第04讲 基本不等式 讲义-2027届高三数学一轮复习（中等难题突破）

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式核心考点，涵盖不等式成立条件、最值求解、证明方法及实际应用，以算术平均数、几何平均数等概念为基础，通过重要不等式变形及直接法、配凑法等七大求最值方法构建知识体系，设计考点梳理、方法指导、真题训练三级教学环节，帮助学生系统突破条件判断、等号成立等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用题型分层突破策略，如通过“常数代换法”解决“已知4x+2y-xy=0求2x+y最小值”等典型问题，培养学生逻辑推理与数学运算素养，设置基础例题、变式训练及实际应用案例（如制衣公司收益优化），配合即时反馈机制，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

1．理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值，培养逻辑推理和数学运算素养． 2．掌握证明不等式的方法，通过分析法、综合法证明不等式，培养逻辑推理和数学运算素养． 3．通过利用不等式解决实际问题，培养数学建模素养，深化数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识． 1．几个平均数（a＞0，b＞0） 如图，AC＝a，BC＝b，则 （1）算术平均数：（图中OF的长度）； （2）几何平均数：（图中CD的长度）； （3）调和平均数：（图中DE的长度）； （4）平方平均数：（图中FC的长度）． 2．几个重要不等式 （1）（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取“＝”）． 变形：①（积定和最小，当a与b的积是定值，则a与b的和有最小值）； ②（和定积最大，当a与b的和是定值，则a与b的积有最大值）； ③（平方和定积最大，当a与b的平方和是定值，则a与b的积有最大值）； ④（平方和定和最大，当a与b的平方和是定值，则a与b的和有最大值）； ⑤（和定平方和最小，当a与b的和是定值，则a与b的平方和有最小值）． 上述五个不等式，都是当且仅当a＝b时取“＝”． （2）（a与b同号，当且仅当a＝b时取“＝”）． （3）（a，b，c，当且仅当a＝b＝c时取“＝”）． （4）柯西不等式（二维形式）：（当且仅当ad＝bc时取“＝”）． 3．利用基本不等式求最值的常用方法 直接法、配凑法、常数代换法、乘“1”法、消元法、换元法、构造不等式法等． 题型一：利用基本不等式求最值 1．直接法 例1．（1）正实数a，b满足ab＝1，则a＋4b的最小值等于 ． （2）正实数a，b满足a＋4b＝4，则ab的最大值等于 ，的最大值等于 ，的最小值等于 ，的最小值等于 ． 【解析】（1）因为a，4b＞0，且a与4b的积是定值，所以a与4b的和有最小值，即a＋4b≥2＝4，当且仅当a＝2，b＝取“＝”，所以a＋4b的最小值等于4． （2）因为a，4b＞0，且a与4b的和是定值，所以a与4b的积有最大值，即，当且仅当a＝2，b＝取“＝”，所以ab的最大值等于1；，当且仅当a＝2，b＝取“＝”，所以的最大值等于；，当且仅当a＝2，b＝“＝”成立，所以的最小值等于8；因为a＋4b＝4，所以a＝4﹣4b，＝(4﹣4b)2＋b2＝17b2﹣32b＋16，令，所以当，取最小值为，即的最小值等于． 变式训练1： 1．函数的值域为 ． 【解析】当x＞0时，，当且仅当x＝5时取“＝”；当x＜0时，＋＝﹣＝﹣20，当且仅当x＝﹣5取“＝”．所以原函数的值域是[5，)(，﹣5]． 2．（多选）已知正实数a，b满足2a＋b＝1，则 A．ab的最大值为 B．a2＋b2的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【解析】，当且仅当a＝，b＝取“＝”，此时，A正确；由2a＋b＝1，得b＝1﹣2a，则a2＋b2＝a2＋(1﹣2a)2＝5a2﹣4a＋1＝5(a﹣)2＋，所以当a＝时，a2＋b2取最小值，B正确；，当且仅当a＝，b＝时取“＝”，所以的最小值为，C错误；，当且仅当a＝，b＝时取“＝”，D正确．故选ABD． 2．配凑法 例2．（1）已知0＜a＜，则a(3﹣2a)的最大值是 ． （2）已知x＞3，则的最小值是 ，2的最小值是 ． （3）已知x＞，则的最小值是 ． 【解析】（1）因为0＜a＜，则a(3﹣2a)，当且仅当a＝时取“＝”，所以a(3﹣2a)的最大值是． （2），当且仅当x＝5时取“＝”；≥，当且仅当x＝3＋时取“＝”． （3），当且仅当x＝＋时取“＝”． 变式训练2： 1．已知a＞0，b＞0，则的最小值为 ． 【解析】，当且仅当a＋2b＝1时取“＝”． 2．已知函数(x＞﹣1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝ ． 【解析】，当且仅当x＝2时取“＝”，所以a＝2，b＝1，则a＋b＝3． 3．已知x＜，，则当且仅当x＝ 时，y取最大值为 ． 【解析】，当且仅当x＝时取“＝”，即当x＝时，y取最大值为． 4．y＞﹣1，则的最小值为 ． 【解析】≥12﹣6＝6，当且仅当y＝1时取“＝”． 3．常数代换法 例3．（1）已知x＞0，y＞0，且4x＋2y﹣xy＝0，则2x＋y的最小值为 ． （2）已知0＜x＜，则的最小值为 ． （3）已知0＜x＜，则的最小值为 ． 【解析】（1）因为4x＋2y﹣xy＝0，所以4x＋2y＝xy，则，则2x＋y＝(2x＋y)()＝≥，当且仅当x＝4，y＝8时取“＝”． （2）因为3x＋(2﹣3x)＝2，所以，则＝()()＝＋+5≥，当且仅当x＝时取“＝”． （3），因为3x＋(2﹣3x)＝2，所以，则﹣1＝()()﹣1＝，当且仅当x＝时取“＝”． 变式训练3： 1．已知x＞0，y＞0，，则的最小值为 ． 【解析】因为，所以，则＝()()＝，当且仅当x＝，y＝时取“＝”． 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣x＋a＝0有两个不相等的正根m、n，则的最小值为 ． 【解析】由题意得，m＋n＝1，则＝()(m＋n)＝≥16，当且仅当m＝，n＝时取“＝”，此时a＝mn＝． 3．已知a＞2，b＞0，a2﹣6a＋2b＝0，则的最小值为 ． 【解析】因为知a＞2，b＞0，a2﹣6a＋2b＝0，则，得2＜a＜6，，因为(a﹣2)＋(6﹣a)＝4，所以，则＝()()＝≥2，当且仅当a＝4时取“＝”． 4．若a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝2，则的最小值为 ． 【解析】，因为，所以原式＝()()﹣1＝＋＋2≥，当且仅当c＝时取“＝”． 4．换元法、消元法、构造不等式法 例4．（1）设x＞1，则的最小值为 ． （2）已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为 ． （3）已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则的最小值为 ． 【解析】（1）令t＝x﹣1＞0，则≥2，当且仅当t＝4，即x＝5时，取“＝”． （2）方法一：消元法 因为x＋3y＋xy＝9，则x＋xy＝9﹣3y，所以，则x＋3y＝≥12﹣6＝6，当且仅当y＝1时取“＝”． 方法二：因式分解＋换元 因为x＋3y＋xy＝9，所以x＋y(x＋3)＝9，则x＋3＋y(x＋3)＝12，所以(x＋3)(y＋1)＝12，令x＋3＝a，y＋1＝b，则ab＝12，x＝a﹣3，y＝b﹣1，则x＋3y＝a﹣3＋3(b﹣1)＝a＋3b﹣6≥6，当且仅当x＝3，y＝1时取“＝”． 方法三：构造不等式法 因为x＋3y＋xy＝9，所以9﹣(x＋3y)＝xy＝，即9﹣(x＋3y)，整理得，(x＋3y)2＋12(x＋3y)﹣108≥0，(x＋3y﹣6)( x＋3y＋18)≥0，因为x＋3y＋18＞0，所以x＋3y﹣6≥0，即x＋3y≥6，当且仅当x＝3，y＝1时取“＝”． 方法四：设t法（判别式法） 设x＋3y＝t＞0，则x＝t﹣3y，代入x＋3y＋xy＝9，则t＋(t﹣3y)y＝9，整理得3y2﹣ty＋9﹣t＝0，则＝t2﹣4×3(9﹣t)≥0，t2＋12t﹣108≥0，(t﹣6)(t＋18)≥0，因为t＋18＞0，所以t﹣6≥0，即x＋3y≥6，当且仅当x＝3，y＝1时取“＝”． （3）令，解得，代入a＋2b＝1得，，则，利用乘“1”法，原式＝()()＝，当且仅当x＝y时取“＝”． 变式训练4： 1．设x＞1，则的最大值为 ． 【解析】令x﹣1＝t＞0，则x＝t＋1，则＝1，当且仅当t＝1，即x＝2时取“＝”． 2．已知a，b为正实数，且满足ab＋2a＋b＝16，求： （1）ab的最大值； （2）a＋b的最小值； （3）的最小值． 【解析】每一问都有很多解法，这里第一问采用构造不等式法、第二问采用消元法、第三问用因式分解的方法． 解：（1）因为ab＋2a＋b＝16，所以2a＋b＝16﹣ab≥， 两边同时×2，得32﹣2ab≥，即≤0， ≤0，≤4，则ab≤8，当且仅当a＝2，b＝4取“＝”， 所以ab的最大值为8； （2）因为ab＋2a＋b＝16，所以a(b＋2)＝16﹣b，则， a＋b＝﹣3， 当且仅当b＝时取“＝”，所以a＋b的最小值为； （3）因为ab＋2a＋b＝16，所以a(b＋2)＋b＋2＝18，则(a＋1)(b＋2)＝18， 所以， 当且仅当a＝，b＝时取“＝”， 所以的最小值为． 5．利用a＋b，ab以及a2＋b2的关系处理变量 例5．（1）已知正数a，b满足a2＋b2＝1＋ab，则a＋b的最大值为 ． （2）已知a，bR，，则的最大值为 ． 【解析】（1）因为a2＋b2＝1＋ab，则，即，整理得≤1，即(a＋b)2≤4，又因为a＋b＞0，所以0＜a＋b≤2，当且仅当a＝b取“＝”，所以a＋b的最大值为2． （2），设9﹣ab＝t，∴ab＝9﹣t，原式＝，当且仅当时取“＝”． 变式训练5： 已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，求的最大值． 【解析】解：，其中x2＋y2＝(x＋y)2﹣2xy＝1﹣2xy， 则， 令t＝3﹣4xy，则4xy＝3﹣t， 原式＝， 当且仅当t＝，即xy＝时取“＝”， 所以的最大值为． 6．齐次化 例6．已知x＞0，y＞0，S＝，求S的最大值． 【解析】解：令t＝＞0，则x＝ty， 则S＝ ，因为，当且仅当t＝时取“＝”， 则，所以． 变式训练6： 1．已知x＞0，y＞0，x3＋y3＝x﹣y，则的最小值是 A．2 B． C． D． 【解析】令t＝＞0，则x＝ty，代入x3＋y3＝x﹣y，得，所以，则t＞1，x2＝，故，令t﹣1＝m，m＞0，则原式＝＋2≥，当且仅当m＝，即t＝＋1时取“＝”，选D． 2．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求的最小值． 【解析】解：令t＝＞0，则x＝ty，则ty＋y＝1，解得，， ， 令，则，原式＝， 令u﹣2＝m，则u＝m＋2，所以原式＝≥10， 当且仅当m＝2，即u＝4，也就是t＝时取“＝”，此时x＝，y＝， 综上，的最小值为10． 题型二：利用两次基本不等式求最值 例7．（1）已知正实数a，b，c满足b＋c＝1，则的最小值为 ． （2）已知正数x，y，z满足，则S＝的最小值是 ． 【解析】（1）因为b＋c＝1，所以1＝b2＋2bc＋c2，则≥8，当且仅当b＝，c＝时取“＝”，所以≥8a＋＝8(a＋1)＋﹣8≥2×12﹣8＝16，当且仅当a＝时取“＝”，所以的最小值为16． （2）∵，∴，当且仅当x＝y取“＝”，∴≥，∴S＝，当且仅当z＝时取“＝”． 变式训练7： 1．已知正实数x、y、z满足x2＋y2＋z2＝1，则的最小值是 A．6 B．5 C．4 D．3 【解析】因为x2＋y2＋z2＝1，所以x2＋y2＝1﹣z2≥2xy，当且仅当x＝y取“＝”，故2xy≤1﹣z2，则原式≥≥4，当且仅当z＝时取“＝”，故选C． 2．已知，，，且，则的最小值为 ． 【解析】∵，∴，，当且仅当取“＝”，∴＝＝，当且仅当时取“＝”． 题型三：基本不等式的应用 例8．近日，随着暑期来临，莆田市政府积极制定政策，决定政企联动，决定为某制衣有限公司在暑假期间加班追产提供x(x(0，20])（万元）的专项补贴．某制衣有限公司在收到莆田市政府x（万元）补贴后，产量将增加到t＝(x＋3)（万件）．同时某制衣有限公司生产t（万件）产品需要投入成本为(7t＋)（万元），并以每件(8＋)元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益＝销售金额＋政府专项补贴﹣成本． （1）求某制衣有限公司暑假期间，加班追产所获收益y（万元）关于政府补贴x（万元）的表达式； （2）莆田市政府的专项补贴为多少万元时，某制衣有限公司暑假期间加班追产所获收益y（万元）最大？ 【解析】解：（1）， 因为t＝x＋3， 所以； （2），当且仅当x＝6时取“＝”， 所以莆田市政府的专项补贴为6万元时，该公司暑假期间加班追产所获收益y（万元）最大，最大值为30万元． 变式训练8： 1．若某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系为y＝﹣x2＋18x﹣25(x)，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大． 【解析】每台机器运转x年的平均利润为，且x，由基本不等式可得＝10，当且仅当x＝5时等号成立，所以，当且仅当x＝5时等号成立，所以当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元． 2．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：(0≤h≤10)．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是______万元． 【解析】因为不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元，则，m＝40，又由题可得．当且仅当h＝时取等号． 1．已知，且，则下列不等关系中正确的是 A． B． C． D． 【解析】对于A,由于，则，故，进而，A错误， 对于B,由于，则，故，B正确， 对于C, 由于，则，故，C错误， 对于D, ，由于，则，故 ，故，D 错误．故选B． 2．已知点在函数的图象上，则的最小值为 A． B．8 C． D． 【解析】因为点在函数的图象上，则有，，当且仅当，即时等号成立．则的最小值为．故选D． 3．已知实数，且，则的最小值为 A．5 B．4 C． D． 【解析】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故选D． 4．已知且，下列各式中最大的是 A． B． C． D． 【解析】因为，所以，，所以，，由均值不等式可知，所以，由上可知：，所以四个式子中最大，故选：D． 5．已知，，且，则的最小值是 A．2 B．4 C． D． 【解析】由，则，，，故，所以，当且仅当，此时取等号，故选：D． 6．已知，若，则的最大值为 A．2 B． C．4 D． 【解析】根据题意可得，又，故 ， 当且仅当，即时等号成立，则的最大值为4．故选：C． 7．（多选）下列函数中，最小值是4的有 A． B． C． D． 【解析】A选项，当时，，A错误；B选项，，当且仅当，即时取最小值，B正确；C选项，因为，所以，，故，当且仅当，即时，等号成立，C错误；D选项，易知，且其定义域为，而，即当或时,取最小值，的最小值为，D正确．故选：BD． 8．（多选）已知，且，则 A．的最小值是 B．的最小值是4 C．的最小值是8 D．的最小值是 【解析】因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，则A错误； 由题意可得，当且仅当时，等号成立，则B正确； 因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确； 由题意可得，此时，．因为，所以不存在，使得，则D错误． 故选：BC． 9．（多选）已知实数满足，则 A． B． C． D． 【解析】已知，由基本不等式，当时，，解得，当且仅当时取等号，当时，，解得，当且仅当时等号成立，，故A正确； 因为关于的方程有解，所以，因此，故B错误； 由，即由上可得，所以，，所以，故C正确； 因为，由选项A知，由，得，故D正确．故选：ACD． 10．若，则的最大值为________． 【解析】由，可得， ，当且仅当时，等号成立；即，解得，故的最大值为． 11．若实数满足，则的最大值为________． 【解析】由，得，设，其中．则，从而，记，则，不妨设，则，当且仅当，即时取等号，即最大值为． 12．已知，，且． （1）求的最小值； （2）若＜m2﹣7m有解，求实数m的取值范围． 【解析】解：（1）由，得， 又，，则，得， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为64； （2）因为＜m2﹣7m有解，则m2﹣7m＞(x＋y)min， 由，得， 则， 当且仅当即时等号成立，即的最小值为18， 所以m2﹣7m＞18，解得m＞9或m＜﹣2． 13．随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于60km/h）测试发现：①汽车每小时耗电量P（单位：KW·h）与速度（单位：km/h）的关系满足(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大．现有一辆同型号电动汽车从地经高速公路（最低限速60km/h，最高限速120km/h）驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为75 KW·h，汽车到达B地后至少要保留5 KW·h的保障电量．（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）． （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若途经服务区充电桩功率为（充电量＝充电功率×时间），求到达地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）． 【解析】解：（1）该车不能在不充电的情况下到达B地，理由：设匀速行驶速度为，耗电量为，则， 由对勾函数性质可知函数在区间单调递增， ，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量， 所以该车不能在不充电的情况下到达B地； （2）设匀速行驶速度为，总时间为，行驶时间与充电时间分别为， 若能到达B地，则初始电量＋充电电量﹣消耗电量≥保障电量， 即， 解得， ， 当且仅当，即时取到等号， 所以该汽车到达B地的最少用时为． 14．基本不等式是求最值的方法之一，实际上还有很多重要的不等式可以用来求最值．如权方和不等式：若，，，，则． （1）证明权方和不等式，并指出等号成立的条件； （2）已知，，且，应用权方和不等式求的最小值． 【解析】解：（1）当，，，时，因为， 由（1）可得，当且仅当时取“” 则， 所以，当且仅当时取“”； （2）因为， 由（1）可得：， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值，培养逻辑推理和数学运算素养． 2．掌握证明不等式的方法，通过分析法、综合法证明不等式，培养逻辑推理和数学运算素养． 3．通过利用不等式解决实际问题，培养数学建模素养，深化数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识． 1．几个平均数（a＞0，b＞0） 如图，AC＝a，BC＝b，则 （1）算术平均数：（图中OF的长度）； （2）几何平均数：（图中CD的长度）； （3）调和平均数：（图中DE的长度）； （4）平方平均数：（图中FC的长度）． 2．几个重要不等式 （1）（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取“＝”）． 变形：①（积定和最小，当a与b的积是定值，则a与b的和有最小值）； ②（和定积最大，当a与b的和是定值，则a与b的积有最大值）； ③（平方和定积最大，当a与b的平方和是定值，则a与b的积有最大值）； ④（平方和定和最大，当a与b的平方和是定值，则a与b的和有最大值）； ⑤（和定平方和最小，当a与b的和是定值，则a与b的平方和有最小值）． 上述五个不等式，都是当且仅当a＝b时取“＝”． （2）（a与b同号，当且仅当a＝b时取“＝”）． （3）（a，b，c，当且仅当a＝b＝c时取“＝”）． （4）柯西不等式（二维形式）：（当且仅当ad＝bc时取“＝”）． 3．利用基本不等式求最值的常用方法 直接法、配凑法、常数代换法、乘“1”法、消元法、换元法、构造不等式法等． 题型一：利用基本不等式求最值 1．直接法 例1．（1）正实数a，b满足ab＝1，则a＋4b的最小值等于 ． （2）正实数a，b满足a＋4b＝4，则ab的最大值等于 ，的最大值等于 ，的最小值等于 ，的最小值等于 ． 变式训练1： 1．函数的值域为 ． 2．（多选）已知正实数a，b满足2a＋b＝1，则 A．ab的最大值为 B．a2＋b2的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 2．配凑法 例2．（1）已知0＜a＜，则a(3﹣2a)的最大值是 ． （2）已知x＞3，则的最小值是 ，2的最小值是 ． （3）已知x＞，则的最小值是 ． 变式训练2： 1．已知a＞0，b＞0，则的最小值为 ． 2．已知函数(x＞﹣1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝ ． 3．已知x＜，，则当且仅当x＝ 时，y取最大值为 ． 4．y＞﹣1，则的最小值为 ． 3．常数代换法 例3．（1）已知x＞0，y＞0，且4x＋2y﹣xy＝0，则2x＋y的最小值为 ． （2）已知0＜x＜，则的最小值为 ． （3）已知0＜x＜，则的最小值为 ． 变式训练3： 1．已知x＞0，y＞0，，则的最小值为 ． 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣x＋a＝0有两个不相等的正根m、n，则的最小值为 ． 3．已知a＞2，b＞0，a2﹣6a＋2b＝0，则的最小值为 ． 4．若a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝2，则的最小值为 ． 4．换元法、消元法、构造不等式法 例4．（1）设x＞1，则的最小值为 ． （2）已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为 ． （3）已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则的最小值为 ． 变式训练4： 1．设x＞1，则的最大值为 ． 2．已知a，b为正实数，且满足ab＋2a＋b＝16，求： （1）ab的最大值； （2）a＋b的最小值； （3）的最小值． 5．利用a＋b，ab以及a2＋b2的关系处理变量 例5．（1）已知正数a，b满足a2＋b2＝1＋ab，则a＋b的最大值为 ． （2）已知a，bR，，则的最大值为 ． 变式训练5： 已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，求的最大值． 6．齐次化 例6．已知x＞0，y＞0，S＝，求S的最大值． 变式训练6： 1．已知x＞0，y＞0，x3＋y3＝x﹣y，则的最小值是 A．2 B． C． D． 2．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求的最小值． 题型二：利用两次基本不等式求最值 例7．（1）已知正实数a，b，c满足b＋c＝1，则的最小值为 ． （2）已知正数x，y，z满足，则S＝的最小值是 ． 变式训练7： 1．已知正实数x、y、z满足x2＋y2＋z2＝1，则的最小值是 A．6 B．5 C．4 D．3 2．已知，，，且，则的最小值为 ． 题型三：基本不等式的应用 例8．近日，随着暑期来临，莆田市政府积极制定政策，决定政企联动，决定为某制衣有限公司在暑假期间加班追产提供x(x(0，20])（万元）的专项补贴．某制衣有限公司在收到莆田市政府x（万元）补贴后，产量将增加到t＝(x＋3)（万件）．同时某制衣有限公司生产t（万件）产品需要投入成本为(7t＋)（万元），并以每件(8＋)元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益＝销售金额＋政府专项补贴﹣成本． （1）求某制衣有限公司暑假期间，加班追产所获收益y（万元）关于政府补贴x（万元）的表达式； （2）莆田市政府的专项补贴为多少万元时，某制衣有限公司暑假期间加班追产所获收益y（万元）最大？ 变式训练8： 1．若某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系为y＝﹣x2＋18x﹣25(x)，则当每台机器运转 年时，年平均利润最大． 2．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：(0≤h≤10)．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是______万元． 1．已知，且，则下列不等关系中正确的是 A． B． C． D． 2．已知点在函数的图象上，则的最小值为 A． B．8 C． D． 3．已知实数，且，则的最小值为 A．5 B．4 C． D． 4．已知且，下列各式中最大的是 A． B． C． D． 5．已知，，且，则的最小值是 A．2 B．4 C． D． 6．已知，若，则的最大值为 A．2 B． C．4 D． 7．（多选）下列函数中，最小值是4的有 A． B． C． D． 8．（多选）已知，且，则 A．的最小值是 B．的最小值是4 C．的最小值是8 D．的最小值是 9．（多选）已知实数满足，则 A． B． C． D． 10．若，则的最大值为________． 11．若实数满足，则的最大值为________． 12．已知，，且． （1）求的最小值； （2）若＜m2﹣7m有解，求实数m的取值范围． 13．随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于60km/h）测试发现：①汽车每小时耗电量P（单位：KW·h）与速度（单位：km/h）的关系满足(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大．现有一辆同型号电动汽车从地经高速公路（最低限速60km/h，最高限速120km/h）驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为75 KW·h，汽车到达B地后至少要保留5 KW·h的保障电量．（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）． （1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； （2）若途经服务区充电桩功率为（充电量＝充电功率×时间），求到达地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）． 14．基本不等式是求最值的方法之一，实际上还有很多重要的不等式可以用来求最值．如权方和不等式：若，，，，则． （1）证明权方和不等式，并指出等号成立的条件； （2）已知，，且，应用权方和不等式求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $