2.3一元二次方程根与系数的关系导学案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过具体方程实例引导学生观察根与系数的关系，连接已学求根公式，搭建从已知到未知的学习支架，帮助理解定理推导思路及使用前提。 资料特色为分层巩固练习（基础过关与能力提升）和典例覆盖多题型（基础计算、参数问题、新定义），强调判别式前提与易错点，培养学生抽象能力、推理能力和应用意识，提升代数综合应用能力。

2.3一元二次方程根与系数的关系 导学案 【学习目标】 1、理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的核心内容，掌握其推导思路，明确定理的使用前提； 2、能熟练运用韦达定理，解决基础的两根和、两根积的计算问题，以及常见代数式的变形求值问题； 3、能结合根的判别式，解决参数的取值范围问题，解决新定义、综合应用等拓展题型，提升代数综合应用能力。 【学习重难点】 重点：韦达定理的核心内容，基础的两根和、积的计算，常见代数式的变形求值； 难点：结合判别式的参数取值范围问题，综合类的应用问题，新定义题型的解决。 【学习过程】 一、情境引入 我们之前学习了一元二次方程的解法，比如求根公式，可以解出方程的根。那如果我们不解方程，能不能直接通过方程的系数，知道两个根的和与积呢？ 比如，我们看这个方程：，我们解出来它的根是 2 和 3，我们发现： 两个根的和是，刚好是一次项系数的相反数； 两个根的积是，刚好是方程的常数项。 这是不是一个巧合？还是所有的一元二次方程都有这样的规律？ 其实，这就是我们今天要学习的一元二次方程根与系数的关系，也叫做韦达定理。有了这个定理，我们不用解方程，就能解决很多关于根的问题，比如求代数式的值、求参数，甚至解决一些复杂的综合问题，今天我们就来一起学习这个重要的定理。 二、知识点梳理 1. 韦达定理的核心内容 对于一元二次方程 （），如果方程有两个实数根 、，那么： 特别提醒：如果方程的二次项系数为 1，也就是方程是 的形式，那么两根的关系就更简单了：，，这个是我们最常用的形式。 2. 定理的使用前提 韦达定理不是所有的一元二次方程都能用的，它的使用有一个前提：方程必须有两个实数根，也就是根的判别式 ！ 很多同学在求参数的时候，很容易忽略这个前提，导致解出来的参数不符合方程有实根的条件，从而出错，这个一定要注意！ 3. 常见的代数式变形 我们经常需要把一些关于根的代数式，转化为用和表示的形式，这样就能用韦达定理整体代入，常见的变形有： 三、典例精讲 例 1：基础的两根和与积的计算 已知关于的一元二次方程，若、是方程的两个实数根，求和的值。 解析： 根据韦达定理，对于方程，这里，，， 所以： ， 。 答案：，。 例 2：已知一个根，求另一个根与参数 已知关于的一元二次方程的一个根是 2，求它的另一个根。 解析：设方程的另一个根为，根据韦达定理，两根之和为， 已知一个根是 2，所以，解得。 我们也可以用两根之积来验证：，刚好等于常数项，符合。 答案：另一个根是 3。 例 3：求根的代数式的值 若、是关于的一元二次方程的两个实数根，求代数式的值。 解析：首先，根据韦达定理，我们可以得到： ，。 然后，我们把代数式变形： ， 代入数值： 。 答案：18。 例 4：已知根的关系，求参数的值 一元二次方程的两根分别为、，且满足，求的值。 解析：首先，根据韦达定理，得到： ，。 然后，根据代数式的变形，， 代入已知条件： ， 整理得：， 解得：，，所以。 接下来，我们要验证判别式，确保方程有实根： 当时，，符合； 当时，，也符合。 所以的值为。 答案：。 例 5：结合判别式，求参数的取值范围 若关于的一元二次方程有两个实数根、，且满足，求的取值范围。 解析： 首先，方程有两个实数根，所以判别式必须满足： ，解得，即。 然后，根据韦达定理，，， 已知条件，代入得：，也就是。 最后，我们取两个条件的交集，得到。 答案：的取值范围是。 例 6：新定义题型的应用 若关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，且其中一个根与另一个根的差为 3，那么称这样的方程为 “差 3 方程”。若方程是 “差 3 方程”，求的值。 解析： 根据新定义，方程的两个根满足， 根据我们的变形公式，， 根据韦达定理，，， 代入得：， 两边平方得：， 解得：，。 我们验证一下判别式：，符合有两个实根的条件。 答案：。 四、分层巩固练习 基础过关 1、已知一元二次方程的两个实数根分别是、，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. -2 D. -3 2、已知关于的方程的两根分别为、，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 3、关于的一元二次方程 的两个根分别是 3，-6，则的值为 。 4、若、是方程的两个根，则的值为 。 能力提升 5、若、是方程的两个根，则的值为 。 6、关于的一元二次方程的一个根是 4，求它的另一个根和的值。 7、若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 2023 B. 2027 C. -2023 D. -2027 8、方程 的两个根分别为、，则的值为 。 9、已知关于的方程， (1) 求证：无论为何值，原方程都有实数根； (2) 若该方程的两实数根、为一直角三角形的两条直角边长，且，求的值。 10、已知：的两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边的长为 5， (1) 求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2) 当为何值时，是以为斜边的直角三角形。 五、课堂小结 今天我们学习了一元二次方程根与系数的关系，也就是韦达定理，我们需要注意这些易错点： 1、韦达定理的使用前提是方程有两个实数根，也就是判别式，很多同学在求参数的时候，很容易忽略这个前提，导致解出来的参数不符合条件； 2、两根之和的公式是，不要把符号搞错了，很多同学会写成，漏掉了负号，这个是最常见的错误； 3、对于代数式的求值，我们要学会整体代入，把代数式变形为用和表示的形式，不用单独解出根，这样计算更简单。 通过今天的学习，我们掌握了韦达定理，它是一元二次方程里非常重要的定理，我们后续还会用它解决更多的综合问题。 学科网（北京）股份有限公司 $分层巩固练习答案与解析 基础过关 1、答案：D 解析：根据韦达定理p+q=一=-3 2、答案：D 朝析：根据韦达定现名x=。-3。 3、答案：3 解析：两根之和为-p=3+(-6)=-3,所以p=3。 4、答案：1 解桥：上+1=m+n m n mn m+n=-1,mn=-1,所以号=1。 能力提升 5、答案：-6 解折：x+X,好=XX,X+xX+x=3Xx,=-2所以-2x3=-6 6、答案：另一个根是3，m=12 解析：设另一个根为t,则4+t=7,t=3,m=4×3=12。 7、答案：A 解析：α是方程的根，所以a2+2a=2025,又a+B=-2,所以原式 =(a2+2a)+(+B)=2025-2=2023° 8、答案：5 解析：X1-X,=x,+x2}-4xx,=1+4=5 9、答案：(1)见解析；(2)k=2 解析：(1)判别式A=2k+1P-4(k2+2)=4k-7≥0.所以k≥子总有实根： (2x+x=2k+1XX=k+2X+g=(2k+1P-2k2+2)=2k2+4k-3=13解 得k=2或k=-4.结合k≥子所以k=2 10、答案：(1)见解析；(2)k=2 解析：(1)判别式4=(2k+3-4K+3k+2=1>0所以总有两个不等实根： (2)当△ABC是以BC为斜边的直角三角形时.AB+AC2=25即X+X=25 x+x,=2k+3XX=K2+3k+2所以(2k+32-2K2+3k+2)=25解得k=2或 k=-5,舍去负的，所以k=2。