2.3 一元二次方程根与系数的关系 暑期讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级上册数学暑期精品讲义｜2.3 一元二次方程根与系数的关系 2.3 一元二次方程根与系数的关系 苏科版数学九年级上册暑期精品讲义 适用教材： 苏科版数学九年级上册（一元二次方程单元） 资料类型： 2026—2027学年暑期预习精品讲义 学生信息： 姓名：____________________　班级：____________________　日期：____________________一、学习目标 1. 经历从具体方程两根的和、积中发现规律的过程，理解根与系数的关系。 1. 掌握：若 、 是方程 的两个实数根，则 ，。 1. 会利用根与系数关系求两根的对称式、确定参数、判断根的符号并构造方程。 1. 能在不直接求出两根的情况下完成计算，体会“整体代换”和“由根看系数”的思想。 二、重难点一览 项目 具体内容 学习提示 重点1 两根和、两根积公式 先把方程化为一般形式 重点2 由和、积求对称式 常用 重点3 已知根的和、积构造方程 首项系数取1时为 难点1 含参数问题 同时关注 与实根条件 难点2 根的符号判断 综合两根和、积的正负 易错点 符号与分母 的负号不可漏 三、教材知识点盘点（先填空） 1. 若 、 是方程 的两个根，则 ____________________________。 1. 同上，____________________________。 1. 对方程 ，两根和为________________，两根积为________________。 1. 已知两数的和为 、积为 ，以这两个数为根的一元二次方程可写成____________________________。 1. ________________________________________________。 1. ________________________________________________。 1. 当 时，________________________________。 1. 若两根同号，则 应为________；若两根异号，则 应为________。 1. 使用根与系数关系前，应先确认方程是________________方程，并把它整理成________________形式。 1. 若题目明确讨论两个实数根，还应检查判别式 满足________________。 四、核心知识图示 根与系数关系使用路径 韦达定理知识卡 五、公式的发现与说明 设方程 有两个实数根 、。由求根公式 相加得 相乘得 这说明：两根虽然可能含有根式，但它们的和与积常可直接由系数得到。 六、典型例题 例1　直接求两根和与积 已知 、 是方程 的两个根，求 、。 解析： ，，，所以 例2　求平方和 已知 、 是方程 的两个根，求 。 解析： ，。 例3　求两根之差的平方 已知 、 是方程 的两个根，求 。 解析： ，。 例4　求倒数和 已知 、 是方程 的两个根，求 。 解析： ，。 例5　已知一个根求另一个根与参数 已知方程 的一个根为1，求另一个根及 的值。 解析： 设另一根为 。由两根和，，所以 ；由两根积，。因此 ，。代入原方程检验，方程为 ，根确为1和0。 例6　由两根和、积构造方程 以 、 为根，写出一个二次项系数为1的一元二次方程。 解析： 两根和为6，积为7，所以方程为 例7　根的符号判断 不解方程，判断 两根的符号。 解析： ，所以两根异号。 七、随堂练习 1. 方程 的两根和与积分别是多少？ 1. 方程 的两根和与积分别是多少？ 1. 方程 的两根和与积分别是多少？ 1. 已知 、 是 的根，求 。 1. 已知 、 是 的根，求 。 1. 已知 、 是 的根，求 。 1. 已知 、 是 的根，求 。 1. 以2和 为根，写出一个二次项系数为1的方程。 1. 以 和 为根，写出一个二次项系数为1的方程。 1. 方程 的两根为3和4，求 。 1. 方程 的两根之和为 ，求 。 1. 不解方程，判断 两根是同号还是异号。 1. 不解方程，判断 两根的符号。 1. 若方程 的两根互为倒数，求 。 八、分知识点专项训练 知识点A　直接读取两根和、积 1. 。 1. 。 1. 。 1. 。 1. 。 1. 将 整理后，写出两根和与积。 知识点B　对称式计算 1. 已知 、 是 的根，求 。 1. 已知 、 是 的根，求 。 1. 已知 、 是 的根，求 。 1. 已知 、 是 的根，求 。 1. 已知 、 是 的根，求 。 1. 已知 、 是 的根，求 。 知识点C　参数与构造方程 1. 方程 的两根和为5，求 。 1. 方程 的两根积为 ，求 。 1. 方程 的两根平方和为10，求 。 1. 已知两根和为 、积为 ，写出一个二次项系数为1的方程。 1. 以 、 为根，构造一个整系数一元二次方程。 1. 若方程 的两根均为负数，写出 应满足的基本条件（结合两根和、积与判别式）。 九、解答题 1. 已知 、 是方程 的两个根，不解方程，求： （1）；（2）。 1. 已知 、 是方程 的两个根，求 。 1. 已知关于 的方程 的两个根之差的平方为9，求 。 1. 已知方程 的一个根是1，求另一个根和 。 1. 已知两个实数的和为4、平方和为10，求这两个数，并写出以它们为根的一元二次方程。 1. 已知方程 的两根为 、。若 ，求 ，并检验对应方程是否有实数根。 十、知识思维导图 2.3知识思维导图 十一、参考答案与解析 教材知识点盘点答案 1. 。2. 。3. ，。4. 。5. 。6. 。7. 。8. 正，负。9. 一元二次，一般。10. 。 随堂练习答案 1. 和为7，积为10。 1. 和为 ，积为 。 1. 和为0，积为 。 1. 。 1. 两根和为3、积为 ，故 。 1. 。 1. ，，故 。 1. 。 1. 两根和为2、积为 ，方程为 。 1. 。 1. ，所以 。 1. 两根积为 ，两根异号。 1. 两根积为 、两根和为 ，所以两根均为负数。 1. 两根积为1，所以 。 分知识点专项训练答案 1. 和为 ，积为14。 1. 和为 ，积为 。 1. 和为 ，积为 。 1. 和为0，积为 。 1. 和为 ，积为 。 1. 整理为 ，和为4，积为 。 1. 。 1. 和为 、积为 ，故差的平方为 。 1. 。 1. 和为 、积为 ，立方和为 。 1. 。其中和为1、积为 ，平方和为 ，结果为 。 1. 。 1. ，所以 。 1. ，所以 。 1. ，所以 。 1. 。 1. 两根和为4、积为 ，方程为 。 1. 两根和 ，故 ；两根积 ；判别式 恒成立。综合得 。 解答题解析 1. 两根和为 ，积为 。 （1）。 （2）。 1. 两根和为3、积为 ，故 。 1. 两根和为 ，积为 。由 ，得 ，所以 或 。两种情形判别式均为9，均符合。 1. 代入 ：，得 。两根积为 ，所以另一根为 。 1. 设两数为 。由 ，得 ，所以 。方程为 ，两数为1和3。 1. 由 ，得 ，所以 或 。当 时，方程为 ，有实数根；当 时，方程为 ，也有实数根。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $