第一章 集合与常用逻辑用语（单元分层自测·基础通关卷）数学人教B版高一必修第一册

**基本信息** 高一年级数学集合与常用逻辑用语单元复习卷，覆盖集合运算、命题否定等核心知识点，通过基础题与创新情境题结合，适配单元复习需求，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合交并补、命题否定、充分必要条件|结合Venn图考查集合关系，基础巩固| |多选题|3题|命题真假判断、集合间关系|通过集合图示辨析关系，培养逻辑思维| |填空题|3题|新定义集合运算、参数取值|定义新运算，考查数学抽象能力| |解答题|5题|集合与逻辑用语综合应用|含参数问题、充分条件证明，结合机器学习相似度情境，提升综合应用能力|

2026-2027学年高一年级数学单元自测 第一章 集合与常用逻辑用语·基础通关（参考答案） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A B D B A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 ACD ABD AD 三、 3、 填空题（共3小题，共15分） 12． 13． 14．必要不充分 4、 解答题（共5小题，共77分） 15．（13分） 【详解】（1）命题 ： ， 为假命题， 当 时，方程为 ，解得，此时命题 为真命题，不符合题意； 当 时， ， 为假命题等价于一元二次方程 无实根，（3分） 所以 ，解得 .（5分） 故实数的取值集合.（6分） （2）由 ，得 ，即. 因为“ ”是“ ”的必要条件，所以 .（8分） 当 时， ，解得 ； 当 时，，解得 . 综上所述，实数的取值集合为或.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）解方程得，或 因此集合，（4分） 其真子集为，，，共3个．（7分） （2）因为，所以， ①当时，，此时符合题意（9分） ②当时，因为，此时易知（11分） 要使得，即或，解得，或．（14分） 综上所述，要使得，则，或.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）当时，代入集合得, 由，因此，（4分） 求补集得.（7分） （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求；（9分） 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得，（11分） 综上可得，的取值范围是.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以，（4分） 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1；（8分） （2）若，则或或或. 当时， ，解得；（10分） 当时，，即，（12分） 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得；（15分） 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为，将重新排列后为， 所以，将重新排列后为， 所以， 同理，． 所以.（4分） （2）因为， 所以为，，，…，的最大值，且． 假设存在无穷个满足，，…，的最小值大于0． 把这些的依次设为，，那么显然有． 因为，，所以． 所以与矛盾，假设不成立． 所以不存在无穷个满足，，…，的最小值大于0． 所以存在，使得时，都有满足，，…，的最小值为0， 此时，所以.（10分） （3）设，记，，的最大公约数为，． 因为，所以时，都有， 所以或，， 显然能整除，，，，即能整除． 同理能整除，，，即能整除，所以，． 由（2）知存在，使得时都有，此时． 所以为，，的最大公约数．（14分） 因为当时都有，即， 所以的最小值为，所以当，，的最大公约数时，． 因为，，即，， 所以当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；（16分） 当时，， 所以要使，当且仅当，的最大公约数为101． 又因为，且， 所以当且仅当或303或707或909时满足题意． 综上所述，存在常数，使得时，的最小值为202， 符合条件的有103，305，709，911.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第一章 集合与常用逻辑用语·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏常州·期中）设集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三上·江苏徐州·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 5．（专题01集合与常用逻辑用语02（期末专项训练）高一数学上学期苏教版）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·北京东城·期末）已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 8．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“”是真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 10．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·广东梅州·期末）对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期中）定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________． 13．（25-26高一上·上海·期中）已知，，若集合，则的值为_______． 14．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题：方程有实数根，命题：；那么是的________条件.（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 四、解答题 15．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 16．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 17．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 18．（19-20高一上·山西太原·阶段检测）已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 19．（25-26高一下·北京东城·期末）已知集合，．对于集合中的任意元素，记，并将，，…，重新排序为，，…，，且，设，记，，． (1)若，求； (2)证明：对任意，存在，使得时，； (3)已知，且，是否存在常数，使得时，的最小值为202？若存在，求出所有符合条件的；若不存在，说明理由 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第一章 集合与常用逻辑用语·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏常州·期中）设集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三上·江苏徐州·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 5．（专题01集合与常用逻辑用语02（期末专项训练）高一数学上学期苏教版）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·北京东城·期末）已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 8．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“”是真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 10．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·广东梅州·期末）对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期中）定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________． 13．（25-26高一上·上海·期中）已知，，若集合，则的值为_______． 14．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题：方程有实数根，命题：；那么是的________条件.（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 四、解答题 15．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 16．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 17．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 18．（19-20高一上·山西太原·阶段检测）已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 19．（25-26高一下·北京东城·期末）已知集合，．对于集合中的任意元素，记，并将，，…，重新排序为，，…，，且，设，记，，． (1)若，求； (2)证明：对任意，存在，使得时，； (3)已知，且，是否存在常数，使得时，的最小值为202？若存在，求出所有符合条件的；若不存在，说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第一章 集合与常用逻辑用语·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二下·江苏常州·期中）设集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由已知， 所以，共3个元素． 2．（25-26高三上·江苏徐州·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：命题“，”的否定是“，”． 3．（25-26高一下·山东潍坊·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】记“”为条件，“”为条件， 因为，所以成立； 当时，，但，此时不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 4．（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 5．（专题01集合与常用逻辑用语02（期末专项训练）高一数学上学期苏教版）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将必要不充分条件转化为真子集关系即可求解. 【详解】设集合，集合，若是的必要不充分条件， 所以是的真子集，可得. 故选：B. 6．（25-26高一上·北京东城·期末）已知集合，且，则实数的值可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据子集的概念求的范围即可. 【详解】因为，且， 所以，解得， 故选：D 7．（25-26高一上·江苏泰州·期末）设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】首先由知两集合元素完全相同，而，故必属于，从而、、中必有一个等于，结合互异性排除后，分与两类讨论，每一类下将表达为具体元素，并与逐项对照，利用元素相等关系及互异性消去变量、检验合理性，最终得出符合所有条件的实数对. 【详解】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以. 故选：B 8．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 二、多选题 9．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“”是真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【分析】由命题的真假判断A、B，根据充分条件、必要条件的定义判断C、D. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，因为时，， 又因为当时，恒成立，故命题“”是假命题，故B错误； 对于C，由，即，解得或； 所以由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，当且时，，即充分性成立， 当时，如，此时不满足且，即必要性不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故D正确． 故选：ACD 10．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由图知集合是集合的真子集，结合图形由集合的交并补运算逐一判断即可. 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C:  因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 11．（25-26高一上·广东梅州·期末）对于集合，定义函数.对于两个集合，定义集合.已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】准确理解集合的新定义，结合元素与集合的关系、集合间的关系求解即可. 【详解】选项A：根据函数的定义，当时，. 已知集合，因为，所以，A正确； 选项B：. 因为，根据函数的定义可得，B错误； 选项C：表示与异号，即属于但不属于，或属于但不属于， 所以，所以，C错误； 选项D：，， 所以，而， 所以，D正确. 故选：AD 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期中）定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________． 【答案】 【分析】根据定义得到，所以所有元素乘积为. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以集合中所有元素乘积为， 故答案为： 13．（25-26高一上·上海·期中）已知，，若集合，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据集合相等的定义判断的取值进行计算. 【详解】因为，所以，， 此时两个集合即，所以，解得或， 若，则两个集合都是不满足互异性， 所以此时两个集合都是，满足条件. 所以， 故答案为：. 14．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题：方程有实数根，命题：；那么是的________条件.（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 【答案】必要不充分 【分析】由命题得或，进而根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】解：因为命题：方程有实数根， 所以，，即或， 因为命题：， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 四、解答题 15．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用特称命题为假，分 和 ，结合一元二次方程无实根的判别式条件求解即可. （2）先求出集合，再根据必要条件对应集合包含关系，分为空集和非空两类讨论求解即可. 【详解】（1）命题 ： ， 为假命题， 当 时，方程为 ，解得，此时命题 为真命题，不符合题意； 当 时， ， 为假命题等价于一元二次方程 无实根， 所以 ，解得 . 故实数的取值集合. （2）由 ，得 ，即. 因为“ ”是“ ”的必要条件，所以 . 当 时， ，解得 ； 当 时，，解得 . 综上所述，实数的取值集合为或. 16．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知集合，集合 (1)求的真子集 (2)若，求的值． 【答案】(1)，， (2)，或 【分析】（1）解方程得集合，再求真子集； （2）因为，所以，分和进行求解. 【详解】（1）解方程得，或 因此集合， 其真子集为，，，共3个． （2）因为，所以， ①当时，，此时符合题意 ②当时，因为，此时易知 要使得，即或，解得，或． 综上所述，要使得，则，或. 17．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用并集和补集运算即可； （2）利用充分条件转化为子集关系，再结合分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 18．（19-20高一上·山西太原·阶段检测）已知. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)或 【分析】（1）先求出集合，再由分析出，由一元二次方程根与系数的关系即可求出的值； （2）若，分析出集合有四种情况，即或或或，结合一元二次方程的判别式及根与系数的关系，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，解得或，所以. 因为，所以， 所以-4和0是方程的两个根， 由韦达定理可得，解得， 所以实数的值是1； （2）若，则或或或. 当时， ，解得； 当时，，即， 此方程组无解，值不存在； 当时，，即，解得； 当时，由（1）知. 综上，可知实数的取值范围或. 19．（25-26高一下·北京东城·期末）已知集合，．对于集合中的任意元素，记，并将，，…，重新排序为，，…，，且，设，记，，． (1)若，求； (2)证明：对任意，存在，使得时，； (3)已知，且，是否存在常数，使得时，的最小值为202？若存在，求出所有符合条件的；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)因为， 所以为，，，…，的最大值，且． 假设存在无穷个满足，，…，的最小值大于0． 把这些的依次设为，，那么显然有． 因为，，所以． 所以与矛盾，假设不成立． 所以不存在无穷个满足，，…，的最小值大于0． 所以存在，使得时，都有满足，，…，的最小值为0， 此时，所以. (3)存在，符合条件的有103，305，709，911 【分析】（1）根据题中定义依次求得，从而求得； （2）先证得，再利用反证法，证明存在，使得时，都有满足，，…，的最小值为0，此时，所以 （3）设，记，，的最大公约数为，先证明，，并记为，则的最小值为，由的最小值为，得.结合，，即，，分别讨论和时的取值可得. 【详解】（1）因为，将重新排列后为， 所以，将重新排列后为， 所以， 同理，． 所以. （2）略 （3）设，记，，的最大公约数为，． 因为，所以时，都有， 所以或，， 显然能整除，，，，即能整除． 同理能整除，，，即能整除，所以，． 由（2）知存在，使得时都有，此时． 所以为，，的最大公约数． 因为当时都有，即， 所以的最小值为，所以当，，的最大公约数时，． 因为，，即，， 所以当时，，不符合题意；当时，，不符合题意； 当时，， 所以要使，当且仅当，的最大公约数为101． 又因为，且， 所以当且仅当或303或707或909时满足题意． 综上所述，存在常数，使得时，的最小值为202， 符合条件的有103，305，709，911. 学科网（北京）股份有限公司11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $