2.4.1用一元二次方程解决问题第一课时暑期讲义2026-2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级上册数学暑期精品讲义｜2.4.1 用一元二次方程解决问题 第一课时 2.4.1 用一元二次方程解决问题（第一课时） 基础面积问题与平均变化率问题 适用教材： 苏科版数学九年级上册（一元二次方程单元） 资料类型： 2026—2027学年暑期预习精品讲义 学生信息： 姓名：____________________　班级：____________________　日期：____________________一、学习目标 1. 掌握用一元二次方程解决实际问题的基本步骤：审题、设元、列式、解方程、检验、作答。 1. 会根据长方形、正方形、直角三角形等基本面积关系建立一元二次方程。 1. 会用 或 建立连续两次平均增长（降低）问题的方程。 1. 能根据实际意义舍去不合理的根，做到单位完整、答语规范。 二、重难点一览 项目 具体内容 学习提示 重点1 六步建模法 “检验、作答”不能省略 重点2 基本面积关系 先画草图，再写长、宽表达式 重点3 平均变化率模型 连续两次变化要写平方 难点1 未知数的选择 选择能简化数量关系的量设元 难点2 根的取舍 长度、数量、变化率必须符合范围 易错点 百分数与单位 ，变化率不能直接写20 三、教材知识点盘点（先填空） 1. 用方程解决实际问题的一般步骤可概括为：审题、________、列式、________、检验、作答。 1. 长方形面积等于________________；正方形面积等于________________。 1. 直角三角形面积等于________________________________。 1. 原数量为 ，平均增长率为 ，连续增长两次后的数量为________________。 1. 原数量为 ，平均降低率为 ，连续降低两次后的数量为________________。 1. 增长率 通常满足________________；降低率 通常满足________________。 1. 若设长方形的宽为 ，长比宽多5，则长可表示为________________。 1. 方程的数学根不一定都是实际问题的解，必须根据数量的________________进行检验。 1. 解答实际问题时，最终答案应写明________________。 1. 平均变化率问题中，“增长（或降低）两次”不能误写成 ，原因是每次变化的基数________________。 四、建模流程与基本模型 应用题六步法 面积与平均变化率模型 方程求解工具箱 对一般形式 若不能直接因式分解，可使用求根公式 解应用题时，求出方程的根后还必须结合取值范围、单位和实际意义进行检验。 五、典型例题 例1　长方形面积问题 一个长方形的长比宽多6 m，面积为91 m²，求长和宽。 解析： 设宽为 m，则长为 m。 整理得 ，分解为 ，所以 或 。长度应为正，舍去 。答：宽为7 m，长为13 m。 例2　正方形扩建问题 一个正方形场地的边长增加3 m 后，面积为225 m²，求原边长。 解析： 设原边长为 m。 因为边长为正，，解得 。答：原边长为12 m。 例3　直角三角形面积问题 一个直角三角形的一条直角边比另一条长4 cm，面积为48 cm²，求两条直角边。 解析： 设较短直角边为 cm。 整理得 ，即 。取 ，另一条为12。答：两条直角边分别为8 cm、12 cm。 例4　连续两次平均增长 某校社团人数由200人经过连续两年增长到288人，求年平均增长率。 解析： 设年平均增长率为 。 因为 ，所以 ，得 。 例5　连续两次平均降低 某种设备的单位能耗由500 kWh 经过连续两次技术改进降到405 kWh，求每次平均降低率。 解析： 设每次平均降低率为 。 因为 ，所以 ，得 。 例6　先检验再作答 一个长方形的长为 cm，宽为 cm，面积为40 cm²，求 。 解析： 整理得 ，所以 或 。由于宽 ，必须有 ，故取 。 六、随堂练习 1. 一个长方形的宽为 cm，长比宽多4 cm，写出面积表达式。 1. 一个正方形边长为 m，面积为64 m²，列方程并求边长。 1. 长方形长比宽多2 cm，面积为48 cm²，求长和宽。 1. 长方形长是宽的2倍，面积为72 cm²，求长和宽。 1. 一个直角三角形两直角边相差5 cm，面积为42 cm²，求两直角边。 1. 一个正方形边长增加2 cm 后，面积为100 cm²，求原边长。 1. 某产品产量从250件连续两期增长到360件，求平均增长率。 1. 某地区用水量从800万m³连续两年降低到648万m³，求年平均降低率。 1. 某图书馆藏书量为1万册，按相同增长率连续两年后达到1.21万册，求增长率。 1. 某机器故障次数由每年100次按相同降低率连续两年降到64次，求降低率。 1. 长方形长为 m、宽为 m，面积为70 m²，求 。 1. 判断方程解 能否作为“边长”的实际解，并说明理由。 1. 某数量连续两次增长10%，总增长率是否为20%？写出计算式。 1. 某数量连续两次降低20%，最终量是原来的百分之多少？ 七、分知识点专项训练 知识点A　基本面积建模 1. 长方形长比宽多7 m，面积为60 m²，求长和宽。 1. 长方形的宽比长少3 cm，面积为54 cm²，求长和宽。 1. 长方形长是宽的3倍，面积为108 m²，求长和宽。 1. 正方形边长增加4 m 后，面积是原来的 ，求原边长。 1. 直角三角形两直角边中，一边是另一边的2倍，面积为36 cm²，求两边。 1. 一块长方形木板长比宽多5 dm，面积为84 dm²，求周长。 知识点B　连续平均增长 1. 某工厂产量由400台经过连续两年增长到484台，求年平均增长率。 1. 某校学生作品数由500件连续两届增长到720件，求平均增长率。 1. 某植物高度由80 cm连续两个阶段增长到125 cm，求每阶段平均增长率。 1. 某城市公共自行车数量由1200辆连续两年增至1728辆，求增长率。 1. 原产量为 ，年平均增长率为15%，两年后的产量用含 的式子表示。 1. 某商品需求量连续两月分别增长 ，两月总增长率为44%，求 。 知识点C　连续平均降低 1. 某设备耗电量由1000 kWh连续两次降到810 kWh，求平均降低率。 1. 某污染物排放量由250 t连续两年降至160 t，求年平均降低率。 1. 某材料损耗率对应的损耗量由320 kg连续两阶段降至180 kg，求每阶段降低率。 1. 某产品不合格件数由200件连续两期降至98件，求平均降低率。 1. 某数量每次降低12%，连续两次后为原来的百分之多少？ 1. 某数量连续两次降低后为原来的49%，求每次平均降低率。 八、解答题 1. 一块长方形菜地长比宽多8 m，面积为105 m²。求菜地周长。 1. 一个直角三角形的一条直角边比另一条短7 cm，面积为60 cm²。求两条直角边。 1. 一个正方形的边长增加5 m 后，面积增加125 m²。求原边长和扩大后的面积。 1. 某校机器人社团人数连续两年按相同增长率增长，从125人增至180人。求年平均增长率。 1. 某企业单位产品用水量连续两年按相同降低率下降，从500 L降至320 L。求年平均降低率。 1. 某长方形的长为 cm，宽为 cm，面积为60 cm²。求 ，并说明舍根理由。 九、知识思维导图 2.4.1知识思维导图 十、参考答案与解析 教材知识点盘点答案 1. 设元，解方程。2. 长乘宽，边长的平方。3. 两直角边乘积的一半。4. 。5. 。6. ，。7. 。8. 取值范围和实际意义。9. 单位与答语。10. 会随前一次变化而改变。 随堂练习答案 1. 。 1. ，边长为8 m。 1. 设宽为 ，则 ，解得 ，长为8 cm。 1. ，宽为6 cm，长为12 cm。 1. 设短边为 ，，得 ，另一边12 cm。 1. ，取正值得 cm。 1. ，得 。 1. ，得 。 1. ，得 。 1. ，得 。 1. ，得 或 ，取 。 1. 不能，边长必须为正数。 1. 不是，。 1. 。 分知识点专项训练答案 1. 设宽为 ，，得宽5 m、长12 m。 1. 设宽为 ，长为 ，解得宽6 cm、长9 cm。 1. 宽6 m、长18 m。 1. 设原边长为 ，，取正值得 m。 1. 设短边为 ，，得两边6 cm、12 cm。 1. 宽7 dm、长12 dm，周长38 dm。 1. ，。 1. ，。 1. ，。 1. ，。 1. 。 1. ，。 1. 。 1. ，。 1. ，。 1. ，。 1. 。 1. ，。 解答题解析 1. 设宽为 m，，得 ，长15 m，周长44 m。 1. 设短边为 cm，，得 ，两边为8 cm、15 cm。 1. ，得 ， m；扩大后边长15 m，面积225 m²。 1. ，，所以 。 1. ，，所以 。 1. ，得 ，所以 或 。因宽 ，取 。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $