2.2.3 两条直线的位置关系 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

本讲义聚焦“两条直线的位置关系”核心知识点，系统梳理相交、平行、重合、垂直的判定方法及过交点的直线系方程。从方程组解的情况、法向量共线或垂直等多角度构建判定逻辑，形成代数与几何结合的学习支架，帮助学生逐步掌握位置关系的表征与应用。 该资料通过例题与分层练习结合，如平行垂直关系判定、参数求解等题型，培养数学思维的严谨性与推理能力。以三角形顶点垂直判定等实例渗透数学眼光，课中辅助教师实施精准教学，课后助力学生通过针对性练习查漏补缺，强化知识应用意识。

2.2.3两条直线的位置关系 一、知识点 1.两条直线的相交、平行与重合 1）如果直线，，则两条直线的位置关系可以用方程组的解的情况来进行判断，得出结论： ①与相交； ②与平行且； ③与重合且. 2）设直线，，则两条直线位置关系可以由法向量来处理判断，是直线的一个法向量，是的一个法向量，则 ①与相交（即只有一个交点）的充要条件是与不共线，即； ②与平行或重合的充要条件是与共线，即； 其中与重合的充要条件是存在实数，使得，即； 与平行的充要条件是存在实数，使得，即. 2.两条直线的垂直 1）一般的，若已知平面直角坐标系中的，的斜率均存在且不为，可得； 特别的，如果与中一条斜率不存在，一条斜率为，则与的位置关系是. 2）设直线，，因为是直线的一个法向量，是的一个法向量，所以 与互相垂直的充要条件是与垂直，则，即. 3.过交点的直线系方程 过直线与的交点的直线方程为（为参数，次直线不包括） 二、题型训练 1.平行垂直关系的判定 例1.（多选）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题正确的是（ ） A.若斜率，则 B.若，则 C.若倾斜角，则 D.若，则 例2. 判断下列各组直线的位置关系： （1），； （2），， 练习： 1. 判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由. （1），； （2），. 2. （多选）以，，为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A. B. C.以点为直角顶点的直角三角形 D.以点为直角顶点的直角三角形 3. （多选）下列各直线中，与直线平行的是（ ） A. B. C. D. 4. 直线与直线的位置关系是（ ） A.垂直 B.相交且不垂直 C.平行 D.平行或重合 5.若三条直线，，能构成三角形，则应满足的条件是（ ） A. 或 B. C. 且 D. 且 2.平行关系求参数或直线方程 例3.已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 例4.已知直线和互相平行，则实数的值为（ ） A. 或 B. C. D. 或 例5.平行于直线且过点的直线方程为（ ） A. B. C. D. 例6.过点且平行于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 练习： 1.已知过点，的直线与斜率为的直线平行，则的值为（ ） A. B. C. D. 2.已知直线与直线平行，且直线在轴上的截距为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3.已知直线与直线平行，且直线与轴的交点为，则________，_________. 4.直线与平行，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5.已知命题直线与平行，命题，则是的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知两点，，两直线，，求： （1）过点且与直线平行的直线的方程； （2）过线段中点以及直线与交点的直线方程. 7.（多选）设直线，，若与平行，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 8.求经过直线和的交点，且平行于直线的直线的方程. 3.垂直关系求参数或直线方程 例7.已知经过点和的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数________. 例8. 已知三条直线，，.若，，则的值为________. 例9. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 练习： 1.若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 2.已知直线与直线垂直，直线与直线在轴上的截距相等，则直线的方程为_________. 3.若直线与直线垂直，则实数_________. 4.已知直线，，，则_______. 5.（多选）若直线和直线垂直，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 6. 经过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4.过交点的直线系方程 例9.经过直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 例10．已知点是直线外一点，则直线方程表示（ ） A.过点且与垂直的直线 B.过点且与直线平行的直线 C.不过点且与垂直的直线 D.不过点且与平行的直线 练习： 1.已知直线与，若，的交点在轴上，则的值为（ ） A. B. 或 C. D.与的取值有关 2.已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3.已知直线经过两条直线与的交点，且与直线的夹角为，求直线的方程. 4.求经过直线，的交点，且满足下列条件的直线方程： （1）与直线平行； （2）与直线垂直. 2 学科网（北京）股份有限公司 $