2.1 坐标法（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦平面解析几何中的坐标法核心知识点，先梳理数轴上向量坐标、距离及中点公式，再推广至平面直角坐标系中的两点距离与中点坐标公式，最终构建坐标法解决几何问题的学习支架。 该资料通过随学随练与题型示例结合，如平行四边形顶点判断、运动点到原点距离等实例，引导学生用数学思维推导公式，用坐标法这一数学语言解决问题，培养几何直观与应用意识。课中辅助教师授课，课后助力学生回顾强化，弥补知识盲点。

第二章 平面解析几何 2.1　坐标法 课标要点 1.掌握数轴上向量的坐标公式，会用向量法推导出数轴上两点之间的距离公式、中点坐标公式.2.了解并掌握平面直角坐标系内的两点之间的距离公式、中点坐标公式及其推导过程.3.能用坐标法解决几何问题． 学习重难点 重点： 1.两点之间的距离公式、中点坐标公式.2.坐标法． 难点： 用坐标法解决相关问题． 知识点数轴上的基本公式 如果数轴上点A(x1)，B(x2)，线段AB的中点为M(x)，则 (1)向量的坐标为x2－x1； (2)|AB|＝||＝|x2－x1|； (3)x＝． 随学随练特别提醒 　在数轴上，点A(x1)，B(x2)，用绝对值定义两点间的距离，表示为d(A，B)＝|x1－x2|.若A，B，C是数轴上任意三点，则d(A，B)≤d(A，C)＋d(B，C)． 1．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴､y轴的距离分别为6､4，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点　平面直角坐标系中的基本公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两点，M(x，y)是线段AB的中点，则 (1)＝(x2－x1，y2－y1)； (2)|AB|＝||＝； (3)x＝，y＝． 特别提醒 对两点间距离公式的几点说明 (1)公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为 |AB|＝. (2)坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广． (3)若B点为原点，则|AB|＝|OA|＝. (4)若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时|AB|＝|x2－x1|. (5)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时|AB|＝|y2－y1|. 随学随练 1．已知点，，若，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．-1或5 2．在平面直角坐标系xOy中，设点，，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点 坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题．这种解决问题的方法称为坐标法． 随学随练 3．如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是（    ） A． B． C．3 D． 题型两点间的距离公式及其应用 ▌例1（25-26高二下·河北石家庄·期中）（多选）已知，，三点，点在圆上运动，则的值可能为（     ） A．64 B．72 C．84 D．85 ▌对点练1-1．（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 题型中点坐标公式的应用 ▌例1已知，则线段的中点坐标为__________. ▌对点练1-1在平面直角坐标系中，已知，，那么线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型 构造几何模型解决代数问题 ▌例1函数的最大值是__________. ▌对点练1-1如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 基础通关 1．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 2．已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知不同的两点关于点对称，则ab＝________. 4．已知点，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．点关于点的对称点为（    ） A． B． C． D． 6．已知数轴上，，求线段的长以及线段的中点M的坐标． 7．已知A，B，则线段AB的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数的图像与函数的图像关于对称，求的解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 2.1　坐标法 课标要点 1.掌握数轴上向量的坐标公式，会用向量法推导出数轴上两点之间的距离公式、中点坐标公式.2.了解并掌握平面直角坐标系内的两点之间的距离公式、中点坐标公式及其推导过程.3.能用坐标法解决几何问题． 学习重难点 重点： 1.两点之间的距离公式、中点坐标公式.2.坐标法． 难点： 用坐标法解决相关问题． 知识点数轴上的基本公式 如果数轴上点A(x1)，B(x2)，线段AB的中点为M(x)，则 (1)向量的坐标为x2－x1； (2)|AB|＝||＝|x2－x1|； (3)x＝． 随学随练特别提醒 　在数轴上，点A(x1)，B(x2)，用绝对值定义两点间的距离，表示为d(A，B)＝|x1－x2|.若A，B，C是数轴上任意三点，则d(A，B)≤d(A，C)＋d(B，C)． 1．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴､y轴的距离分别为6､4，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知点M在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离判断坐标. 【详解】因为点M在第四象限， 所以其横、纵坐标分别为正数、负数， 又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4， 所以点M的坐标为(4，-6) . 故选：A 知识点　平面直角坐标系中的基本公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两点，M(x，y)是线段AB的中点，则 (1)＝(x2－x1，y2－y1)； (2)|AB|＝||＝； (3)x＝，y＝． 特别提醒 对两点间距离公式的几点说明 (1)公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为 |AB|＝. (2)坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广． (3)若B点为原点，则|AB|＝|OA|＝. (4)若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时|AB|＝|x2－x1|. (5)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时|AB|＝|y2－y1|. 随学随练 1．已知点，，若，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．-1或5 【答案】C 【分析】应用距离公式即可求解. 【详解】解：因为点，，所以， 所以，则. 故选：C. 2．在平面直角坐标系xOy中，设点，，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用中点的坐标公式计算即可. 【详解】由题可知中点的坐标为. 故选：A 知识点 坐标法 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题．这种解决问题的方法称为坐标法． 随学随练 3．如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设第四个顶点为， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 故选：A 4．如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，根据数形结合分析可知，根据的位置关系求的最大值. 【详解】取的中点，连接， ，， , 由图象可知， 当三点共线时，等号成立， 所以点到原点的最大距离是. 故选：A. 题型两点间的距离公式及其应用 ▌例1（25-26高二下·河北石家庄·期中）（多选）已知，，三点，点在圆上运动，则的值可能为（     ） A．64 B．72 C．84 D．85 【答案】BCD 【分析】根据两点间距离公式求解即可. 【详解】设，则， 则 ， 所以， 即的取值范围为． ▌对点练1-1．（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 题型中点坐标公式的应用 ▌例1已知，则线段的中点坐标为__________. 【答案】 【分析】利用中点坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以线段的中点坐标为， 故答案为： ▌对点练1-1在平面直角坐标系中，已知，，那么线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用中点坐标公式运算求解. 【详解】因为，，所以中点的坐标为，即． 故选：A． 题型 构造几何模型解决代数问题 ▌例1函数的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据题意，的几何意义为点到点与两点的距离之差，故，再根据距离公式求解即可. 【详解】， 在平面直角坐标系中，设点，，. 则，当点在线段的延长线上时，等号成立， ，， 由，有，即，解得， 其中时，，不合题意； 当时， ，满足点在线段的延长线上， 所以时，. ▌对点练1-1如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，直线的方程为，设关于直线的对称点为， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， 所以光线所经过的路程为. 基础通关 1．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【答案】B 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的最小值，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确， 因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误. 故选：B. 2．已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】将函数看作点和点与的距离之和，可得，由此求得函数的最小值. 【详解】函数的几何意义是点和点与的距离的和． 由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立． 此时取得最小值，最小值为． 故选：A． 3．已知不同的两点关于点对称，则ab＝________. 【答案】 【分析】由点对称，应用中点公式列方程组求出参数，即可得结果. 【详解】由题意知，即，解得，故. 故答案为： 4．已知点，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点的中点坐标公式求出答案. 【详解】由题意得：线段AB的中点坐标为，即. 故选：A. 5．点关于点的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则由中点坐标公式可得，，解出，从而可得点的坐标 【详解】设，则，，∴，， ∴点， 故选：D. 6．已知数轴上，，求线段的长以及线段的中点M的坐标． 【答案】， 【解析】根据数轴上任意两点的距离公式，及中点公式解答. 【详解】解：， ，的中点的坐标为，即． 【点睛】本题考查数轴上任意两点的距离和中点公式，属于基础题. 7．已知A，B，则线段AB的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】线段AB的中点坐标为 ,选D. 8．已知函数的图像与函数的图像关于对称，求的解析式． 【答案】， 【分析】设是函数的图象上的任意一点，点关于的对称点，即可得到，再根据在函数的图像上，代入即可得到所求函数解析式； 【详解】解：设是函数的图象上的任意一点，点关于的对称点，则，所以，因为在函数的图像上，所以，则，即，所以的解析式为，； 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $