湖南岳阳市汨罗市第一中学 2025-2026学年九年级上学期数学开学 学情自测试题

2025—2026学年度汨罗一中开学考试 数学试题卷 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前准备：请在答题卡上清晰地填写你的姓名、班级、考号等信息． 2．答题规范：所有答案均须写在答题卡上，写在本试题卷上无效． 3．作答要求：选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔书写，字迹工整． 4．上交要求：考试结束铃响后，请立即停止答题．只需上交答题卡，试题卷请自行保管好． 一、单选题（共30分） 1. 下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象在 A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 3. 已知，若与的相似比为，的周长为40，则的周长为 A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 4. 如图，点D是的边BC上一点，，，若的面积为30，则的面积为（ ） A. B. 10 C. 12 D. 24 5. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为（　　　） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值是（ ） A. −3或1 B. 1 C. −3 D. 7. 如图，在菱形中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线分别交、于、两点，则的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 8. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在反比例函数，的图像上，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ） A. 5 B. 1 C. 3 D. 2 10. 矩形 ABCD中，O为 AC 的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接 BF交AC于点M连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①△AOE≌△COF；②△EOB≌△CMB；③FB⊥OC，OM=CM；④四边形 EBFD 是菱形；⑤MB：OE=3：2其中正确结论的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（共18分） 11. 一元二次方程的根是_________． 12. 若点（5-a，a-3）在一、三象限的角平分线上，则a=____________． 13. 已知点P（x，y）在第四象限，且到y轴的距离为3，到x轴的距离为5，则点P的坐标是_____． 14. 在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∠B＝30°，则▱ABCD的面积为__． 15. 已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接.现有以下四个结论：①；②在点运动过程中，的面积始终不变；③连接，则；④不存在点，使得.其中正确的结论的序号是__________． 16. 如图，反比例函数 的图象经过点，点是该图象第一象限分支上的动点，连接并延长交另一分支于点，以为对角线作菱形，使，顶点在第四象限，与轴交于点，连接．在点的运动过程中，当平分时，点的坐标是______________ 三、解答题（共72分） 17. 如图，在中，，求边上的高． 18. 如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2的解析式； （2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标． 19. 如图，在中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AB的中点，延长CA到点D，使得AC＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE交于点O． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形； （2）如果AB＝5，BC＝13，求平行四边形AEFD的面积． 20. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 21. 九年级数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足 （1）【一线模型】如图1：当的顶点D在底边BC上，与两腰，分别交于点，，求证：； （2）【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； （3）【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 22. 如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E． （1）当点E在边上时， ①求证：； ②若，求的值； （2）若，求的长． 23. 如图，在矩形中，，，点E为中点，连接，点F为中点，点G为线段上一点，连接． （1）如图1，若点G为中点，求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，若点G使得，求四边形的面积； （3）如图3，连接，若点G使得，求的长． 24. 在综合实践课上，数学老师带领同学们探究了四边形中线段乘积的特殊性，探索过程如下： 【发现问题】老师首先用四边形中比较特殊的矩形给同学们做了示范，如图1所示． （1）在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点．同学们猜想是个定值．老师给予了肯定，请你帮助同学们证明． 【深入探究】同学们分组进行探究，组选用了菱形进行探究，如图2所示． （2）在菱形中，过作交的延长线于点，过作交于点，． ①求证：； ②若时，求的值． 【拓展提升】组选用了平行四边形进行探究，如图3和备用图所示，但过程中出现了一些问题，请你试着帮助他们解决． （3）在平行四边形中，，，，点在边上，且，点为边上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出线段的长． 2025—2026学年度汨罗一中开学考试 数学试题卷 考试时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前准备：请在答题卡上清晰地填写你的姓名、班级、考号等信息． 2．答题规范：所有答案均须写在答题卡上，写在本试题卷上无效． 3．作答要求：选择题用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔书写，字迹工整． 4．上交要求：考试结束铃响后，请立即停止答题．只需上交答题卡，试题卷请自行保管好． 一、单选题（共30分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（共18分） 【11题答案】 【答案】， 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】（3，﹣5）． 【14题答案】 【答案】40 【15题答案】 【答案】①②③ 【16题答案】 【答案】 三、解答题（共72分） 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】（1）y＝﹣2x+6；（2）M（3，6）或（﹣1，2）． 【19题答案】 【答案】（1） 证明：∵E，F分别是BC，AC的中点， ∴EF是的中位线， ∴，AC＝2EF， ∵AC＝2AD， ∴AD＝EF 又∵， ∴四边形ADFE是平行四边形． （2）15 【20题答案】 【答案】（1） （2） 证明：∵在中，， ， ， ， ， ∴不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【21题答案】 【答案】（1） 证明：∵，且， ∴， 又∵， ∴； （2） （3） 【22题答案】 【答案】 （1）①由，得． 由，得． 因为是斜边上的中线，所以．所以． 所以． 所以． ②；（2）或 【23题答案】 【答案】（1） 证明：点为中点，点为中点 ， 矩形 ， ， 点为中点 四边形为平行四边形； （2） （3） 【24题答案】 【答案】 （1）解：是个定值，理由如下： 四边形是矩形，则， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ； （2）①证明：∵在菱形中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②； （3）的长为3或4或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $