2.4.3_用一元二次方程解决问题_第三课时_暑期讲义2026年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级上册数学暑期讲义｜2.4.3 用一元二次方程解决问题 第三课时 2.4.3 用一元二次方程解决问题（第三课时） 复杂几何设计问题 适用教材： 苏科版数学九年级上册（一元二次方程单元） 资料类型： 2026—2027学年暑期预习讲义 学生信息： 姓名：____________________　班级：____________________　日期：____________________一、学习目标 1. 会根据道路、边框、花圃、泳池等几何设计情境画示意图并表示各部分长度。 1. 掌握十字道路的“平移法”、内外等宽边框的面积表达式以及面积差模型。 1. 会列一元二次方程求道路或边框宽度，并根据图形条件确定未知数范围。 1. 能识别并舍去导致长度非正、内区消失或超出图形范围的根。 二、重难点一览 项目 具体内容 学习提示 重点1 图形语言转化为代数式 在图上标出 、 等 重点2 十字道路平移法 剩余面积可写成 重点3 内外等宽边框 内边框用减2倍，外边框用加2倍 难点1 道路交叉部分 直接相加会重复计算交叉区域 难点2 未知数范围 内边框须有 易错点 “宽度”在两侧出现 左右两边合计减少 三、教材知识点盘点（先填空） 1. 长为 、宽为 的矩形内部四周铺设宽为 的边框，中心区域长为________________，宽为________________。 1. 矩形外部四周扩建宽为 的边框，外矩形长为________________，宽为________________。 1. 外侧边框面积=________________面积−________________面积。 1. 内侧边框面积=________________面积−________________面积。 1. 两条互相垂直、宽均为 的道路贯穿长为 、宽为 的矩形，剩余四块面积之和可用平移法写成________________。 1. 直接用 计算十字道路面积会重复计算面积为________________的交叉部分。 1. 内侧边框宽度 必须满足________________。 1. 外侧边框宽度必须为________________数。 1. 几何问题中若方程有两个正根，也要检查是否导致内区边长________________。 1. 列式前画图的主要作用是明确________________和________________。 四、几何模型图 复杂几何模型 内侧边框模型 方程求解工具箱 对一般形式 若不能直接因式分解，可使用求根公式 解应用题时，求出方程的根后还必须结合取值范围、单位和实际意义进行检验。 五、典型例题 例1　十字道路宽度 一块长30 m、宽20 m的长方形绿地内修建两条互相垂直且贯穿绿地的等宽道路，一条平行于长边，另一条平行于宽边。剩余绿地面积为504 m²，求道路宽度。 解析： 设道路宽为 m。用平移法，剩余绿地可拼成长 m、宽 m 的矩形。 整理得 ，所以 或 。因 ，取 m。 例2　外侧等宽道路 一个长20 m、宽12 m的长方形水池外修建等宽道路，道路面积为176 m²。求道路宽度。 解析： 设道路宽为 m。 整理得 ，解得 或 。取 m。 例3　内侧等宽边框 一块长24 cm、宽18 cm的长方形纸板，沿四周裁去等宽边条，留下的中心矩形面积为280 cm²。求边条宽度。 解析： 设边条宽为 cm。 整理得 ，所以 或 。因 ，取 cm。 例4　画框宽度 一幅长30 cm、宽24 cm的长方形画，四周装上等宽画框。若画框正面面积为288 cm²，求画框宽度。 解析： 设画框宽为 cm，画框外边长为 cm、外边宽为 cm。 整理得 。用公式法得 另一根为负数，舍去。此题说明实际宽度不一定为整数。 例5　边框内区面积与取值范围 长16 m、宽10 m的长方形场地内部四周留出等宽通道。若中心区域面积为96 m²，求通道宽度。 解析： 整理得 ，所以 由于 ，只取 m。 例6　交叉道路面积的两种表示 长为 、宽为 的矩形中有宽为 的十字道路。道路面积既可写成 也可由总面积减剩余面积得到 两式化简后相同，说明平移法与“减去重复交叉部分”方法一致。 六、随堂练习 1. 长20 m、宽15 m的矩形内四周留宽 m 的边框，写出中心区域面积。 1. 长18 m、宽10 m的矩形外扩宽 m，写出外矩形面积。 1. 长30 m、宽20 m的矩形内有宽 m 的十字道路，写出剩余面积。 1. 十字道路面积可写成什么式子？（用总面积减剩余面积） 1. 长20 m、宽12 m的水池外铺2 m宽道路，求道路面积。 1. 长24 cm、宽18 cm的纸板内裁去2 cm宽边条，求中心面积。 1. 长30 m、宽20 m的绿地内修十字道路，剩余面积504 m²，求道路宽。 1. 长16 m、宽10 m的矩形内留等宽通道，中心面积96 m²，列方程。 1. 长12 cm、宽8 cm的照片外装宽 cm 的相框，写出相框面积。 1. 若内侧边框方程得到 ，而矩形短边为10，能否取该根？ 1. 若道路宽度方程的根为 ，能否作为实际解？ 1. 说明为什么内边框模型中的中心长是 而不是 。 1. 长方形内两条宽均为3 m的道路交叉，交叉区域面积是多少？ 1. 十字道路面积中为什么要减去 ？ 七、分知识点专项训练 知识点A　十字道路与平移法 1. 长28 m、宽18 m的绿地内有等宽十字道路，剩余面积416 m²，求路宽。 1. 长25 m、宽17 m的矩形内有等宽十字通道，通道面积80 m²，求通道宽。 1. 长32 m、宽22 m的场地内有等宽十字道路，剩余面积600 m²，求路宽。 1. 长40 m、宽25 m的矩形内有等宽十字道路，剩余面积864 m²，求路宽。 1. 长24 m、宽16 m的矩形内两条等宽道路贯穿，若道路总面积76 m²，求路宽。 1. 验证：。 知识点B　外侧等宽边框 1. 长18 m、宽10 m的花坛外修等宽道路，道路面积144 m²，求路宽。 1. 长20 m、宽14 m的水池外铺等宽地砖，地砖面积152 m²，求宽度。 1. 长15 cm、宽9 cm的照片外装等宽相框，相框正面面积180 cm²，求相框宽。 1. 一个边长为12 m的正方形外修等宽道路，道路面积112 m²，求路宽。 1. 长25 m、宽15 m的矩形外扩建等宽区域，扩建后总面积651 m²，求扩建宽度。 1. 长30 cm、宽20 cm的画芯外装等宽画框，外轮廓面积936 cm²，求画框宽。 知识点C　内侧等宽边框 1. 长20 m、宽14 m的矩形内留等宽通道，中心面积160 m²，求通道宽。 1. 长26 cm、宽18 cm的纸板四周裁去等宽边条，中心面积308 cm²，求边条宽。 1. 边长20 m的正方形场地内部四周留等宽道路，中心面积256 m²，求路宽。 1. 长30 m、宽20 m的场地内部四周留等宽区域，中心面积336 m²，求宽度。 1. 长16 cm、宽12 cm的矩形框内口面积96 cm²，求框宽。 1. 长24 m、宽16 m的矩形内部四周留宽 m 的通道，若通道面积144 m²，求 。 八、解答题 1. 一块长36 m、宽24 m的矩形草坪内修建等宽十字道路，剩余草坪面积748 m²。求道路宽度。 1. 一个长22 m、宽14 m的长方形水池外铺设等宽防滑带，防滑带面积160 m²。求防滑带宽度。 1. 一张长28 cm、宽20 cm的卡纸，四周裁去等宽边条后，中心面积为384 cm²。求裁去的宽度。 1. 一幅长24 cm、宽18 cm的画芯外装等宽画框，画框正面面积为228 cm²。求画框宽度。 1. 长30 m、宽18 m的长方形花圃内有宽度相同的两条互相垂直的小路。若小路总面积为92 m²，求小路宽度，并用两种方法列式验证。 1. 某矩形场地内部四周修建等宽跑道，外矩形长40 m、宽28 m，中心草地面积864 m²。求跑道宽度，并说明另一个方程根为何舍去。 九、知识思维导图 2.4.3知识思维导图 十、参考答案与解析 教材知识点盘点答案 1. ，。2. ，。3. 外矩形，原矩形。4. 原矩形，中心矩形。5. 。6. 。7. 。8. 正。9. 为正。10. 长度关系，面积关系。 随堂练习答案 1. 。 1. 。 1. 。 1. 。 1. m²。 1. cm²。 1. m。 1. 。 1. 。 1. 不能，因为内区宽 。 1. 不能，宽度必须为正。 1. 左右两侧各占宽 ，合计减少 。 1. m²。 1. 横、竖道路相加时交叉部分被计算两次，需减去一次。 分知识点专项训练答案 1. ，得 或44，取2 m。 1. 道路面积 ，得 或40，取2 m。 1. ，得 或52，取2 m。 1. ，得 或64，取1 m。 1. ，得 或38，取2 m。 1. 展开右边得 ，相减即 。 1. ，得 m。 1. ，得 m。 1. ，得 cm。 1. ，得 m。 1. ，得 m。 1. ，得 cm。 1. ，得 m。 1. ，得 cm。 1. ，得 m。 1. ，得 m。 1. ，得 cm。 1. ，得 m。 解答题解析 1. ，整理得 ，所以 或58，取2 m。 1. ，整理得 ，得 或 ，取2 m。 1. ，得 ，所以 或22，取2 cm。 1. ，整理得 ，所以 cm。负根舍去。 1. 方法一：；方法二：。两式等价，整理得 ，所以 或46，取2 m。 1. ，整理得 ，所以 或32。因为 ，取2 m； 会使中心区域边长为负，舍去。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $