5.1.1　任意角课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦任意角概念，从初中角的静态定义扩展到动态旋转形成的正角、负角、零角，通过象限角、终边相同的角等知识构建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合数学眼光的几何直观（如区域角图形分析）、数学思维的推理意识（判一判纠正概念误区），通过例题与跟踪训练强化终边相同角的集合表示等数学语言运用。学生能深化抽象概念理解，教师可依托结构化资源提升教学效率。

第五章　三角函数 5.1　任意角和弧度制 5.1.1　任意角 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角. 2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合. 3.利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题． 学习目标 基础知识 射线 OA OB O 逆时针 顺时针 没有 【说明】　(1)正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的，它们是用来表示具有相反意义的旋转量的． (2)在判断角度时，应时刻抓住“旋转”二字：①要明确旋转方向；②要明确旋转角的大小；③要明确射线未做任何旋转时的位置；④要注意由旋转方向来确定角的符号. α＋β 相反角 －α (－β) 第几象限角 坐标轴 【说明】　(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限． (2)每一个象限都有正角和负角． (3)无法比较两个象限角的大小． 【说明】　(1)角α为任意角，“k∈Z”这一条件不能省略. (2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)． (3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等，终边不同则表示的角一定不同． S＝{β|β＝α＋ k·360°，k∈Z} 判一判 (1)第二象限角大于第一象限角．(　　) (2)第二象限角是钝角．(　　) (3)终边相同的角一定相等．(　　) (4)始边相同时，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(　　) × × × √ 例题 类型一　任意角及象限角的概念 【例1】　(1)射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置绕端点O旋转到达OC位置，得∠AOC＝－150°，则射线OB旋转的方向与角度分别为(　　) A．逆时针，270° B．顺时针，270° C．逆时针，30° D．顺时针，30° (2)(多选)下列四个角为第二象限角的是(　　) A．－200° B．100° C．220° D．420° B AB [解析]　(1)由题意可得∠AOB＝120°，设∠BOC＝θ，则∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋θ＝－150°，解得θ＝－270°，所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°或逆时针旋转90°，故选B. (2)对于A选项，－200°＝160°－360°，故－200°为第二象限角；对于B选项，100°是第二象限角；对于C选项，220°是第三象限角；对于D选项，420°＝60°＋360°，故420°为第一象限角． 方法总结 正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小是解决此类问题的关键． [跟踪训练1]　(1)每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是(　　) A．30° B．－30° C．60° D．－60° (2)已知α为第三象限角，则90°＋α为(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 D D 解析　(1)∵分针是顺时针走的，∴形成的角是负角，又分针走过了10分钟，∴走过的角度大小为×360°＝60°，综上，分针走过的角度是－60°. (2)90°＋α表示将角α的终边逆时针旋转90°后所得的角，因为α为第三象限角，所以90°＋α为第四象限角． 类型二　终边相同的角 【例2】　已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)－360°～720°之间的角． [解]　与角α终边相同的角为β＝－1 845°＋k·360°(k∈Z)， 当k＝4时，β＝－405°；当k＝5时，β＝－45°；当k＝6时，β＝315°；当k＝7时，β＝675°；当k＝8时，β＝1 035°. (1)与α终边相同的角中，最小的正角为315°. (2)与α终边相同的角中，最大的负角为－45°. (3)与α终边相同的角中，在－360°～720°之间的角为－45°，315°，675°. 方法总结 (1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式． (2)终边相同的角相差360°的整数倍． [跟踪训练2]　(1)与800°角终边相同的角可以表示为(　　) A．k·360°＋100°，k∈Z B．k·360°＋90°，k∈Z C．k·360°＋80°，k∈Z D．k·360°＋70°，k∈Z (2)(多选)与－330°角终边相同的角是(　　) A．390° B．－30° C．30° D．－370° C AC 解析　(1)800°＝360°×2＋80°，故与800°角终边相同的角可以表示为k·360°＋80°，k∈Z.故选C. (2)因为390°＝－330°＋2×360°，－30°＝－330°＋300°，30°＝－330°＋360°，－370°＝－330°－40°，所以与－330°角终边相同的角是390°，30°. 类型三　区域角的表示 【例3】　写出终边落在图中阴影区域内的角的集合. [解]　(1)在0°～360°范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为135°，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为300°， 因此，阴影区域所表示的角的集合为{α|k·360°＋135°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}． (2)图中从第四象限到第一象限阴影区域所表示的角的集合为{α|－60°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|2k·180°－60°<α<2k·180°＋45°，k∈Z}， 图中从第二象限到第三象限阴影区域所表示的角的集合为{α|120°＋k·360°<α<225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|(2k＋1)·180°－60°<α<(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}， 因此，阴影区域所表示的角的集合为{α|2k·180°－60°<α<2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°－60°<α<(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|n·180°－60°<α<n·180°＋45°，n∈Z}． 方法总结 表示区域角的三个步骤 (1)按逆时针的方向找到区域角的起始和终止边界． (2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°. (3)起始、终止边界对应的角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． [跟踪训练3]　已知角α的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是. 课堂小结 1．知识清单 (1)任意角及象限角的概念． (2)正角、负角、零角的概念． (3)终边相同的角的表示． (4)象限角、区域角的表示． 2．核心提示 (1)注意钝角与大于90°的角、锐角与小于90°的角等概念的区别与联系；表示终边相同的角时不要漏掉k∈Z. (2)方法归纳：数形结合(如例3)． 当堂巩固 1．已知角α＝－225°，则α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　α＝－225°＝－360°＋135°，135°∈(90°，180°)，所以α的终边在第二象限．故选B. B 2．(多选)下列说法错误的是(　 　) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边与始边都相同的两个角一定相等 C．小于90°的角是锐角 D．若α＝－120°，则α是第三象限角 解析　对于A，终边与始边重合的角的集合为{α|α＝360°k，k∈Z}，故A错误；对于B，终边与始边都相同的两个角不一定相等，比如30°，390°的终边和始边相同，但两个角不相等，故B错误；对于C，锐角为(0°，90°)的角，小于90°的角不一定是锐角，故C错误；对于D，α＝－120°，则α是第三象限角，故D正确．故选ABC. ABC 3．与－15°角终边相同的角的集合是 ． 4．时针走过1小时30分钟，则分针转过的角度是 ． {α|α＝k·360°－15°，k∈Z} －540° Thank you for watching. 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 填一填 1．角的概念 角可以看成一条 绕着它的端点旋转所成的图形． 2．角的表示 如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边： ，终边： ，顶点： . 3．角的分类 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角 零角 一条射线 做任何旋转，称它形成了一个零角 4．角的加法 (1)若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称两角相等． (2)设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是 ． (3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为 ．角α的相反角记为 ，α－β＝α＋ ． 5．象限角 如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是 ．如果角的终边在 上，那么就认为这个角不属于任何一个象限． 6．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． $