第13讲 2.2一元二次方程的解法（第6课时） 暑假预习讲义 2026- 2027学年苏科版八升九年级数学上册

苏科版数学九年级上册暑假预习讲义 第13讲　2.2　一元二次方程的解法（第6课时） 【学习目标】 1. 熟练掌握四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。 1. 能根据方程的特征灵活选择最优解法。 1. 通过对比练习体会各解法的优缺点及适用范围。 1. 形成“先观察，再选择”的良好解题习惯。 【知识梳理】 一、四种解法比较 解法 适用形式 优点 缺点 直接开平方法 或 最快 适用范围窄 配方法 所有一元二次方程 承上启下，理解透彻 步骤繁琐 公式法 所有一元二次方程 通用，直接代入 计算量大 因式分解法 左边可因式分解的方程 快捷简便 适用范围有限 二、解法选择策略 方程特征 首选方法 形如 或 直接开平方法 左边可因式分解（提公因式、平方差、十字相乘等） 因式分解法 二次项系数为1，一次项系数为偶数 配方法 其他一般形式 公式法 选择口诀：能开则开，能分则分，配方其次，公式兜底。 做一做（即时练习）： 1. 方程 最适合用______法解。 1. 方程 最适合用______法解。 1. 方程 最适合用______法解。 1. 方程 最适合用______法解。 1. 方程 最适合用______法解。 1. 方程 最适合用______法解。 【典例精讲】 【例1】（根据方程特征选择解法） 选择适当的方法解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 【分析】 观察方程特征，选择最优解法。 【解答】 （1） 观察发现左边是完全平方式 ，用因式分解法。 ，。 （2） 形如 ，用直接开平方法。 ，，。 （3） 左边不能因式分解，，，用配方法或公式法。 用配方法：，，。 【例2】（一题多解——比较不同解法） 解方程 ，分别用配方法和因式分解法。 【分析】 通过一题多解，体会不同解法的优劣。 【解答】 配方法： ，，，，。 因式分解法： ，，。 比较可知，因式分解法更简便。 【例3】（综合应用） 已知关于 的方程 的一个根为 ，求另一个根和 的值。 【分析】 将 代入方程可求 ，再解方程求另一个根。 【解答】 将 代入 ，得 ，。 原方程为 ， 因式分解，得 。 ∴ ，。 答：另一个根为 ，。 【跟踪练习1】 1. 选择适当的方法解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 1. 用两种方法解方程 ，比较哪种更简便。 【举一反三】 1. 方程 最适合用______法解。 1. 方程 最适合用______法解。 1. 方程 最适合用______法解。 1. 用适当的方法解方程 ，。 1. 用适当的方法解方程 ，。 1. 方程 的解为______，用______法解最简便。 1. 方程 的解为______。 1. 若方程 可用配方法化为 ，则 。 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、选择题。 1. 方程 最适合用的方法是（　　） · A. 直接开平方法　　B. 配方法　　C. 公式法　　D. 因式分解法 1. 方程 最适合用的方法是（　　） · A. 直接开平方法　　B. 配方法　　C. 公式法　　D. 因式分解法 1. 方程 最适合用的方法是（　　） · A. 直接开平方法　　B. 配方法　　C. 公式法　　D. 因式分解法 1. 方程 的解为（　　） · A. 或 　　B. 或 　　C. 或 　　D. 或 1. 方程 的解为（　　） · A. 　　B. 　　C. 或 　　D. 或 1. 方程 最适合用的方法是（　　） · A. 直接开平方法　　B. 配方法　　C. 公式法　　D. 因式分解法 1. 方程 最适合用的方法是（　　） · A. 直接开平方法　　B. 配方法　　C. 公式法　　D. 因式分解法 1. 方程 的解为（　　） · A. 　　B. 　　C. 或 　　D. 无解 二、填空题。 1. 方程 的解为______。 1. 方程 的解为______。 1. 若关于 的方程 的一个根为 ，则 ，另一个根为______。 1. 方程 的解为______。 ◆ B组·能力提升 1. 选择适当的方法解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 1. 选择适当的方法解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 1. 已知关于 的方程 的一个根为 ，求 的值和另一个根。 1. 已知方程 ，不解方程，求两根之和与两根之积。 ◆ C组·思维拓展 17. 已知方程 的两个根分别为 和 ，求 、 的值。 18. 用因式分解法解方程：。 19. 已知关于 的方程 ，不解方程，判断该方程根的情况。 20.我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：x4﹣5x2+4＝0． 设x2＝y，则原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4， 当y＝1时，即x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，即x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． ②因式分解法求解三次方程：x3﹣5x+2＝0． 将其变形为x3﹣（4+1）x+2＝0， ∴x3﹣4x﹣x+2＝0， ∴（x3﹣4x）﹣（x﹣2）＝0， ∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， ∴（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0， ∴原方程有三个根：x1＝2，，． （1）仿照以上方法解方程： ①x4+x2﹣12＝0； ②x3﹣17x+4＝0． （2）已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为　　． 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：直接开平方 1. 答案：因式分解 1. 答案：配方法（或公式法） 1. 答案：因式分解 1. 答案：公式法（因式分解不可行） 1. 答案：直接开平方法 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：（1），；（2）；（3）， 1. 答案：，，，因式分解法更简便 举一反三 1. 答案：直接开平方 1. 答案：因式分解 1. 答案：因式分解 1. 答案：， 1. 答案：， 1. 答案：，；因式分解 1. 答案：， 1. 答案： A组·基础过关 1. 答案：A 1. 答案：D 1. 答案：B 1. 答案：A 1. 答案：C 1. 答案：D 1. 答案：C 1. 答案：A 1. 答案：， 1. 答案：， 1. 答案：； 解析：代入 得 ，。原方程为 ，，另一个根为 。 1. 答案：， B组·能力提升 1. 答案：（1），（因式分解法）；（2），（因式分解法）；（3），（配方法或公式法） 1. 答案：（1），；（2），；（3）， 1. 答案：，另一个根为 解析：代入 得 ，。原方程为 ，，另一个根为 。 1. 答案：两根之和为 ，两根之积为 解析：由韦达定理，，。 C组·思维拓展 1. 答案：， 解析： 两根为 和 ，，故 ，。 1. 答案：， 解析：当 时，，，，（ 舍去）；当 时，，，，（ 舍去）。，。 1. 答案：方程有两个不相等的实数根 解析：，故方程有两个不相等的实数根。 20.解：（1）①设x2＝y，则原方程可变为y2+y﹣12＝0，（y+4）（y﹣3）＝0， ∴y+4＝0或y﹣3＝0， ∴y1＝﹣4，y2＝3， 当y＝﹣4时，即x2＝﹣4， ∴无解（舍去）； 当y＝3时，即x2＝3， ∴，， ∴原方程有两个根：，； ②将其变形为：x3﹣（16+1）x+4＝0， ∴x3﹣16x﹣x+4＝0， ∴（x3﹣16x）﹣（x﹣4）＝0， ∴x（x+4）（x﹣4）﹣（x﹣4）＝0， ∴（x﹣4）（x2+4x﹣1）＝0， ∴x﹣4＝0或x2+4x﹣1＝0， ∴原方程有三个根：x1＝4，，． （2）∵x2﹣x﹣1＝0，x＞0， ∴x，＝x+1， x4﹣2x3+3x ＝（x+1）2﹣2x（x+1）+3x ＝x2+2x+1﹣2x2﹣2x+3x ＝﹣x2+3x+1 ＝﹣x﹣1+3x+1 ＝2x ． 故答案为：1． 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（6题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（2题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（12题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（4题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（5题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $