0,x2-x+1>0”, 则它的否定为：3>0，x2-x+1<0. 故选：D 3.设x∈R,则2+4x-12<0是“<1"的（）条件. A.充分不必要B.必要不充分 C.充要条件 D.既不充分也不必要 【答案】A 119 【分析】解不等式2+4红-12<0和%<1，判断它们的解集之间的包含关系，由此可得答案 【详解】解不等式x2+4x-12<0可得-6<x<2, 解是<1即%-1<0，g<0,即6c-3c+6<0-6<x<3, x+6 x+6 由于(-6,2)(-6,3)，故“x2+4x-12<0是“3<1的充分不必要条件， X十6 故选：A 4.已知集合B={-1,1,4,满足条件0MB的集合M的个数为() A.3 B.6 C.7 D.8 【解析】由题可知集合M是集合B的非空真子集，且集合B有3个元素，故集合M的个数有2-2=6个. 故选：B 【点评】本题考查了真子集的定义，非空真子集的个数的计算公式，是基础题， 5.43 ≤2”的一个充分不必要条件是() x+1 1 A.0<x< D.x>1 2 B.-1<x Γ2 C.x<-1或x≥} 【解析】3≤2可变形为1-2 ≤0， x+1 +1 解得x≥上或x<-1, 1 式<1<x≤均推不出2或x<1,故A,B选项不 2 2 C中条件和“3≤2”等价，为充要条件，不合题意， x+1 D中x>1时，一定有)或x<-】成立，反之不成立 故x>1是“3 ≤2”的一个充分不必要条件. x+1 故选：D 【点评】本题主要考查了充分必要性的应用，属于基础题 6.设A={x1≤x≤3}，B={x3≤x≤a+1},若BA,则实数a的取值范围是() 1 1 C.1 1 D.a2}或a=号 .1 A.a=2 B.a 3 2 【解析】因为BA, 所以分B=O和B≠☑两种情况讨论， 当B=☑时，3a>a+1, 解得a> 2 219 [3a≤a+1 [3a≤a+1 当B≠0时，3a21 或3a>1, a+1<3 a+1≤3 解得1≤a≤，或<a≤2' 1 1 1 3 2 3 所以片≤a≤ 1 3 综上所述，实数a的取值范国为(aa≥. 故选：B. 7.甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：A={0<△x<2}, B={-3≤x≤5}，C={t0<x 然后他们三人各用一句话来正确的描述“△”中的数字，让丁同学找出 3 该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分 条件：丙：C是A成立的充分不必要条件则“△”中的数字可以是() A.3或4 B.2或3 C.1或2 D.1或3 【答案】C 【分析】根据此数为小于5的正整数得到A= 再推出C是A的真子集，A是B的真子集，从 而得到不等式，求出△∈ 得到答案。 【详解】因为此数为小于5的正整数， 故A={0<△x<2}= 0<r<2】 4: 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故“△"中的数字可以是1或2. 故选：C 8.设U为全集，A,B是集合，则“存在集合C使得A三C,BcC,C"是“A∩B=☑"的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】c 【分析】根据集合的包含关系及交集的定义，结合充分条件和必要条件的定义求解即可。 【详解】1.判断充分性 3/9 已知BcCC,所以B∩C=O. 又因为A三C,即A中的元素都在C中而B中的元素都不在C中， 所以A和B没有公共元素，即A∩B=☑ 由此可知，当“存在集合C使得AsC,BC,C"时，能推出“A∩B=O”, 所以“存在集合C使得AsC,BcC,C"是“A∩B=O"的充分条件. 2.判断必要性 已知A∩B=☑，即A和B没有公共元素此时取集合C=A, 那么对于全集U,CC就是由所有不属于A但属于U的元素组成的集合.如图， 因为A和B没有公共元素，所以B中的元素都不属于A,即BcC,C, 同时A二A(即A三C).所以当"A∩B=0"时， 能推出“存在集合C使得A三C,BcC,C", 所以“存在集合C使得AsC,BSC,C"是“A∩B=O"的必要条件. 则“存在集合C使得AcC,BC,C"是“A∩B=②"的充分必要条件. 故选：C U A=0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知集合P={x|(x-3)(x-2)=0},则下列关系式表示正确的有() A.{3}∈P B.-2∈P C.P D.Ps{2,3} 【解析】P={x1(x-3)(x-2)=0}={2,3}, 对选项A:{3}≤P,错误： 对选项B:-2EP,错误； 对选项C:☑三P,正确； 对选项D:P三{2,3}，正确. 故选：CD. 【点评】本题主要考查元素与集合的包含关系，属于基础题 10.在四边形ABCD中，“四边形ABCD是梯形”的一个充分不必要条件可能是() A.AB平行于CD,且AB等于CD B.AB平行于CD,且AB不等于CD C.AB平行于CD,且AD不平行于BC D.AB平行于CD或AD平行于BC 【答案】BC 419 【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法，对各选项逐一分析判断，即可求解。 【详解】对于选项A,由“AB平行于CD且AB等于CD”推出“四边形ABCD是平行四边形”，所以选项A错误， 对于选项B,因为“AB平行于CD,且AB不等于CD”可以推出四边形ABCD是梯形”， 但四边形ABCD是梯形推不出“AB平行于CD,且AB不等于CD”,如图所示， 当AD/BC,且IADI≠IBCI时，ABCD是梯形，但不满足“AB平行于CD,且AB不等于CD”,所以选项B正确， 对于选项C,“AB平行于CD且AD不平行于BC'可以推出“四边形ABCD是梯形， 但“四边形ABCD是梯形推不出“AB平行于CD且AD不平行于BC',如图所示， B D 当AD//BC,且AB不平行CD时，ABCD是梯形，但不满足“AB平行于CD且AD不平行于BC”,所以选项C正确， 对于选项D,由“AB平行于CD或AD平行于BC不能推出“四边形ABCD是梯形”，所以选项D错误， 故选：BC 11.用C(A)表示非空集合A中元素的个数，定义A*B= C(A-C(B),C(A≥C(B) C(B)-C(A),C(A<C(B)' 已知集合 A={x2+x=0},B={x∈R(2+)(x2+a心+1)=0}，则下面正确结论正确的是(). A.3a∈R,C(B)=3; B.a∈R,C(B)≥2； C.“a=0"是“A*B=I"的充分不必要条件； D.若S={a∈RA*B=1},则C(S)=3 【答案】ACD 【分析】根据集合新定义结合一元二次方程逐个分析即可. 【详解】对于A,当a=2时，B={-2,-1,0},此时C(B)=3,故A正确： 对于B,当a=0时，B=0},此时C(B)=1,故B不正确： 对于C,当a=0时，B=0},则C(B)=1,A={-1.0},则C(A)=2,所以A*B=1: 当18-1时.因为C国=2，所以C(=1或3，若c()1,则区-0解得a-0,若C(=3 5/9 a≠0 因为方程x2十ax=0的两个根x,=0和x2=-a都不是方程x2+ax+1=0的根，所以需满足 4=a24=0,解 得a=±2，所以“a=0”是“A*B=1"的充分不必要条件，故C正确： 对于D,因为C(A)=2,A*B=1,则C(B)=1或3，由C可知：a=0或a=±2，所以S={-2,0,2},所以C(S)=3, 故D正确： 故选：ACD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.集合A={x∈Z|1<x<6}的非空真子集的个数是 【解析】由题知，A={x∈Z1<x<6={2,3,4,5}共四个元素， 所以A的非空真子集的个数为24-2=14. 故答案为：14. 【点评】本题考查集合非空真子集个数的计算，属于基础题， 13.己知命题“3x∈1，+o),2.x-m+1=0”是假命题，则m的取值范围是 【解析】已知命题“x∈1，+o),2x-m+1=0”是假命题， 由题意得“x∈(1，+0)，2x-m+1≠0”是真命题，故≠2x+1, 因为2.x+1∈(3，+o),所以m的取值范围是(-0,3]. 故答案为：(-0,3]。 14.设p:x2-2x≤0，q:(x-m)(x-m-3)<0,若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围 是 ；若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 【答案】 m≥2或m≤-3 m≥2或m≤-3 【分析】先化简命题，q,再根据两命题满足的条件建立不等式求解参数即可 【详解】由p:x2-2x≤0可得0≤x≤2；由q:(x-m)(x-m-3)<0可得m<x<m+3 所以q满足：x≤m或x≥m+3 p是q的充分不必要条件，则，m≥2或m+3≤0，即m≥2或m≤-3 则p满足：x<0或x>2 若p是q的必要不充分条件，则m≥2或m+3≤0，即m≥2或m≤-3 故答案为：m≥2或m≤-3；m22或m≤-3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分)已知集合A={x∈Rx2-3x+1=0,a∈R}. (1)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值： (2)己若集合A中仅含有两个元素，求实数a的取值范围， 【解析】(1)集合A中仅含有一个元素，即方程2-3x+1=0仅有一根， 6/9 9 当a≠0时，则有△=3-4a=0,解得a=4:当a=0时，方程仅有一根，满足条件. 综上所述，实数a的值为9或0： (2)集合A中含有两个元素，即方程ax2-3x+1=0有两个不相等的实根， 则有△=32-4a>0且a≠0，解得a<9且a≠0， 4 综上所述，实数a的取值范围是（←m,0U0,. 【点评】本题主要考查集合的含义与表示、一元二次方程根的判别式的应用等知识，考查了计算能力能力， 属于基础题. 16.(15分)写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)月x∈R,x2+2x+3≤0： (2)至少有一个实数x,使x3+1=0 (3)月x,y∈Z,V2x+y=3. 【答案】(1)x∈R,x2+2x+3>0:真命题 (2)Hx∈R,x3+1≠0；假命题 (3)Hx,yEZ,V2x+y≠3：假命题 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，以及特称命题的否定是全称命题，即可求得(1)(2)(3)中命 题的否定，再判断真假即可. 【详解】(1)命题的否定：x∈R,x2+2x+3>0. 因为Vx∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0恒成立，所以命题的否定为真命题. (2)命题的否定：x∈R,x3+1≠0. 因为当x=-1时，x3+1=0,所以命题的否定为假命题. (3)命题的否定：x,y∈Z,V2x+y≠3， 因为当x=0,y=3时，V2x+y=3,所以命题的否定为假命题 17.(15分)设全集为R,集合A={x3≤x<7},B={x2<x<6},C={xx<2a+1. (1)求AnB,AUB; (2)(CRA)B; (3)若AnC=0,求实数a的取值范围. 【答案】(1)AnB={x|3≤x<6},AUB={x2<x<7} (2)(CRA)nB={x2<x<3} (3)(-0∞，1] 【分析】(1)由集合的交集与并集的运算求解即可： 719 (2)由集合的补集运算与交集运算求解即可： (3)由交集为空集，列出不等式求解参数的范围即可. 【详解】(1)集合A={x3≤x<7},B={x2<x<6}, 所以AnB={x3≤x<6},AUB={x|2<x<7} (2)CRA={xx<3或x≥7}，所以(CRA)∩B={x2<x<3} (3)因为集合A={x3≤x<7},C={xx<2a+1, AnC=0,则2a+1≤3，故a≤1， 所以实数a的取值范围(-o,1] 18.(17分)已知集合A={对-2≤x≤5}，B={m+1≤x≤2m-1} (I)是否存在的值，使得x∈B是x∈A的充要条件，若存在求出的值；若不存在，请说明理由. (2)若x∈B是x∈A的充分条件，求m的取值范围 (3)若A⌒B=☑，求的取值范围 【答案】()不存在，理由见详解 (2)(-m,3] (3)(-n,2)U(4,+w) 【分析】(1)假设存在，则A=B,列出方程组，解之即可： (2)由题意可得B三A,分类讨论当B=☑、B≠⑦时解的情况，即可求解； (3)分类讨论当B=☑、B≠O时解的情况，即可求解. 【详解】(1)若存在的值满足x∈B是x∈A的充要条件，则A=B, 得{-2，解存 =-3 =3,无解， 故不存在这样的m符合题意： (2)若x∈B是x∈A的充分条件，则B二A, 当B=☑时，+1>2m-1,解得m<2: m+1≤2m-1 当B≠⑦时， 了-2≤+1，解得2≤m≤3， 2-1≤5 综上，m≤3，即实数m的取值范围为(-o,3]: (3)若A∩B=☑， 当B=☑时，m+1>2m-1,解得<2； 当B≠⑦即m+1≤2m-1即≥2时， 8/9 2m-1<-2或5<m+1,所以m>4, 综上，m<2或m>4,即实数m的取值范围为(-0,2)U(4,+o): 19.(17分)笛卡尔积是集合论中的一个基本概念，由法国数学家笛卡尔首次引入.笛卡尔积在计算机科学、 组合数学、统计学等领域中有广泛的应用.对于非空数集A,B,定义A×B={(x,y)x∈A且y∈B},将A×B 称为A与B的笛卡尔积”. (1)若A={-1,1},B={-1,0,1,求(A×B)n(B×A) (2)若集合C是有限集，将C的元素个数记为C1.已知A1,A2是非空有限数集，|A1×A2=m3(m∈W),且 4x4+x4包≥Q对任意的集合A1,A2恒成立，求a的取值范围，并指明当a取到最值时，A1和A2满足的关 IA2×A1l 系式及m应满足的条件 【答案】(1)(-1，-1).(-1,1)，(1，-1)，(11)} (2)a∈(-o,2]:当a=2时，lA1l=|A2,m=k2,k∈N 【分析】(1)根据A×B的定义运算，再求交集即得： (2)设1Al=c,lA2=d,C,d∈N,则A1×A2l=m3=cd,先化简x4tA2xA, 再运用基本不等式求a A2×A1 的范围，并结合根式分析求解。 【详解】(1)因A={-1,1,B={-1,0,1), 则A×B={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(1,-1).(1,0),(1,1)} B×A={(-1,-1),(-1,1).(0,-1),0,1),(1,-1),(1,1), 故(A×B)n(B×A)={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)} (2)AI=c,IA2l d,c,dEN", 则|A1×A2l=lA2×A1l=cd=m3(*),A1×A1l=c2,|A2×A2l=d2, 则物--+之2当且仅当c=d时，等号成立： IA2×A1| 因x4+4x包≥a对任意的集合A1,A2恒成立，故得Q≤2，即a∈(-o0,: A2XA1 当a=2时，c=d,即A1l=|A2 则由(*)可得c2=m3,则c=Vm=(Vm3∈N,故m=k2,k∈N 9/9 高一数学单元测试卷 第一章 集合与常用逻辑用语 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，，，且，则　　 A．10或13 B．13 C．4或7 D．7 【解析】集合，，，且， 当，即时，，此时与4重复， 则， 当，即时，，7，． 综上所述，． 故选：． 【点评】本题主要考查元素与集合的属于关系，属于基础题． 2．已知命题：“，”，则它的否定为　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 命题：“，”， 则它的否定为：，． 故选：． 3．设，则“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】解不等式和,判断它们的解集之间的包含关系,由此可得答案. 【详解】解不等式可得， 解即，即， 由于Ü，故“”是“”的充分不必要条件， 故选:A. 4．已知集合，1，，满足条件的集合的个数为　　 A．3 B．6 C．7 D．8 【解析】由题可知集合是集合的非空真子集，且集合有3个元素，故集合的个数有个． 故选：． 【点评】本题考查了真子集的定义，非空真子集的个数的计算公式，是基础题． 5．“”的一个充分不必要条件是　　 A． B． C．或 D． 【解析】可变形为， 解得或， 由于，均推不出或，故，选项不合题意； 中条件和“”等价，为充要条件，不合题意， 中时，一定有或成立，反之不成立， 故是“”的一个充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题主要考查了充分必要性的应用，属于基础题． 6．设，，若，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D．或 【解析】因为， 所以分和两种情况讨论， 当时，， 解得， 当时，或， 解得或， 所以， 综上所述，实数的取值范围为． 故选：． 7．甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数， 故， 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故且，解得， 故“”中的数字可以是1或2. 故选：C 8．设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系及交集的定义，结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】1.判断充分性 已知，所以. 又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中， 所以和没有公共元素，即. 由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”， 所以“存在集合使得，”是“”的充分条件. 2. 判断必要性 已知，即和没有公共元素.此时取集合， 那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图， 因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即， 同时（即）.所以当“”时， 能推出“存在集合使得，”， 所以“存在集合使得，”是“”的必要条件. 则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，则下列关系式表示正确的有　　 A． B． C． D．， 【解析】，， 对选项，错误； 对选项，错误； 对选项，正确； 对选项，，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查元素与集合的包含关系，属于基础题． 10．在四边形中，“四边形是梯形”的一个充分不必要条件可能是（    ） A．平行于，且等于 B．平行于，且不等于 C．平行于，且不平行于 D．平行于或平行于 【答案】BC 【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法，对各选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由“平行于且等于”推出“四边形是平行四边形”，所以选项A错误， 对于选项B，因为“平行于，且不等于”可以推出“四边形是梯形”， 但“四边形是梯形”推不出“平行于，且不等于”，如图所示，    当，且时，是梯形，但不满足“平行于，且不等于”，所以选项B正确， 对于选项C，“平行于且不平行于” 可以推出“四边形是梯形”， 但“四边形是梯形”推不出“平行于且不平行于”，如图所示，    当，且不平行时，是梯形，但不满足“平行于且不平行于”，所以选项C正确， 对于选项D，由“平行于或平行于”不能推出“四边形是梯形”，所以选项D错误， 故选：BC. 11．用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合新定义结合一元二次方程逐个分析即可. 【详解】对于A，当时，，此时，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B不正确； 对于C，当时，，则，，则，所以； 当时，因为，所以或3，若，则，解得，若，因为方程的两个根和都不是方程的根，所以需满足，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因为，，则或3，由C可知：或，所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．集合的非空真子集的个数是 　　 ． 【解析】由题知，，3，4，共四个元素， 所以的非空真子集的个数为． 故答案为：14． 【点评】本题考查集合非空真子集个数的计算，属于基础题． 13．已知命题“，”是假命题，则的取值范围是 　　． 【解析】已知命题“，”是假命题， 由题意得“，”是真命题，故， 因为，所以的取值范围是，． 故答案为：，． 14．设，，若p是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ；若是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 或 或 【分析】先化简命题 ，再根据两命题满足的条件建立不等式求解参数即可 【详解】由可得；由可得 所以满足：或 p是的充分不必要条件，则，或，即或 则满足：或 若是q的必要不充分条件，则或，即或 故答案为：或；或 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合，． （1）若集合中仅含有一个元素，求实数的值； （2）已若集合中仅含有两个元素，求实数的取值范围． 【解析】（1）集合中仅含有一个元素，即方程仅有一根， 当时，则有△，解得；当时，方程仅有一根，满足条件． 综上所述，实数的值为或0； （2）集合中含有两个元素，即方程有两个不相等的实根， 则有△且，解得且， 综上所述，实数的取值范围是． 【点评】本题主要考查集合的含义与表示、一元二次方程根的判别式的应用等知识，考查了计算能力能力，属于基础题． 16．（15分）写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)，； (2)至少有一个实数，使； (3)，． 【答案】(1)，；真命题 (2)，；假命题 (3)，；假命题 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，以及特称命题的否定是全称命题，即可求得（1）（2）（3）中命题的否定,再判断真假即可． 【详解】（1）命题的否定：，． 因为，恒成立，所以命题的否定为真命题． （2）命题的否定：，． 因为当时，，所以命题的否定为假命题． （3）命题的否定：，． 因为当，时，，所以命题的否定为假命题． 17．（15分）设全集为，集合，，． (1)求，； (2)； (3)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）由集合的交集与并集的运算求解即可； （2）由集合的补集运算与交集运算求解即可； （3）由交集为空集，列出不等式求解参数的范围即可. 【详解】（1）集合，， 所以，. （2）或，所以. （3）因为集合，， ，则，故， 所以实数a的取值范围. 18．（17分） (1)是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． (2)若是的充分条件，求m的取值范围 (3)若=，求m的取值范围 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) (3) 【分析】（1）假设存在，则，列出方程组，解之即可； （2）由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解； （3）分类讨论当、时解的情况，即可求解. 【详解】（1）若存在m的值满足是的充要条件，则， 得，解得，无解， 故不存在这样的m符合题意； （2）若是的充分条件，则， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为； （3）若， 当时，，解得； 当即即时， 或，所以， 综上，或，即实数m的取值范围为； 19．（17分）笛卡尔积是集合论中的一个基本概念，由法国数学家笛卡尔首次引入.笛卡尔积在计算机科学、组合数学、统计学等领域中有广泛的应用.对于非空数集，定义且，将称为“与的笛卡尔积”. (1)若，，求. (2)若集合是有限集，将的元素个数记为.已知是非空有限数集，，且对任意的集合恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时，和满足的关系式及应满足的条件. 【答案】(1) (2)；当时，， 【分析】（1）根据的定义运算，再求交集即得； （2）设 ，则，先化简，再运用基本不等式求的范围，并结合根式分析求解. 【详解】（1）因，， 则， ， 故； （2）设 ， 则（*），， 则当且仅当时，等号成立； 因对任意的集合恒成立，故得，即； 当时，，即， 则由（*）可得，则，故 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $