暑期预习讲义（第4讲）——一元二次方程的解法 - 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

暑期预习讲义（第4讲）——一元二次方程的解法（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 2 【知识点一】一元二次方程的一般形式（基础必考） 2 【题型 1】一元二次方程的一般形式 2 【题型 2】一元二次方程的解（整体思想） 4 【知识点二】一元二次方程解法——直接开平方法（最简单） 5 【题型 3】直接开平方法解一元二次方程 6 【知识点三】一元二次方程解法——因式分解法（最快、中考首选） 8 【题型 4】因式分解法解一元二次方程 8 【知识点四】一元二次方程解法——配方法（基础核心、必考推导） 10 【题型 5】配方法解一元二次方程 11 【知识点四】一元二次方程解法——解法四：公式法（万能通用） 13 【题型 6】公式法解一元二次方程 13 【知识点四】根的判别式 16 【题型 7】利用根的判别式判断根的情况 16 【题型 8】利用根的判别式求参数取值范围 18 二.同步自测 19 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 20 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 25 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 28 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读、记口诀、学例题、练变式，就能完全掌握垂直平分线与角平分线所有核心重难点。所有规律全部从实例观察得出，没有突然出现的公式和结论，循序渐进、零基础可学。 学习方法：先读概念→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】一元二次方程的一般形式（基础必考） 1. 一元二次方程的一般形式：，其中：是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 2. 方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（解）。 【题型 1】一元二次方程的一般形式 【例题1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程． （1）若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． （2）若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】（1），方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为；（2）2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 解：（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 【变式2】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）化为二次项系数为4的一元二次方程的一般式得________，它的一次项系数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式及定义，掌握相关概念是解题的关键． 先依据完全平方公式进行计算，再移项、合并同类项，将方程变形为的形式，从而得到方程的一般形式，进而找出一次项系数即可． 解：， ， ， 移项得，， 合并同类项得，， 即， 其中一次项系数为， 故答案为：，． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）； （2）． 【答案】（1）方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为；（2）方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义． （1）移项，将方程化为一般形式，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，将方程化为一般形式，即可求解． 解：（1）解：∵， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【题型 2】一元二次方程的解（整体思想） 【例题2】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）已知t是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】根据方程根的定义得出，然后化简求值即可． 解：根据题意得，， ， 将代入上式得， 原式． 【变式1】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程根的定义，把已知等式变形，采用整体代入法即可求代数式的值． 解：是方程的一个实根， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·江苏泰州·三模）已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 解：∵是方程的一个根， ∴，则， ∴等式两边同时乘以得，． 【变式3】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知a是一元二次方程的一个根： （1）求的值 （2）求的值． 【答案】（1）2；（2）2025 【分析】（1）根据a是一元二次方程的一个根，得到，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可. 解：（1）解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ . 【知识点二】一元二次方程解法——直接开平方法（最简单） 1. 适用题型：方程可化为 或 的形式，无一次项或整体平方形式。 2. 解题原理：一个数的平方等于非负数，则这个数等于平方根的正负两种情况。 3. 解题步骤：（1）将方程整理为平方项=常数的形式；（2）两边同时开平方，注意正负双根；（3）解出未知数，写出方程的两个根。 4. 易错提醒 开平方必须带，切勿只取正根，遗漏一个解。 【题型 3】直接开平方法解一元二次方程 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接开平方解一元二次方程； （2）直接开平方解一元二次方程． 解：（1）解： ∴； （2）解： ∴． 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 解：∵任意实数的平方为非负数 ∴ ∵方程可以用直接开平方法求解 ∴等式右边需满足非负，即 解得． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）方程 的解是______． 【答案】， 【分析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可． 解： ， ∴或， 解得． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）（运算能力）用直接开平方法解一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，即通过变形将方程化为或的形式，然后通过开平方降次来求解. （1）先把所含未知数的项移到等号的左边，再将系数化为1，然后利用直接开平方求解即可； （2）先将系数化为1，再利用直接开平方求解即可； （3）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解即可． 解：（1）解：， ， ， 开平方得：， 所以，． （2）解：， ， 开平方得：， 所以，． （3）解：， 开平方，得：或， 所以． 【知识点三】一元二次方程解法——因式分解法（最快、中考首选） 1. 适用题型 方程整理后，左边可因式分解、右边为0，优先使用！适合整数根、简单整式方程。 2. 核心原理 若 ，则 或 。 3. 解题步骤 (1)移项：将方程化为 标准形式； (2)分解：左边因式分解（提公因式、十字相乘、平方公式）； (3)拆分：令每个因式分别为0； (4)求解：得到两个根。 5. 易错提醒 切勿随意两边约分含未知数的式子，容易丢根！ 【题型 4】因式分解法解一元二次方程 【例题4】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）解方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2） 解：（1）解：原方程为， 移项得， 提取公因式得， 化简得， 可得或， 解得，； （2）解：原方程为， 移项得， 因式分解得， 解得． 【变式1】（23-24八年级上·上海·期中）已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周长为（     ） A．25 B．21 C．19 D．17 【答案】A 【分析】先求解给定的一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系排除不符合的取值，最后计算得到三角形的周长. 解：∵， 因式分解得， ∴或， 当时，，不满足三边关系，不能构成三角形，舍去， 当时，，满足三边关系，可以构成三角形， ∴三角形的周长为. 【变式2】（2026·山东济宁·三模）关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 【答案】， 【分析】先根据一元二次方程的定义，列方程与不等式，解得，得到该一元二次方程为，再解该方程即可． 解：关于x的方程是一元二次方程， 且， 解得， 该一元二次方程为， 整理，得， ， ，． 【变式3】（24-25九年级上·青海西宁·期中）解方程 （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 解：（1）解：因式分解得， ∴或， ∴，； （2）解：整理得， 因式分解得， ∴或， ∴，． 【知识点四】一元二次方程解法——配方法（基础核心、必考推导） 1. 适用题型 所有一元二次方程均可使用，是推导求根公式的基础，常用于代数式最值、配方求值题型。 2. 核心口诀 一化二移三配方，两边加一次项系数一半的平方 3. 标准步骤 （1）化二次项系数为1：方程两边同除； （2）移项：常数项移到等式右侧； （3）配方：两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）左侧写成完全平方形式，右侧合并常数； （5）开平方法求解。 【题型 5】配方法解一元二次方程 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 解：（1）解： 解得，； （2）解： 解得，． 【变式1】（2026·甘肃平凉·模拟预测）用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，即可得到结果． 解：移项，得， 配方，得， 即． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为，再通过对比系数求出的值． 解：用配方法解得， 两边平方得， 展开左边得， 整理得， 原方程为 对比系数，可得． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用配方法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）先将二次项系数化为，再通过配方将方程转化为完全平方式，最后用直接开平方法求解； （2）先展开并整理方程为一般形式，再移项、配方，转化为完全平方式后求解． 解：（1）解：移项，得， 二次项系数化为，得， 配方，得， 开平方，得， 解得，． （2）解：原方程化为一般形式，得， 移项，得， 二次项系数化为，得， 配方，得， 开平方，得， 解得，． 【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是：先将方程整理为二次项系数为的形式，再通过配方构造完全平方式，从而转化为可直接开平方的形式求解． 【知识点四】一元二次方程解法——解法四：公式法（万能通用） 1. 适用题型 所有一元二次方程通用，无法因式分解、配方法繁琐时首选。 2. 求根公式（必背） 对于 ，当 时：，其中 为根的判别式。 3. 解题步骤 （1）化为标准形式，确定（带符号取值）； （2）计算判别式，判断根的情况； （3）代入公式计算求解。 【题型 6】公式法解一元二次方程 【例题6】（25-26八年级下·北京·课后作业）用公式法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】利用公式法解方程即可． 解：（1）解：， ， ∴， 即，； （2）解：， ， ∴， 即，； （3）解：， ， ∴ 即，． （4）解：， ， ∴， 即，． 【变式1】（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 【变式2】（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解为______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．用公式法求解即可． 解：， ， ， ∴， ∴，． 故答案为： ，． 【变式3】（25-26八年级下·北京·课后作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2） 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 解：（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 【知识点四】根的判别式 ：两个不相等实数根；=0：两个相等实数根； <0：无实数根。 公式口诀：先算判别再代入，负加减根号除. 【题型 7】利用根的判别式判断根的情况 【例题7】（22-23九年级下·湖南永州·单元复习）已知：关于x的方程．求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根． 【答案】证明：∵关于的方程为， ∴ ， ∵不论取何实数，总有，即， ∴不论取何实数，该方程总有两个实数根． 【分析】计算方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证得结论． 解：略． 【变式1】（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 【变式2】（24-25九年级上·广东肇庆·阶段检测）已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是：_____________________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点，学会利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．由直线经过第一、三、四象限，求得，，再利用根的判别式得到，即可得出结论． 解：直线经过第一、三、四象限， ，， ， 关于的方程为， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式3】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一实数根为3，求m的值； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）直接把代入到原方程中得到关于的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 解：（1）解：方程有一实数根为3， ∴， 解得； （2）证明：∵关于x的一元二次方程 ， 无论取何值，方程总有实数根． 【题型 8】利用根的判别式求参数取值范围 【例题8】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知关于的方程． （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）当取何值时，方程有两个相等的实数根？ （3）当取何值时，方程没有实数根？ 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． （）计算一元二次方程根的判别式，然后根据即可求解； （）由根的判别式即可求解； （）由根的判别式即可求解． 解：（1）解：∵， ∴当，即时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：当，即时，方程有两个相等的实数根； （3）解：当，即时，方程没有实数根． 【变式1】（2026·北京通州·三模）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式 ”列不等式求解即可得到结果． 解：∵关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ∴根的判别式 ， 其中，， 代入得 ， 解不等式得． 【变式2】（25-26八年级下·天津·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，根据方程有两个实数根可得根的判别式大于等于0，联立不等式求解即可得到的取值范围． 解：是关于的一元二次方程， ， 一元二次方程有两个实数根， ， 化简得， 解得， 因此的取值范围是且． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，本题二次项系数为1，已经满足一元二次方程二次项系数不为0的要求，只需计算判别式后解不等式即可得到结果． 解：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 该方程二次项系数为，满足一元二次方程定义，只需满足判别式． 计算判别式： 令，可得． 解得． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（23-24八年级上·上海·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意. 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 3．（2024·四川泸州·一模）如果一个一元二次方程的根是，那么这个方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 求解出每一个方程的根，即可解答． 解：A、， ， 或， ，， 故此选项不符合题意； B、， ， ， ， 故此选项符合题意； C、， ，， 故此选项不符合题意； D、， ， 故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可得到结果． 解：对选项A，，，方程没有实数根，A不符合要求． 对选项B，，，方程没有实数根，B不符合要求． 对选项C，，，方程有两个相等的实数根，C不符合要求． 对选项D，，，方程有两个不相等的实数根，D符合要求． 5．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式的性质求解，当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于0，代入方程系数即可计算出的值． 解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 6．（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 7．（24-25八年级下·上海·阶段检测）方程组有实数解，则的取值范围是（　　） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】本题考查根据二元二次方程组的解的情况，求参数的范围，将二元二次方程组转化为一元二次方程，进行求解即可． 解：， 由②，得：， 把代入①，得：，即：， ∵方程组有实数解， ∴， ∴； 故选D． 8．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了根的判别式及一次函数的性质，先利用一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，再结合一次函数的图象与性质进行判断即可． 解：∵关于的一元二次方程无实数根， ， 解得， ∴一次函数过一、二、三象限， ∴一次函数的图象不经过第四象限． 故选：D． 9．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，当时，x的值为（   ）    A．1 B．2 C．1或3 D．2或4 【答案】C 【分析】本题考查了两直线交点问题，一元二次方程的求解，将交点代入正比例函数求出n的值，再代入一次函数求出m的值，得出，进行求解即可． 解：将点代入正比例函数，得：， 代入一次函数，得，解得：， ，， ， 解得：或3， 故选：C． 10．（2026·浙江·模拟预测）在坐标系中有函数与函数相交于A、B两点，分别连接坐标原点C，则的面积为（     ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】首先，设函数的图象与y轴交于点D，根据函数与函数相交于A、B两点，联立两个函数的表达式组成方程组，解方程组即可得出点的坐标，然后求得的长，最后，由即可求得结果． 解：如图，设函数的图象与y轴交于点D， ∵函数与函数相交于A、B两点， ∴， 解得，， ∴，， 将代入函数，得， ∴， ∴， ∴． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·浙江温州·期中）将一元二次方程化为一般式为______． 【答案】 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式． 解： ， ， 移项，得 ． 12．（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段检测）已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 解：∵一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段检测）一元二次方程的根是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一解一元二次方程—因式分解法，利用因式分解法将原方程分解成两个一元一次方程，解一元一次方程即可． 解：， ， ， ∴或， ∴． 故答案为：． 14．（22-23九年级下·湖南永州·单元复习）用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 解：， ， ， 即． 15．（22-23八年级下·广东深圳·期末）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是__________． 【答案】 【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是． 解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根， 由公式法解一元二次方程可得， 根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是， 故答案为：． 【点拨】本题考查勾股定理求线段长，解一元二次方程，根据题意求出一元二次方程的两根是解决问题的关键． 16．（2023·云南·模拟预测）方程的解为________． 【答案】 【分析】把分式方程转化为一元二次方程进行求解，需要对根进行检验． 解：， ， ， ， ， ， 解得：， 检验：当时，，是增根，舍去， 当时，，是原分式方程的根， 方程的解为． 17．（22-23八年级下·山东泰安·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若为非负整数，则的值为______． 【答案】0 【分析】直接利用当时，方程有两个不相等的实数根，进而得出的取值范围，即可得出答案． 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵为非负整数， ∴的值为0， 故答案为：0． 【点拨】此题主要考查了根的判别式，熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题关键． 18．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，反比例函数的图象在各象限内y随x的增大而增大，则所有满足条件的整数a的值之和为_______． 【答案】9 【分析】根据反比例函数的性质可得，从而可得，根据一元二次方程有实数根，从而可得，然后可得，所以，从而可得所有满足条件的整数a的值，最后进行计算即可解答． 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴，且， ∵反比例函数的图象在各象限内y随x的增大而增大， ∴， 解得， ∴且， 故所有满足条件的整数a的值为：0、2、3、4， ∵， 故答案为：9． 【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，一元二次方程的定义，根的判别式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 解：（1）解： 或 解得，； （2）解： 或 解得，． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·青海西宁·期中）解方程： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）先整理方程，再利用配方法解答，即可求解． 解：（1）解： ∴， ∴， 解得； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 解：（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·上海·期末）已知关于x的一元二次方程 （1）当为何值时，此方程有实数根； （2）选择一个满足（1）的条件的，并求此时方程的根． 【答案】（1）当时，此方程有实数根；（2）当时，，． 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的情况与判别式的关系是解答此题的关键． （1）根据，确定k的取值范围； （2）从上题中求得的范围中找到一个喜欢的值代入后得到方程，求解即可． 解：（1）解：要使方程有实数根，必须， ． 即． 解得． 当时，此方程有实数根． （2）解：当时，（答案不唯一）． 原方程变为． 解得． 即∶，． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）若，则方程必有一个根为________． （2）若a，b满足，求一元二次方程的根． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）由可知，把中的x换成成立，则可求得答案； （2）根据算术平方根、绝对值可求出a，b的值，解方程即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴方程必有一根为； （2）解：，，， ，， ，， 一元二次方程为， 解得，． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求的值； （2）若该方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，得到关于的方程，求解即可得到的值； （2）利用一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个实数根时，判别式大于等于，据此列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 解：（1）解：∵一元二次方程， ∴判别式 ， ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴或； 当时，，方程有解，符合题意； 当时，，方程有解，符合题意； （2）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， 解得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第4讲）——一元二次方程的解法（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】一元二次方程的一般形式（基础必考） 1 【题型 1】一元二次方程的一般形式 2 【题型 2】一元二次方程的解（整体思想） 2 【知识点二】一元二次方程解法——直接开平方法（最简单） 3 【题型 3】直接开平方法解一元二次方程 3 【知识点三】一元二次方程解法——因式分解法（最快、中考首选） 3 【题型 4】因式分解法解一元二次方程 4 【知识点四】一元二次方程解法——配方法（基础核心、必考推导） 4 【题型 5】配方法解一元二次方程 5 【知识点四】一元二次方程解法——解法四：公式法（万能通用） 5 【题型 6】公式法解一元二次方程 5 【知识点四】根的判别式 6 【题型 7】利用根的判别式判断根的情况 6 【题型 8】利用根的判别式求参数取值范围 6 二.同步自测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读、记口诀、学例题、练变式，就能完全掌握垂直平分线与角平分线所有核心重难点。所有规律全部从实例观察得出，没有突然出现的公式和结论，循序渐进、零基础可学。 学习方法：先读概念→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】一元二次方程的一般形式（基础必考） 1. 一元二次方程的一般形式：，其中：是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 2. 方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（解）。 【题型 1】一元二次方程的一般形式 【例题1】（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程． （1）若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． （2）若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）化为二次项系数为4的一元二次方程的一般式得________，它的一次项系数是________． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 （1）； （2）． 【题型 2】一元二次方程的解（整体思想） 【例题2】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）已知t是方程的一个根，求代数式的值． 【变式1】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏泰州·三模）已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知a是一元二次方程的一个根： （1）求的值 （2）求的值． 【知识点二】一元二次方程解法——直接开平方法（最简单） 1. 适用题型：方程可化为 或 的形式，无一次项或整体平方形式。 2. 解题原理：一个数的平方等于非负数，则这个数等于平方根的正负两种情况。 3. 解题步骤：（1）将方程整理为平方项=常数的形式；（2）两边同时开平方，注意正负双根；（3）解出未知数，写出方程的两个根。 4. 易错提醒 开平方必须带，切勿只取正根，遗漏一个解。 【题型 3】直接开平方法解一元二次方程 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）方程 的解是______． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）（运算能力）用直接开平方法解一元二次方程： （1）； （2）； （3）． 【知识点三】一元二次方程解法——因式分解法（最快、中考首选） 1. 适用题型 方程整理后，左边可因式分解、右边为0，优先使用！适合整数根、简单整式方程。 2. 核心原理 若 ，则 或 。 3. 解题步骤 (1)移项：将方程化为 标准形式； (2)分解：左边因式分解（提公因式、十字相乘、平方公式）； (3)拆分：令每个因式分别为0； (4)求解：得到两个根。 5. 易错提醒 切勿随意两边约分含未知数的式子，容易丢根！ 【题型 4】因式分解法解一元二次方程 【例题4】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）解方程： （1） （2） 【变式1】（23-24八年级上·上海·期中）已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周长为（     ） A．25 B．21 C．19 D．17 【变式2】（2026·山东济宁·三模）关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 【变式3】（24-25九年级上·青海西宁·期中）解方程 （1）； （2）． 【知识点四】一元二次方程解法——配方法（基础核心、必考推导） 1. 适用题型 所有一元二次方程均可使用，是推导求根公式的基础，常用于代数式最值、配方求值题型。 2. 核心口诀 一化二移三配方，两边加一次项系数一半的平方 3. 标准步骤 （1）化二次项系数为1：方程两边同除； （2）移项：常数项移到等式右侧； （3）配方：两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）左侧写成完全平方形式，右侧合并常数； （5）开平方法求解。 【题型 5】配方法解一元二次方程 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列方程： （1）； （2）． 【变式1】（2026·甘肃平凉·模拟预测）用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）用配方法解下列方程： （1）． （2）． 【知识点四】一元二次方程解法——解法四：公式法（万能通用） 1. 适用题型 所有一元二次方程通用，无法因式分解、配方法繁琐时首选。 2. 求根公式（必背） 对于 ，当 时：，其中 为根的判别式。 3. 解题步骤 （1）化为标准形式，确定（带符号取值）； （2）计算判别式，判断根的情况； （3）代入公式计算求解。 【题型 6】公式法解一元二次方程 【例题6】（25-26八年级下·北京·课后作业）用公式法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解为______． 【变式3】（25-26八年级下·北京·课后作业）用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【知识点四】根的判别式 ：两个不相等实数根；=0：两个相等实数根； <0：无实数根。 公式口诀：先算判别再代入，负加减根号除. 【题型 7】利用根的判别式判断根的情况 【例题7】（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）已知：关于x的方程．求证：不论m取何实数，该方程总有两个实数根． 【变式1】（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【变式2】（24-25九年级上·广东肇庆·阶段检测）已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是：_____________________． 【变式3】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一实数根为3，求m的值； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【题型 8】利用根的判别式求参数取值范围 【例题8】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知关于的方程． （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）当取何值时，方程有两个相等的实数根？ （3）当取何值时，方程没有实数根？ 【变式1】（2026·北京通州·三模）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·天津·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是_______． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，求的取值范围． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（23-24八年级上·上海·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川泸州·一模）如果一个一元二次方程的根是，那么这个方程可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（     ） A． B． C． D．4 6．（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·上海·阶段检测）方程组有实数解，则的取值范围是（　　） A．； B．； C．； D．． 8．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，当时，x的值为（   ）    A．1 B．2 C．1或3 D．2或4 10．（2026·浙江·模拟预测）在坐标系中有函数与函数相交于A、B两点，分别连接坐标原点C，则的面积为（     ） A．4 B． C．3 D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·浙江温州·期中）将一元二次方程化为一般式为______． 12．（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段检测）已知一元二次方程 的一个根为m，则 的值为______． 13．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段检测）一元二次方程的根是_________． 14．（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 15．（24-25八年级下·广东深圳·期末）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是__________． 16．（2023·云南·模拟预测）方程的解为________． 17．（24-25八年级下·山东泰安·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若为非负整数，则的值为______． 18．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，反比例函数的图象在各象限内y随x的增大而增大，则所有满足条件的整数a的值之和为_______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）解方程： （1）； （2）． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·青海西宁·期中）解方程： （1） （2）． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解方程： （1） （2） 22．（本小题满分10分）（24-25八年级上·上海·期末）已知关于x的一元二次方程 （1）当为何值时，此方程有实数根； （2）选择一个满足（1）的条件的，并求此时方程的根． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）若，则方程必有一个根为________． （2）若a，b满足，求一元二次方程的根． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知关于的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求的值； （2）若该方程有两个实数根，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $