（预习篇）第八讲 一元二次方程章节复习（暑假预习培优讲义）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

null2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第八讲 一元二次方程（章节复习）「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第2章 一元二次方程）】 （思维导图+新知学习+二十一大考点讲练+难度分层练 共52题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练10题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 一元二次方程的概念及解法 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 知识点二 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 知识点三 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 知识点四 一元二次方程的应用 1.用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 2.与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 考点一 由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·山西朔州·期中）若是方程的一个实数根，则代数式的值为__． 【变式训练】（25-26九年级上·福建漳州·期末）若m是一元二次方程的一个根，则代数式为（   ） A．2026 B．2025 C．2033 D．2034 考点二 一元二次方程的解的估算 【典例精讲】（23-24九年级上·福建龙岩·开学考试）根据下列表格对应值： x 判断关于x的方程，的一个解x的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）探索一元二次方程的一个正数解的过程如下表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 从表中可以看出方程的一个正数解在相邻整数a和b之间，则整数a，b分别是____． 考点三 解一元二次方程——直接开平方法 【典例精讲】（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏南京·期末）解方程． 考点四 解一元二次方程——配方法 【典例精讲】（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）方程配方成的形式后，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）将方程配方成的形式，则______． 考点五 配方法的应用 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）方程配方后得，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽淮南·期中）定义：符号的含义为：当时，，当时，，如：，． （1）________； （2）方程的解是________． 考点六 公式法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知实数a，b，c，且． (1)若a，b，c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由求根公式法解得方程的根为，求的值．（一元二次方程的一般形式为，求根公式为：） (2)若，且，，求c的最小值． 【变式训练】（25-26九年级上·福建泉州·期末）解一元二次方程：． 考点七 因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·山西朔州·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）解方程： (1)； (2)． 考点八 换元法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26八年级上·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 考点九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（25-26九年级上·河南新乡·期末）一元二次方程 的根的情况是 （   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式训练】（25-26九年级上·山西晋城·期末）方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 考点十 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）若关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是__________． 【变式训练】（25-26九年级上·河南许昌·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（   ） A． B．1 C．0 D． 考点十一 解分式方程(化为一元二次) 【典例精讲】（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1) (2) 考点十二 一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为________． 【变式训练】（25-26九年级上·江西赣州·期末）若，是方程的两个根，则________． 考点十三 传播问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏常州·期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【变式训练】（25-26九年级上·河北保定·期中）某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有324人感染，假设每轮感染中平均一人感染人数相同，按这样的速度第三轮后共有（　　）人被传染． A．341 B．5508 C．5832 D．5850 考点十四 增长率问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·福建泉州·期末）为助力乡村建设，某铁观音茶园2023年茶叶产值为200万元，2025年茶叶产值达到242万元，设该茶园这两年产值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（   ）． A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·河南周口·期末）某药品经过两次降价每瓶零售价由元降为元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，根据题意列方程（    ） A． B． C． D． 考点十五 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，线段的长为1，点在线段上，满足关系式． (1)求线段的长度； (2)点在线段上，且．直接写出线段与的数量关系． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地．如图所示，设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程为_________． 考点十六 数字问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期末）两个连续偶数的积是，设较小偶数为，根据题意，可列方程为_____． 【变式训练】（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄．设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为_____． 考点十七 营销问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·河南信阳·期末）信阳是有名的“板栗之乡”，信阳板栗因其个小、皮薄、肉厚、香味独特、方便运输、生虫率低而闻名全国．小李以5元每千克的价格购进400千克板栗进行批发销售，售价为6元/千克．若将板栗先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共20元，但每天每千克的销售价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）． (1)若小李要将这批板栗储藏x天后一次性出售，则x天后这批板栗的销售单价为___________元，销售量是___________，（均用含x的代数式表示） (2)若小李想获得800元的利润，则需要将这批板栗储藏多少天后一次性出售？ 【变式训练】（25-26九年级上·四川成都·期末）春联不只点缀门楣，更凝结着深厚的文化哲思与民间情感，某同学计划寒假售卖春联，并将所得利润全部捐给山区助学计划．调查发现：某种春联每副进价为12元，并且当这种春联销售价为20元时，平均每天能售出8副；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出4副．该同学希望这种春联的销售利润平均每天达到144元，那么这种春联的售价应为多少元？设这种春联售价定为x元．则可列方程为（   ） A． B． C． D． 考点十八 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（      ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 【变式训练】（25-26九年级上·广东汕尾·阶段检测）如图所示，在中，，，，点P由点A出发，沿边以的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿边以的速度向点C移动．如果点P、Q分别从点A，B同时出发，问：经过几秒后，的面积等于？ 考点十九 行程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【变式训练】一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间？ （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ （3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？ 考点二十 其他问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）额尔古纳湿地位于内蒙古自治区呼伦贝尔市，是亚洲面积最大，保存最完好的木本湿地系统，被誉为亚洲第一湿地．为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元／人． (1)若某单位组织22人去额尔古纳湿地旅游，购买门票费用为___________元； (2)若某单位支付该景区门票费用共计1500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽淮南·期中）若是方程的一个根，设，，则M与N的大小关系正确的为（    ） A． B． C． D．不确定 考点二十一 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）2025年“湘超”联赛9月7日在长沙市贺龙体育场举行．本届赛事分常规赛（即每个参赛队都与所有其他队比赛且只比赛一场）和淘汰赛两阶段，在常规赛阶段中，来自湖南省各市州的多支本土男足劲旅在为期3个月的时间内展开了91场比赛．若设共有支本土男足劲旅参加比赛，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·云南昭通·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．求云南共有多少个州（市）？ 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知，是方程的两根，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D．， 2．（25-26九年级上·河南三门峡·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）若是方程的两个实数根，则的值为__． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如果关于x的方程有两个实数根，那么a的取值范围是________． 5．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程：， 第一步 第二步 第三步 (1)任务一：填空：①以上解题过程中，第一步变形的名称是______；②第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)任务二：请你写出该方程正确的解法． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）在数学发展史上，一元二次方程的正根可以通过几何方法进行研究．如图，已知矩形的边长，， 连接， 分别以点A、C为圆心，，长为半径画弧，分别交于E，F两点，若关于x的一元二次方程； 通过勾股定理发现这个方程的正根是哪条线段的长？（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆江北·阶段检测）已知整式，其中n，为自然数，，…，为正整数，且…①满足条件的所有整式M中有且仅有2个单项式；②当时，满足条件的所有整式M的和为；③满足条件的所有二次三项式中，使能在实数范围内因式分解的整式M共3个．其中正确的个数是(     ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（25-26九年级上·山东·期末）反比例函数与一次函数的图象交于点A和点B，则不等式的解集为______． 4．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根，，关于的方程的根为，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是________． 5．（25-26九年级上·内蒙古兴安·阶段检测）如图，中，，，，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)判断的形状； (2)若平分，且，、为方程的两根，求的值． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『预习篇』 第八讲 一元二次方程（章节复习）「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•九年级上册（第2章 一元二次方程）】 （思维导图+新知学习+二十一大考点讲练+难度分层练 共52题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材九年级上册内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，新知学习，高频考点优选题讲练，难度分层练10题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 一元二次方程的概念及解法 一元二次方程的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一般形式： ， 其中：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解. 解一元二次方程的方法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 特征 步骤 解法 直接开平方法 形如ax2=b（a≠0）的一元二次方程 1）方程两边同时除以a，得x2= 2）两边分别开方得x1=，x= - 配方法 可配成 (mx+a) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解. 【注意】：①当b <0时，方程无解 ②当b≥0时，方程的根是x= 因式分解法 可化成 (ax+b)(cx+d)=0形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解. 公式法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出x1，x2。 知识点二 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法选择 1）当a=1，b为偶数，c≠0时，首选配方法； 2）当b=0时，首选直接开平方法； 3）当c=0时，可选因式分解法或配方法； 4）当a=1，b≠0，c≠0时，可选配方法或因式分解法； 5）当a≠1，b≠0，c≠0时，可选公式法或因式分解法. 根的判别式 一般地，式子叫做一元二次方程 根的判别式，通常. 根的情况与判别式的关系 ＞0 方程有两个不相等的实根: =0 方程有两个相等的实根： ＜0 方程无实根 知识点三 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是和，则，与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝； ＝ 【扩展】用根与系数的关系求值时的常见转化： 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 知识点四 一元二次方程的应用 1.用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 2.与一元二次方程有关应用题的常见类型： 1）变化率问题 解决这类问题的关键是理解“增长了”与“增长到”、“降低了”与“降低到”的区别，尤其要理解第二次变化是在第一次变化的基础上发生的.解决此类问题时，务必要记住公式a(1±x)n=b，其中a为增长(或降低)的基础数，x为增长(或降低)的变化率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量.即： 2）利润和利润率问题 在日常生活中，经常遇到有关商品利润的问题，解决这类问题的关键是利用其中已知量与未量之间的等量关系建立方程模型，并通过解方程来解决问题.要正确解答利润或利润率问题，首先要理解进价、售价、利润及利润率之间的关系：利润=售价一进价；利润率=利润×100%. 3)面积问题 几何图形的面积问题是中考的热点问题，通常涉及三角形、长方形、正方形等图形的面积，需利用图形面积公式，从中找到等量关系解决问题.有关面积的应用题，均可借助图形加以分析，以便于理解题意. 常见类型1：如图1，矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a−2x)(b−2x)． 常见类型2：如图2，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为(a−x)(b−x)． 常见类型3：如图3，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和能转化为(a−x)(b−x)． 4)分裂（传播）问题 解决此类问题的关键是原细胞或传染源在不在总数中.其一般思路是先分析问题情境，明确是分裂问题还是传播问题，然后找出问题中的数量关系，再建立适当的数学模型求解. ①传播问题：传染源在传播过程中，原传染源的数量计入传染结果，若传染源数量为1，每一个传染源传染x个个体，则第一轮传染后，感染个体的总数为1+x，第二轮传染后感染个体的总数为 (1+x)2. ②分裂问题：细胞在分裂过程中，原细胞数目不计入分裂总数中，若原细胞数目为1，每一个细胞分裂为x 个细胞，则第一次分裂后的细胞总数为x，第二次分裂后的细胞总数为x2. 5）碰面问题（循环）问题 ① 重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分． ∴m =n（n－1） ② 不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m． ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场． ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠． ∴m = n（n－1） 考点一 由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（24-25九年级上·山西朔州·期中）若是方程的一个实数根，则代数式的值为__． 【答案】 【分析】先根据是方程的根得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的一个实数根， ，则， 将代入得原式． 【变式训练】（25-26九年级上·福建漳州·期末）若m是一元二次方程的一个根，则代数式为（   ） A．2026 B．2025 C．2033 D．2034 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值．利用方程解的定义对代数式变形，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 考点二 一元二次方程的解的估算 【典例精讲】（23-24九年级上·福建龙岩·开学考试）根据下列表格对应值： x 判断关于x的方程，的一个解x的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一元二次方程的近似解，解答本题的关键是明确题意，写出x的取值范围． 根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负时，然后即可得到关于x的方程 的一个解x的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时， ； 当时，． 关于x的方程 的一个解x的范围是； 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）探索一元二次方程的一个正数解的过程如下表： x 0 1 2 3 4 5 13 23 从表中可以看出方程的一个正数解在相邻整数a和b之间，则整数a，b分别是____． 【答案】1、2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，可求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∵方程的一个正数解在相邻整数a和b之间， ∴， 故答案为：1、2． 考点三 解一元二次方程——直接开平方法 【典例精讲】（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 通过计算每个一元二次方程进行解题． 【详解】解：A：，，有实数根，故该选项不合题意； B：，，，有实数根，故该选项不合题意； C：，，无实数根，故该选项符合题意； D：，，，有实数根，故该选项不合题意． 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏南京·期末）解方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用直接开平方法解方程是解题的关键．先移项，然后运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得． 考点四 解一元二次方程——配方法 【典例精讲】（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）方程配方成的形式后，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，进而得到的形式，确定和的值． 【详解】解：原方程为，移项得， 在等式两边同时加上一次项系数一半的平方为，得， 即， 对比的形式，可得，， ∴正确选项为A． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）将方程配方成的形式，则______． 【答案】30 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方将原方程转化为的形式，确定与的值后，计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 整理得， ∴， ∴． 考点五 配方法的应用 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）方程配方后得，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程，核心是掌握配方法的步骤．通过在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，进而确定和的值，最终计算． 【详解】解：， ， ， ， 与比较，得，， ． 故选：． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽淮南·期中）定义：符号的含义为：当时，，当时，，如：，． （1）________； （2）方程的解是________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程，解一元一次不等式，配方法，解题的关键是正确理解定义以及熟练运用一元二次方程的解法． （1）通过比较二次函数与常数2的大小关系，利用配方法求得，从而根据定义得出结果； （2）根据与的大小关系分类讨论，分别解方程并验证解的取值范围是否符合条件． 【详解】解：（1）对于 ，需比较与2的大小， 配方法： ， 因此恒有， ∵当 时，， ∴， 故答案为：； （2）方程， 分以下两种情况讨论： ①当，即时，， 则，即， 解得， 其中符合条件，不符合条件，舍去； ②当，即 时，， 则，即， 解得， 其中 符合条件，不符合条件，舍去； 综上，方程的解为． 故答案为：． 考点六 公式法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知实数a，b，c，且． (1)若a，b，c分别是关于x的一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项，由求根公式法解得方程的根为，求的值．（一元二次方程的一般形式为，求根公式为：） (2)若，且，，求c的最小值． 【答案】(1) (2)c的最小值为2 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：熟练掌握一元二次方程的求根公式和根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程的求根公式得到，，，则可求出，从而可计算出的值； （2）变形已知条件得到，则，整理得，利用根的判别式的意义得到，解不等式得，从而得到c的最小值为2． 【详解】（1）解：∵用公式法解得方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵关于b的一元二次方程有实数解， ∴， 而， ∴， ∴， ∴c的最小值为2． 【变式训练】（25-26九年级上·福建泉州·期末）解一元二次方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握公式法是解答本题的关键． 方程利用公式法求解即可． 【详解】解： 整理，得， ∵， ∴， ∴ 解得： 考点七 因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】（24-25九年级上·山西朔州·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可； （2）先根据平方差公式进行化简，再移项，进而根据提公因式法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， 或， ∴． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 分解因式得：， 即或， ∴，． （2）解：原方程变形得：， 配方得：， 即， ∴， ∴，． 考点八 换元法解一元二次方程 【典例精讲】（25-26八年级上·上海金山·期中）降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． （2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． （2）解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． 【变式训练】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【答案】或或或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于y的二次方程求解，然后代回解关于x的方程． 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 考点九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例精讲】（25-26九年级上·河南新乡·期末）一元二次方程 的根的情况是 （   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【变式训练】（25-26九年级上·山西晋城·期末）方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义．根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，即可求解． 【详解】解：∵方程为 ∴，， ∴ ∴原方程没有实数根 故选：C． 考点十 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）若关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．当一元二次方程有两个不等实根时，其判别式大于0，据此构建关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：对于一元二次方程，其根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根． 在方程中，，，，代入得． 因为方程有两个不等实根，所以，即． 解得． 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·河南许昌·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式性质，当方程有两个相等的实数根时，判别式，代入方程系数计算即可求出m的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 考点十一 解分式方程(化为一元二次) 【典例精讲】（25-26八年级上·上海·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程和分式方程的解法． （1）先将方程去掉括号后展开得到，再移项、合并同类项后得，利用因式分解的方法解一元二次方程即可得出结果； （2）先将方程移项得，观察方程将变号并将分母的式子交换位置后得，方程两边同时乘以，得，再通过去括号、移项、合并同类项后得，利用因式分解的方法解一元二次方程得出，，由于是方程的增根，故舍去，得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，． （2）解：， ， ， ， ， ， 或， ，， ∵是方程的增根， ∴舍去， ∴． 【变式训练】（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程与分式方程的解法，解题的关键是整式方程通过展开化简后因式分解求解，分式方程需去分母转整式方程并检验增根． （1）将方程展开化简为一元二次方程，因式分解求解； （2）分式方程去分母转整式方程，化简求解后检验增根，即可解答． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 检验：当时，，（舍去）． ∴方程的解为． 考点十二 一元二次方程的根与系数的关系 【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知一元二次方程的两个根为，，则的值为________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 【变式训练】（25-26九年级上·江西赣州·期末）若，是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，对所求代数式因式分解，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，. ∴ ． 考点十三 传播问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏常州·期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？ 【答案】6 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．设这种植物每个支干长出个小分支，则1个主干长出个枝干，个枝干长出个小分支，再根据总数是43，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出个小分支， 则， 解得：，（舍）， 即这种植物每个支干长出个小分支． 【变式训练】（25-26九年级上·河北保定·期中）某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有324人感染，假设每轮感染中平均一人感染人数相同，按这样的速度第三轮后共有（　　）人被传染． A．341 B．5508 C．5832 D．5850 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均每人传染x人，根据两轮后总感染人数列方程求解x，再计算第三轮后总感染人数即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x人， ∵ 经过两轮传播后总感染人数为人， ∴， 解得（舍去负值）， 第三轮后总感染人数为． 故选：C． 考点十四 增长率问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·福建泉州·期末）为助力乡村建设，某铁观音茶园2023年茶叶产值为200万元，2025年茶叶产值达到242万元，设该茶园这两年产值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据年平均增长率问题列一元二次方程，理解题意，列出方程即可． 【详解】解：∵2023年茶叶产值为200万元，年平均增长率为x， ∴2024年茶叶产值为万元， ∴2025年茶叶产值为万元， 又∵2025年茶叶产值达到242万元， ∴可列方程为， 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·河南周口·期末）某药品经过两次降价每瓶零售价由元降为元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，根据题意列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程在降价百分率问题中的应用，需根据每次降价后的价格与原价、降价百分率的关系列方程． 【详解】解：设每次降价的百分率为，根据题意得， 故选：C． 考点十五 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，线段的长为1，点在线段上，满足关系式． (1)求线段的长度； (2)点在线段上，且．直接写出线段与的数量关系． 【答案】(1) (2)线段与的数量关系 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程，解题的关键是根据题中线段之间的关系列方程． （1）设线段的长度为，则，根据列方程进行解答即可得； （2）设线段的长度为，则线段，根据列方程求解，即可得到线段与的数量关系． 【详解】（1）解：设线段的长度为，则， ∵， ∴， ， ， 解得，  （舍）， ∴； （2）解：设线段的长度为，则线段， ∵， ∴， ， 解得，（舍）， ∴； ∴， ∴线段与的数量关系． 【变式训练】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地．如图所示，设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程为_________． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ， 化为一般形式为：． 故选：或． 考点十六 数字问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期末）两个连续偶数的积是，设较小偶数为，根据题意，可列方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 两个连续偶数相差2，设较小偶数为x，则较大偶数为，根据积为120列方程． 【详解】解：设较小偶数为x，则较大偶数为， 由题意得． 故答案为:． 【变式训练】（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄．设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题，根据题意，十位数字为，周瑜逝世的年龄为，且个位数字的平方刚好是周瑜逝世的年龄，即，由此列式即可求解． 【详解】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为， 由题意得，， 故答案为：． 考点十七 营销问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·河南信阳·期末）信阳是有名的“板栗之乡”，信阳板栗因其个小、皮薄、肉厚、香味独特、方便运输、生虫率低而闻名全国．小李以5元每千克的价格购进400千克板栗进行批发销售，售价为6元/千克．若将板栗先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共20元，但每天每千克的销售价格能上涨0.5元（储藏时间不超过10天）． (1)若小李要将这批板栗储藏x天后一次性出售，则x天后这批板栗的销售单价为___________元，销售量是___________，（均用含x的代数式表示） (2)若小李想获得800元的利润，则需要将这批板栗储藏多少天后一次性出售？ 【答案】(1)销售单价为元,销售量是 (2)4天 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．找出等量关系列出方程即可得到答案． （1）由原来的销售价格加上涨价部分的价格可得实际销售价格，由原来的销售量减去降低的销售量可得实际的销售量． （2）利用实际销售价乘以实际的销售量再减去成本等于利润建立方程求解即可． 【详解】（1）解：若小李要将这批板栗储藏x天后一次性出售，则 x 天后这批板栗的销售单价为元，销售量是. （2）解：由题意得，， 整理，得， 解得，， 因为储藏时间不超过10天，所以不符合题意，舍去． 答：需要将这批板栗储藏4天后一次性出售． 【变式训练】（25-26九年级上·四川成都·期末）春联不只点缀门楣，更凝结着深厚的文化哲思与民间情感，某同学计划寒假售卖春联，并将所得利润全部捐给山区助学计划．调查发现：某种春联每副进价为12元，并且当这种春联销售价为20元时，平均每天能售出8副；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出4副．该同学希望这种春联的销售利润平均每天达到144元，那么这种春联的售价应为多少元？设这种春联售价定为x元．则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（利润问题），正确理解题意是解题的关键．利用“总利润每副春联的利润销售量”的等量关系列方程． 【详解】解：设春联售价定为元，则每副春联的利润为元， 根据题意，得． 故选：C． 考点十八 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（      ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 设运动时间为，则，，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 设运动时间为，则，， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级上·广东汕尾·阶段检测）如图所示，在中，，，，点P由点A出发，沿边以的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿边以的速度向点C移动．如果点P、Q分别从点A，B同时出发，问：经过几秒后，的面积等于？ 【答案】1秒或3秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设经过x秒后，的面积等于，则，，利用三角形面积公式结合的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设经过x秒后，的面积等于，则，， 则， ， 解得：，， 即经过1秒或3秒后，的面积等于． 考点十九 行程问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【变式训练】一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间？ （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ （3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？ 【答案】（1）2.5s；（2）8m/s；（3）0.9 【分析】（1）由题意可得s＝25m，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从20m/s减少到0，由（1）可得车速减少共用了2.5秒，平均每秒车速减少量＝总共减少的车速÷时间，由此可求得； （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s，继而可表示出这段路程内的平均车速，从而可求得x． 【详解】解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是（m/s）， 那么从刹车到停车所用的时间是s； （2）从刹车到停车车速的减少值是20-0＝20， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是m/s； （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s， 则这段路程内的平均车速为， 所以x（20-4x）＝15， 整理得：4x²-20x＋15＝0， 解得：， ∴x≈4.08（不合，舍去），x≈0.9（s）， 答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s． 考点二十 其他问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）额尔古纳湿地位于内蒙古自治区呼伦贝尔市，是亚洲面积最大，保存最完好的木本湿地系统，被誉为亚洲第一湿地．为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准：标准一：如果人数不超过20人，门票价格为70元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于55元／人． (1)若某单位组织22人去额尔古纳湿地旅游，购买门票费用为___________元； (2)若某单位支付该景区门票费用共计1500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 【答案】(1)1452 (2)25名 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解决本题关键是读懂题意，建立等式列方程． （1）根据标准二先求解门票，即可求解总费用； （2）根据费用共计1500元，则人数超过20人，则根据标准二建立等式列方程即可． 【详解】（1）解：门票价格为（元／人）， ∴（元 ）， 故答案为：1452； （2）解：设该单位有名员工去该景区旅游， 则可列方程：， 整理得：， 解得：， 当时，， 当时， 舍去， 该单位共有25名员工去该景区旅游． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽淮南·期中）若是方程的一个根，设，，则M与N的大小关系正确的为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和作差法比较大小，通过代入和化简得到定值，从而确定大小关系．将代入方程得到关系式，然后计算，利用代入化简比较大小． 【详解】解： 是方程 )的根， ，即 ． ， ， ． 故选：A． 考点二十一 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【典例精讲】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）2025年“湘超”联赛9月7日在长沙市贺龙体育场举行．本届赛事分常规赛（即每个参赛队都与所有其他队比赛且只比赛一场）和淘汰赛两阶段，在常规赛阶段中，来自湖南省各市州的多支本土男足劲旅在为期3个月的时间内展开了91场比赛．若设共有支本土男足劲旅参加比赛，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，单循环比赛场次的计算，关键是理解每个队比赛场次以及避免重复计算． 设共有支本土男足劲旅参加比赛，根据在为期3个月的时间内展开了91场比赛列出方程即可． 【详解】解：∵共有支队伍参赛， ∴每支队伍需与其余支队伍各赛一场， 又∵每场比赛会被重复计算一次， ∴总比赛场次为， ∵已知总场次为91场， ∴， 故选：B． 【变式训练】（25-26九年级上·云南昭通·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．求云南共有多少个州（市）？ 【答案】云南共有16个州（市） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设云南共有个州（市），根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设云南共有个州（市）， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：云南共有16个州（市）． 【基础通关能力提升】 1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）已知，是方程的两根，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】根据判别式即可判断A；根据根与系数的关系得到，，进而可判断B，C，D． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，即，故A正确； ∴， ∵的符号不确定， ∴不一定成立，故B错误； ∴，故C错误； ∵仅说明两根异号，无法确定，，也可能，，故D错误． 2．（25-26九年级上·河南三门峡·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，根据方程有两个不相等的实数根得出判别式大于0，解不等式得到m的取值范围，再结合选项选出符合条件的m值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 其中，，， 代入得：， 解得：， ∵选项中只有， ∴m的值可以是． 故选：D． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）若是方程的两个实数根，则的值为__． 【答案】 【分析】先由一元二次方程解的定义得到 ，再由根与系数的关系得到，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：是方程的两个实数根， ，， ， ． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如果关于x的方程有两个实数根，那么a的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式确定参数，列出不等式组求解． 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴ 由， 得， 由， 得 ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 5．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程：， 第一步 第二步 第三步 (1)任务一：填空：①以上解题过程中，第一步变形的名称是______；②第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)任务二：请你写出该方程正确的解法． 【答案】(1)移项；二，未考虑的情况 (2) 解：， ， 解得，． 【分析】（1）题干使用了整体思想，将视作一个整体，第一步为移项，第二步两边同除以，但未考虑的情况，因此出现错误； （2）将视作一个整体，使用因式分解法解方程． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）在数学发展史上，一元二次方程的正根可以通过几何方法进行研究．如图，已知矩形的边长，， 连接， 分别以点A、C为圆心，，长为半径画弧，分别交于E，F两点，若关于x的一元二次方程； 通过勾股定理发现这个方程的正根是哪条线段的长？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先算出方程的正根为，再根据题意用、表示出的长，即可解答． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵， 方程的一个正根是， 四边形是长方形， ，，， 在中，，， 由勾股定理得：， 由作图过程知，， ， 方程的一个正根是的长， 故选：B． 2．（25-26九年级上·重庆江北·阶段检测）已知整式，其中n，为自然数，，…，为正整数，且…①满足条件的所有整式M中有且仅有2个单项式；②当时，满足条件的所有整式M的和为；③满足条件的所有二次三项式中，使能在实数范围内因式分解的整式M共3个．其中正确的个数是(     ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题综合考查了整式与因式分解，一元二次方程根的判别式的意义，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】，为自然数，，，为正整数，且 ， 且 ，故，即，，，． 对于： ，为单项式． 对于： ，．当 时，，为单项式；其他为二项式． 对于： ，所有为三项式，无单项式． 对于： ，所有为四项式，无单项式． ∴满足条件的M中仅有和两个单项式，故①正确． 当时，有种：， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②正确； 二次三项式即， ， ，满足， ，可因式分解需判别式． ∵，∴． 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，符合题意， 当时，（舍去，不是二次三项） 当时，（舍去，不是二次三项） ∴使能在实数范围内因式分解的整式M共1个，故③不正确． 综上所述，正确的有①②． 故选：B． 3．（25-26九年级上·山东·期末）反比例函数与一次函数的图象交于点A和点B，则不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，反比例函数与一次函数的交点问题．先求反比例函数与一次函数的交点横坐标，再根据函数图象的位置关系确定不等式的解集． 【详解】解：解方程，得或 结合图象，当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方， 故不等式的解集为或． 故答案为：或． 4．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根，，关于的方程的根为，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是________． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程中根与系数的关系，利用根与系数的关系得到和，进而将用和表示为，然后通过计算和的表达式，分情况讨论和的符号关系，判断大小顺序． 【详解】解：对于方程（），有两个不相等的实数根，（），由根与系数的关系，得， 对于方程，解得：， 代入根与系数的关系，， ∴， ， 分情况讨论： 当时，，则，，所以，结论①正确； 当时，，则，，所以，结论③正确； 当时， 若，则，，， 所以，结论①正确； 若，则，，， 所以，结论③正确； 综上，所有可能正确的结论是①和③． 故答案为：①③． 5．（25-26九年级上·内蒙古兴安·阶段检测）如图，中，，，，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)判断的形状； (2)若平分，且，、为方程的两根，求的值． 【答案】(1)直角三角形 (2)6 【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根，运用根的判别式可得，由此可得，由勾股定理逆定理即可求解； （2）如图所示，过点作于点，作延长线于点，根据角平分线的定义和性质可得，，，可证，可得，即一元二次方程两个根相等，再根据根的判别式进行计算，最后根据图形的性质检验根的情况，即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 关于的方程有两个相等的实数根， ∴方程化为一般式为： ∴，整理得，， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图所示，过点作于点，作延长线于点， ∵平分， ∴，且， 由（1）可得，， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∵、为方程的两根， ∴，整理得，， 解得，， 当时，原方程为， 解得，，不符合题意，舍去； 当时，原方程为， 解得，，即，符合题意； ∴的值为． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null