2.2.1 一元二次方程的解法 直接开平方法 暑期预习讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级上册数学暑期讲义|2.2.1直接开平方法 2.2.1一元二次方程的解法一一直接开平方法 苏科版数学九年级上册暑期讲义 适用教材：苏科版数学九年级上册 讲义用途：暑期预习、课堂讲授、分层训练与课后巩固 学生信息：姓名： 班级： 日期： 一、学习目标 1.理解平方根的意义，会解形如x=m的方程。 2.会把形如ax+b2=m的方程中的一次式看成整体，运用直接开平方法求解。 3.能根据m的正、零、负判断方程=m的实数根情况。 4. 养成开平方时同时写出正、负两个平方根的习惯。 二、重难点一览 项目 具体内容 学习提示 重点1 基本型：平方等于常数 先判断常数的符号 重点2 整体开平方 把括号内的一次式看作整体 重点3 根的规范书写 常数为正时必须写正、负两根 难点1 含系数的完全平方 先把平方项单独留在一边 难点2 根式与分式结果 根式规范，分数采用上下结构 三、教材知识点盘点 1. 若=m且m>0,则u= 2.若=0，则u= 3.若u=m且m<0,则方程在实数范围内 4.解x-a=m时，可先得到x-a= 5.直接开平方法的关键是把方程化成 的形式。 6.由u=25得u=5的写法是错误的，因为漏掉了 7.方程2x-12=7开平方后应写成 8.当根式内的数含有完全平方因数时，应进行适当 第1页 苏科版九年级上册数学暑期讲义|2.2.1直接开平方法 9.解4x+12=9时，先化为 10.直接开平方法适用于能够直接化成”一个一次式的平方等于常数的方程。 四、方法图示 直接开平方法：把整体看成一个“平方” u2=m u取正、负平方根 面积=m m≥0 边长的绝对值由平方根确定 直接开平方法图示 五、典型例题 例1解基本型方程 解方程x2=36。 解析： x=±36=±6 所以X1=6,X2=-6。 例2根式结果 解方程x2=7。 解析： x=±V7 例3平移型 解方程x-32=16。 解析： X-3=±4 因此x1=7,X2=-1。 第2页 苏科版九年级上册数学暑期讲义|2.2.1直接开平方法 例4含系数的整体平方 解方程2x+12=13。 解析： 2x+1=±V13 x=-1±13 例5先移再开平方 解方程3x-22-15=0。 解析： 3x-22=15 (x-22=5 x=2±V5 例6判断实数根情况 解方程x+42=-3。 解析：因为任意实数的平方都不小于0，所以该方程在实数范围内无解。 六、随堂练习 1.x2=81。 2.x2=11。 3.x2=0. 4.x2=-5。 5. x+22=9。 6. x-52=3。 7.2x-32=25。 8. 3x+12=7。 9.4x-12=36。 10.5x+22=10。 11.x-42+6=6。 12.22x+12-9=0。 第3页 苏科版九年级上册数学暑期讲义|2.2.1直接开平方法 七、分知识点训练 知识点A基本型x2=m 1.x2=100。 2.x2=18。 3.9x2=16。 4.7x2=14。 5.25x2-4=0。 6 3x2+12=0。 知识点B整体开平方 7. x+62=20。 8. 9.|2x+52=12。 10.4x-12=6。 11.3x+12=21。 12.82x-32=10。 知识点C先整理成平方等于常数 13.x-22-7=0。 14.2x+32-5=0。 15.9x-12+4=13。 16.53x+22-20=0。 17.2x-1+8=3。 18.6-x+42=0。 八、解答题 1.解方程4x-32=49,写出完整步骤。 2.解方程32x+12=14,结果保留根式。 3.已知x-a=16的一个根是7，求a,并写出另一个根。 4.若方程2x-1=m有两个不相等的实数根，写出m应满足的条件。 5.一个正方形的面积比边长为3cm的正方形面积多16cm,求这个正方形的边长。 第4页 苏科版九年级上册数学暑期讲义|2.2.1直接开平方法 6.解方程x+12=2k-1,并讨论k取何值时有两个、一个或没有实数根。 九、知识思维导图 2.2.1直接开平方法思维导图 基本型 整体思想 平方等于常数 把括号看作整体 条件 步骤 常数不小于0 直接开平方法 移项·开方·解一次 结果 易错 取正、负平方根 漏写± 直接开平方法思维导图 第5页 苏科版九年级上册数学暑期讲义|2.2.1直接开平方法 十、参考答案与解析 教材知识点盘点答案 1.±√m。2.0.3.无实数根。4.±Vm。5.u2=m。6.负平方根。7.2x-1=±V7.8.化简。9. x+1-是10略。 随堂练习答案 1. X=±9。 2. x=±911。 3.x=0。 4. 无实数根。 5. x=1或x=-5。 6. x=5±V3。 7.2x-3=±5，所以x=4或x=-1。 8x=-1±/7 3。 9.x-12=9,所以x=4或x=-2。 10.x+2}2=2,所以x=-2±V2。 11.x-42=0,所以x=4。 1212x+1=号所以x=24392 分知识点训练答案 1.x=±10。 2.x=±3V2。 第6页 苏科版九年级上册数学暑期讲义2.2.1直接开平方法 4.x=±V2。 6. 无实数根。 7.x=-6t2/5。 8. x=1±2V2。 9.x=-5±2/3 2 10.x=1±6 4。 11.x=-1±V7。 122x-3-异所以x-65 4。 13.x=2±9V7。 14*3±0 2。 15.x-12=1,所以x=0或x=2。 163x+22=4,所以x=0或x=-4 。 17.无实数根。 18.x=-4±6。 第7页 苏科版九年级上册数学暑期讲义2.2.1直接开平方法 解答题解析 1-3-架所以x-3=±号故=号=是 22x+1=号所以2x+1=±型 故x3级 69 3.代入x=7得7-a2=16,所以7-a=±4，即a=3或a=11。当a=3时另一个根为-1；当 a=11时另一个根为15。 4.需有m>0。 5.设边长为Xcm,则x2=3+16=25。边长为正，所以x=5cm。 6X=-1士2k-。当2k-1>0,即k~2时有两个不相等实根：当k=方时有一个实根：当k<号 时无实数根。 第8页