2.4《用一元二次方程解决问题1》讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦用一元二次方程解决面积与几何图形问题，以已学的配方法、因式分解法、公式法为工具，重点构建问题转化为方程模型的能力，后续迁移至增长率等应用问题，形成从解法到建模再到应用的学习支架。 该资料以模型观念为核心，通过列方程六步法和两类几何模型培养逻辑推理，如裁剪问题中检验超范围正根。分层训练与判别式应用实例，课中助力教师引导建模，课后学生可分层练习查漏补缺，提升数学运算与应用意识。

配 套 讲 义 2.4 用一元二次方程解决问题（1） 面积问题 · 几何图形计算 配套教材：苏科版(2024) 九年级数学上册 2026—2027 学年 一、学习目标 模型观念：能从面积、几何等实际问题中抽象出一元二次方程模型，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效工具. 数学运算：能根据方程特征选择配方法、因式分解法或公式法（含判别式）熟练求解，并合理取舍根. 逻辑推理：能准确寻找等量关系，规范检验根的合理性——既要舍去负根，也要舍去使图形不存在的正根. 应用意识：在“能否达到某面积”的探究中，会用判别式判断方程有无实数解，体会建模的价值. 二、知识回顾 本讲不学新的解法，重点是用已学的三种解法去“解问题”：先把题意转化为一元二次方程，再求解并检验. 阶段 内容 在本讲的角色 已学（2.1—2.3） 概念、三种解法（配方法·因式分解法·公式法含判别式）、根与系数关系 解方程是工具，已经熟练掌握 本课（2.4 第1课时） 用一元二次方程解决面积与几何图形问题 重点：把实际问题转化为方程模型 后续（2.4 第2—3课时） 增长率、利润、动点等应用问题 继续建构模型，迁移本讲方法 提示：本讲解方程时三种解法都能用，哪种简便就用哪种；遇到“能否达到”类问题，判别式是高效的判断工具. 三、学习导航 ① 读“方法梳理”，记住列方程六步法与两类核心几何模型. ② 遮住“典例精讲”的解答，自己先列式、求解，再对照. ③ 做“分层训练” A → B → C，对照第八节解析订正. ④ 挑战“附加拓展提高”六大题型，重点练“检验舍根”. ⑤ 完成“本讲要点回顾”的自检，确认四个目标达成. 四、方法梳理 列方程解应用题，核心是把“文字”翻译成“谁 = 谁”，再按六步法推进： 步骤 关键动作 注意 ① 审题 弄清已知、所求，找出等量关系 圈画关键词，先不急于设元 ② 设元 选定未知量 x，带单位 一个未知量，用 x 表示相关量 ③ 列方程 用等量关系列出一元二次方程 右边先化为 0，整理成一般式 ④ 解方程 选配方法 / 因式分解法 / 公式法 可先用判别式判断有无实根 ⑤ 检验 两层含义：是否准确；是否符合实际 负根、超范围正根都要舍去 ⑥ 作答 回到原问题写出结论 单位、方案写完整 图1 列方程解应用题 · 六步法流程图 图2 2.4 用一元二次方程解决问题（面积与几何）模型体系 ▶ 方法点拨 ① 先想“等量关系”再动手，常用：矩形面积 = 长 × 宽、正方形面积和、环形路面积 = 大圆 − 小圆. ② 设元尽量让列式简单，如“借助一面墙围矩形”常设垂直于墙的边为 x. ③ 检验最易丢分：超出实际图形尺寸（如剪去的边长大于原边长一半）的正根也必须舍去. 五、典例精讲 ▶ 学习重点 ① 列方程解应用题的六步法，特别是“审题找等量关系”与“检验舍根”. ② 两类核心几何模型：周长固定围矩形、四周加宽 / 裁剪. ▶ 学习难点 · 如何突破 ① 难在“找等量关系”——把文字翻译成“谁 = 谁”，多为面积相等. ② 难在“检验”——不仅要舍去负根，还要舍去使图形不存在（边长为负或超出）的正根. ③ 难在“能否达到”——先用判别式 Δ 判断方程有无实数解，避免盲目求解. 例1 周长固定围矩形（借助一面墙） 【审题·思路】借助一面墙，篱笆只需围另外三边：两条宽 + 一条长. 设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为 (20 − 2x) m. 等量关系：长 × 宽 = 面积. 【突破】直接用 面积 = 长 × 宽 列方程 x(20 − 2x) = 48，整理成一般式后用因式分解法求解. 【解答】 原方程： 展开化简： 因式分解： 解得： ▶ 方法小结 借助墙围矩形，设“垂直于墙的边”为 x 最顺手；本题得到两个都合理的方案，作答要把两种都写全. 例2 四周裁剪做无盖盒（检验舍根） 【审题·思路】从四角各剪去边长 x cm 的正方形后，盒子底面是矩形：长 = 40 − 2x，宽 = 30 − 2x. 等量关系：底面积 = (40 − 2x)(30 − 2x). 【突破】列方程 (40 − 2x)(30 − 2x) = 600，整理后因式分解；重点在检验——x 不能使 40 − 2x 或 30 − 2x 为负. 【解答】 原方程： 展开化简： 因式分解： 解得： ▶ 方法小结 裁剪问题中“超范围正根”是典型易错点：x = 30 虽是正数，却让底面边长变成负的，必须舍去，只留 x = 5. 例3 能否达到某面积（用判别式） 【审题·思路】设宽 x m，则长 (24 − 2x) m，面积 S = x(24 − 2x). 问“能否达到”即问方程 x(24 − 2x) = 目标 是否有符合题意的实数解. 【突破】不必每次都解完——先化简成一般式，看判别式 Δ：Δ ≥ 0 且根在合理范围才能“达到”，Δ < 0 直接判“不能”. 【解答】 (1) 令面积 = 40： 一般式： 判别式： 解得： (2) 令面积 = 80： 一般式： 判别式： ▶ 方法小结 判断“能否达到某面积”，先化简成一般式，用 Δ 定性：Δ < 0 直接判“不能”，省去求解；Δ ≥ 0 再求根并检验范围. 六、分层训练 ★ A层 · 基础达标（必做） A1. 用 16 m 篱笆借助一面墙围矩形菜园，面积为 30 m². 求菜园的长和宽. 设宽为 x m，则长为 (16 − 2x) m： A2. 一块 20 cm × 15 cm 的矩形铁皮，从四角各剪去边长 x cm 的正方形折成无盖盒子，底面积为 126 cm². 求 x. 列方程： A3. 一块边长为 16 m 的正方形草地，四周修一条等宽的环形小路后，中间剩余草地面积为 144 m². 求小路的宽度. 列方程： ★★ B层 · 能力提升 B1. 老李用 70 m 栅栏借助房屋外墙（足够长）围一个矩形羊圈，并在与墙平行的一边留一个宽 2 m 的门（门用其他材料）. 若羊圈面积为 576 m²，求羊圈的长和宽. 图3 羊圈借助外墙并留门示意图 【审题】已知：栅栏 70 m、门宽 2 m、面积 576 m²；所求：长、宽；等量关系：长 × 宽 = 面积；设元：设垂直于墙的边为 x m，则平行于墙的边 = 栅栏总长 + 门宽 − 2x = (72 − 2x) m；列方程： B2. 将一根长为 24 cm 的铁丝剪成两段，分别以每段长度为周长做正方形. 若两个正方形面积之和为 26 cm²，求两段铁丝的长度. 图4 两段铁丝做正方形示意图 【审题】已知：铁丝共 24 cm、面积和 26 cm²；所求：两段长度；等量关系：两正方形面积之和 = 26；设元：设其中一段围成的正方形边长为 x cm，则另一段边长为 (6 − x) cm（因总周长 24，半周长 6）；列方程： ★★★ C层 · 拓展挑战 C1. 某中学矩形操场长 40 m、宽 26 m，要在四周留等宽甬路，使中间花坛面积为 704 m². 求甬路宽.（提示：用公式法求解，根含根号） 列方程： C2. 圆形花坛半径为 5 m，外围铺一条等宽的环形草坪路，路的面积为 24π m². 求路的宽度. 图5 环形路示意图（半径 5 m，路宽 x） 列方程（约去 π）： 七、附加拓展提高（六大题型） 题型1 基础巩固（直接列方程） 1. 矩形纸片 18 cm × 12 cm，从四角各剪去边长 x cm 的正方形折成无盖盒，底面积为 112 cm². 求 x. 列方程： 题型2 易错警示（检验舍根） 1. 用 14 m 篱笆借助墙围矩形菜园，面积为 24 m². 求菜园的长和宽. 2. 矩形铁皮 10 cm × 6 cm，从四角各剪去边长 x cm 的正方形折成无盖盒，底面积为 32 cm². 求 x. 列方程： ▶ 易错警示 题型2第2题看似得到 x = 1 或 x = 7，但 x = 7 会让 10 − 2x、6 − 2x 都为负，盒子底面不存在，这个“正数根”必须舍去. 题型3 实际应用型（配图 + 审题） 1. 校园矩形绿地长 30 m、宽 20 m，中央建矩形花坛，四周留等宽甬路，甬路面积为 216 m². 求甬路宽. 图6 绿地内嵌花坛示意图 【审题】已知：绿地 30 × 20、甬路面积 216 m²；所求：甬路宽 x；等量关系：花坛面积 = 绿地面积 − 甬路面积 = 600 − 216 = 384；设元：设甬路宽 x m，则花坛长 (30 − 2x) m、宽 (20 − 2x) m；列方程： 题型4 几何综合（图形计算） 1. 一个无盖长方体水池，底面是边长为 x m 的正方形，深 2 m. 若水池内侧底面与四个侧面的总面积为 48 m²，求 x. 列方程（底面 + 四个侧面）： 图7 无盖长方体水池示意图（底面边长 x、深 2） 题型5 分类讨论（是否靠墙） 1. (1) 用 30 m 篱笆围矩形（不靠墙），面积能否达到 56 m²？若能，给出长和宽.(2) 若其中一边利用原有墙（墙足够长），面积能否达到 56 m²？ (1) 不靠墙，设宽 x m、长 (15 − x) m： (2) 靠墙，设宽 x m、长 (30 − 2x) m： 图8 分类讨论：不靠墙（全周长）与靠墙（省一段）对比 题型6 创新探究（环形 · 最值） 1. 圆形喷泉半径 3 m，外围修一条等宽的环形步道，步道面积为 16π m². 求步道宽. 列方程（约去 π）： 图9 圆形喷泉外环步道示意图（半径 3、步道宽 x） 2. 用 24 m 篱笆借助墙围矩形菜园，面积能否达到最大？最大是多少？（用配方法求最值） 面积 S = 配方得： 图10 借助墙围矩形（24 m 篱笆）求面积最大值 八、参考答案与详细解析 A层 A1. 设宽 x m，则长 (16 − 2x) m. 列方程： 化简： 解得： 检验：x = 3 时长 = 10 > 0；x = 5 时长 = 6 > 0，均合理. 答：长 10 m 宽 3 m，或长 6 m 宽 5 m. A2. 设剪去正方形边长 x cm，则底面长 (20 − 2x) cm、宽 (15 − 2x) cm. 列方程： 化简： 解得： 检验：x = 14.5 时 20 − 2x = −9 < 0，舍去；x = 3 时 20 − 6 = 14 > 0、15 − 6 = 9 > 0，合理. 答：x = 3 cm. A3. 设小路宽 x m，则剩余草地边长为 (16 − 2x) m. 列方程： 开平方（舍负）： 解得： 检验：x = 2 时 16 − 4 = 12 > 0，合理（x = 14 超出舍去）. 答：小路宽 2 m. B层 B1. 设垂直于墙的边为 x m，则平行于墙的边为 (72 − 2x) m. 列方程： 化简： 因式分解： 解得： 检验：x = 12 时长 = 48 > 0；x = 24 时长 = 24 > 0，均合理. 答：长 48 m 宽 12 m，或长 24 m 宽 24 m. B2. 设其中一段围成的正方形边长为 x cm，则另一段边长为 (6 − x) cm. 列方程： 化简： 解得： 检验：x = 1 时另一边长 5，段长分别为 4 cm、20 cm；x = 5 时对称. 答：两段铁丝长分别为 4 cm 和 20 cm. C层 C1. 设甬路宽 x m，则花坛长 (40 − 2x) m、宽 (26 − 2x) m. 列方程： 化简： 判别式： 公式法（舍去超范围根）： 检验：x ≈ 2.78 时 40 − 5.56 = 34.44 > 0、26 − 5.56 = 20.44 > 0，合理（另一根 ≈ 30.22 超出舍去）. 答：甬路宽约 2.78 m. C2. 设路宽 x m，则外圆半径 (5 + x) m. 列方程： 化简： 因式分解： 解得： 检验：x = 2 时外圆半径 7 > 5，合理（x = −12 舍去）. 答：路宽 2 m. 附加拓展提高 题型1：设剪去边长 x cm，底面长 (18 − 2x) cm、宽 (12 − 2x) cm. 列方程： 化简： 因式分解： 解得： 检验：x = 13 时 18 − 26 = −8 < 0，舍去；x = 2 合理. 答：x = 2 cm. 题型2：(1) 设宽 x m、长 (14 − 2x) m，x(14 − 2x) = 24 → x² − 7x + 12 = 0 → x = 3 或 4，对应长 8 或 6. 答：长 8 宽 3，或长 6 宽 4. (2) 设剪去边长 x cm，底面长 (10 − 2x) cm、宽 (6 − 2x) cm. 列方程： 化简： 因式分解： 解得： 检验：x = 7 时 10 − 14 = −4 < 0，舍去；x = 1 合理. 答：x = 1 cm. 题型3：设甬路宽 x m，花坛长 (30 − 2x) m、宽 (20 − 2x) m，面积 384 m². 列方程： 化简： 因式分解： 解得： 检验：x = 27 时 30 − 54 = −24 < 0，舍去；x = 2 合理. 答：甬路宽 2 m. 题型4：底面 x²，四个侧面各为 x × 2，总面积 x² + 8x = 48. 列方程： 化简： 因式分解： 解得： 检验：x = −12 舍去；x = 4 合理. 答：底面边长 4 m. 题型5：(1) 不靠墙，设宽 x m、长 (15 − x) m. 列方程： 化简： 因式分解： 解得： 答：能达到，长 8 m 宽 7 m 或长 7 m 宽 8 m. (2) 靠墙，设宽 x m、长 (30 − 2x) m. 列方程： 化简： 判别式： 公式法（另一根 ≈ 12.82 亦合理）： 答：也能达到，宽约 2.18 m 时长约 25.64 m，或宽约 12.82 m 时长约 4.36 m. 题型6：(1) 设步道宽 x m，外圆半径 (3 + x) m. 列方程： 化简： 因式分解： 解得： 检验：x = −8 舍去；x = 2 合理. 答：步道宽 2 m. (2) 面积 S = 配方得： 当 x = 6 时 S 最大，最大值为 72 m². 即面积最大可达 72 m²（这也说明例3中 80 m² 不能达到、40 m² 能达到）. 九、方法总结 建模三步：审题找“谁 = 谁”→ 设元列一元二次方程 → 求解并检验. 两类模型：周长固定围矩形（常设垂直于墙的边为 x）；四周加宽 / 裁剪（边长减去 2x）. 检验两层：负根必舍；超范围的正根（使边长变负或超出）也要舍. 能否达到：先化简一般式，用判别式 Δ 定性，Δ < 0 直接判“不能”. 十、本讲要点回顾 □ 我能说出列方程解应用题的六步法. □ 我能用“长 × 宽 = 面积”等关系列出面积类方程. □ 我会检验并舍去不合题意的根（含超范围正根）. □ 我会用判别式判断“面积能否达到某值”. — 讲义完 — 学科网（北京）股份有限公司 $