第二章 2.2.4 点到直线的距离（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“点到直线的距离”核心知识点，从实际问题“仓库到铁路最短距离”切入，通过坐标法、向量法推导距离公式，延伸至两条平行直线间距离公式的推导与应用，构建直线方程知识的进阶学习支架。 以真实情境激发兴趣，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过多方法推导公式发展逻辑推理与数学运算素养，结合例3距离最值等综合题提升模型意识与应用能力。课中问题驱动引导探究，课后分层练习助力学生查漏补缺，提升学习效果。

2.2.4　点到直线的距离 [学习目标]　1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用.3.理解两条平行直线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离． 导语 某地在铁路附近，该地有一大型存放抗洪救灾物资的仓库，现要修建一条公路与之连接起来，以便快速把救灾物资运送到灾区，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？这节课我们共同去解决这个问题吧！ 一、点到直线的距离 问题1　如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？ 提示　点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线为l′，垂足为P1，则l′的方向向量为(A，B)， ∴l′的方程为A(y－y0)＝B(x－x0)，与l联立方程组， 解得交点P1， ∴|PP1|＝. 问题2　向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，如图，怎样用向量方法求点P到直线l的距离呢？ 提示　直线l的法向量n＝(A，B)． 在直线l上任取一点M(x，y)，又P(x0，y0)，可得向量＝(x－x0，y－y0)． |PP1|＝||＝＝. 知识梳理 定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度，距离公式d＝. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值． 例1　求点P(2，－3)到下列直线的距离． (1)y＝x＋；(2)3y＝4；(3)x＝3. 解　(1)y＝x＋可化为4x－3y＋1＝0， 点P(2，－3)到该直线的距离为 d＝＝. (2)3y＝4可化为3y－4＝0， 由点到直线的距离公式，得d＝＝. (3)x＝3可化为x－3＝0， 由点到直线的距离公式，得d＝＝1. 反思感悟　应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)当点在直线上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． (3)直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 跟踪训练1　(1)若点P(3，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为(　　) A. B．－ C.或－ D.或－ 答案　D 解析　由题意得，＝1， 即|a－1|＝2，解得a＝或a＝－. (2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为________． 答案　－6或 解析　由＝， 得|3m＋5|＝|m－7|，∴m＝－6或m＝. 二、两条平行直线之间的距离 问题3　已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示　根据两条平行直线间距离的含义，如图，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离． 问题4　怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 提示　在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离，即d＝， 因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上， 所以Ax0＋By0＋C1＝0， 即Ax0＋By0＝－C1， 因此d＝＝＝. 知识梳理 1．定义：两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． 2．求法：转化为点到直线的距离． 3．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.(A，B不全为0，C1≠C2) 注意点： (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 例2　(1)已知两条直线l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0.求l1，l2间的距离． 解　l1：2x－4y＋7＝0即x－2y＋＝0， 所以l1，l2间的距离为 d＝＝＝. (2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　) A．1 B. C. D．2 答案　B 解析　由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式， 得|AB|＝＝. 反思感悟　求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 跟踪训练2　已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A．1 B．2 C. D．4 答案　A 解析　由两条直线平行可得＝，解得m＝24. 则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0， 由两条平行直线间的距离公式得d＝＝1. 三、距离公式的综合应用 例3　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程． 解　(1)如图，显然有0<d≤|AB|. 而|AB|＝＝3. 故d的取值范围为(0,3]． (2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直． 而kAB＝＝， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 反思感悟　应用数形结合思想求最值 (1)解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． 跟踪训练3　(1)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________________． 答案　x＋2y－3＝0 解析　当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大． 因为A(1,1)，B(0，－1)． 所以kAB＝＝2， 所以两条平行直线的斜率为－， 所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. (2)求过点P(2，－1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ 解　设原点为O，连接OP(图略)， 易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与OP垂直的直线． 由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，所以kl＝－＝2. 所以直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，即直线2x－y－5＝0是过点P且与原点距离最大的直线， 最大距离为＝. 1．知识清单： (1)点到直线的距离． (2)两条平行直线之间的距离． 2．方法归纳：公式法、数形结合法、解方程(组)法． 3．常见误区：运用两平行直线之间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　) A．1 B. C．2 D. 答案　D 2．(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于(　　) A．0 B. C．3 D．2 答案　AB 解析　点M到直线l的距离d＝＝3， 所以m＝0或. 3．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　) A．4 B. C. D. 答案　D 解析　因为3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，所以＝，所以m＝4. 直线6x＋4y＋1＝0可以转化为3x＋2y＋＝0， 由两条平行直线间的距离公式可得d＝＝＝. 4．已知P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　易知直线3x＋4y－12＝0与直线6x＋8y＋5＝0平行，故|PQ|的最小值即两平行直线间的距离，故d＝＝. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　) A．3 B. C．1 D. 答案　B 解析　点P(1，－1)到直线l的距离 d＝＝. 2．两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0. 由两条平行线间的距离公式可得 d＝＝. 3．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　) A. B.－1 C.＋1 D．2－ 答案　B 解析　由点到直线的距离公式，得1＝， 即|a＋1|＝.因为a>0，所以a＝－1. 4．(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　AB 解析　由点到直线的距离公式可得 ＝， 化简得|3a＋3|＝|6a＋4|， 解得a＝－或a＝－. 5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行， 则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0， 解得a＝3或a＝－1， 当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合； 当a＝－1时，直线l1：x－y＋6＝0与l2：x－y＋＝0平行， 两条平行直线之间的距离为＝. 6．(多选)与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为(　　) A．4x＋3y－3＝0 B．4x＋3y＋17＝0 C．4x－3y－3＝0 D．4x－3y＋17＝0 答案　AB 解析　设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0. 则＝2， 即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17. 故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0. 7．(5分)经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________． 答案　2 解析　由解得故两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点坐标为(1,3)．又知过该点的直线与原点的距离为1，分类讨论如下： 若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题意； 若直线的斜率存在，则可设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，整理得kx－y＋3－k＝0，因其到原点的距离为1，得＝1，即1＋k2＝9－6k＋k2，解得k＝.所以所求直线方程为y－3＝(x－1)．综上，满足条件的直线有2条． 8．(5分)已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________________． 答案　2x－y＋1＝0 解析　方法一　由题意，可设直线l的方程为2x－y＋C＝0， 于是有＝， 即|C－3|＝|C＋1|，解得C＝1， 则直线l的方程为2x－y＋1＝0. 方法二　由题意知l必介于l1与l2中间， 故设l的方程为2x－y＋C＝0， 则C＝＝1. 则直线l的方程为2x－y＋1＝0. 9．(10分)设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0. (1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；(5分) (2)求直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大时的直线l2的方程．(5分) 解　(1)若l1∥l2，则m≠0， ∴＝－，∴m＝6， ∴l1：x－2y－1＝0，l2：x－2y－6＝0， ∴l1，l2之间的距离d＝＝. (2)由题意，得∴0＜m＜3， 直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积 S＝m(3－m)＝－2＋， ∴当m＝时，S取得最大值为， 此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0. 10．(10分)已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点A(3,1)到该直线的距离为，求该直线的方程． 解　当该直线在两坐标轴上的截距相等且为0， 即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx， 即kx－y＝0，由已知得＝， 整理得7k2－6k－1＝0， 解得k＝－或k＝1， 所以直线的方程为x＋7y＝0或x－y＝0. 当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时， 设直线的方程为x＋y＝a， 由题意得＝，整理得|a－4|＝2， 解得a＝6或a＝2， 所以所求直线的方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 综上所述，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 11．(多选)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　) A．(1,2) B．(3，－4) C．(2，－1) D．(4，－3) 答案　AC 解析　设点P的坐标为(a,5－3a)， 由题意得＝， 解得a＝1或a＝2， 所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1)． 12．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是(　　) A．(1，－6) B. C．(5，－3) D. 答案　C 解析　由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线， 设垂足为M(图略)，则|MP|最小， 直线MP的方程为y－1＝－(x－2)， 解方程组得 故所求点的坐标为(5，－3)． 13．已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x＋2y＋1＝0和3x＋2y＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为4x－6y＋c1＝0和4x－6y＋c2＝0，则|c1－c2|等于(　　) A. B. C. D．6 答案　D 解析　3x＋2y＋1＝0与3x＋2y＋4＝0间的距离d1＝＝， 4x－6y＋c1＝0与4x－6y＋c2＝0间的距离d2＝＝|c1－c2|， 又由正方形特点可知d1＝d2， 即＝|c1－c2|， 解得|c1－c2|＝6. 14．(5分)若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为________． 答案　15°或75° 解析　由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 15．(5分)若实数x，y满足关系式x＋y＋1＝0，则S＝的最小值为________． 答案　 解析　因为x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2， 所以可以看成动点M(x，y)到定点N(1,1)的距离， 即点N与直线l：x＋y＋1＝0上任意一点M(x，y)的距离， 所以S＝|MN|的最小值为点N到直线l的距离，即Smin＝|MN|min＝＝. 16．(12分)已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0. (1)当a＝0时，直线l过直线m与直线n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；(6分) (2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断直线m与直线n的位置关系．(6分) 解　(1)当a＝0时，直线m的方程为－x＋3y＋6＝0， 联立 解得 即直线m与直线n的交点坐标为(－21，－9)． 当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0； 当直线l不过原点时，设l的方程为＋＝1， 将(－21，－9)代入得b＝－12， 所以直线l的方程为x－y＋12＝0， 故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0. (2)设原点O到直线m的距离为d， 则d＝＝， 解得a＝－或a＝－， 当a＝－时，直线m的方程为x－2y－5＝0，此时m∥n； 当a＝－时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，此时m⊥n. 学科网（北京）股份有限公司 $