第十三章 三角形（复习课件）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学三角形单元复习课件系统梳理了三角形的概念、分类、三边关系、重要线段及内角和定理等核心知识，通过知识图谱将相关概念与性质串联，构建起“概念-性质-判定-应用”的完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲+题型全解+分层训练”模式，如等腰三角形边长分类讨论培养推理意识，综合题结合角平分线与高提升几何直观，针对训练分基础与提升题，助力学生巩固知识，教师可精准把握学情。

第十三章 三角形 复习课件 人教版·八年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 理解三角形及其相关概念；角形内角和定理及推论；知道三角形两边的和大于第三边；掌握直角三角形的性质；了解三角形的稳定性及三角形重心的概念． 02 工具掌握 能画出任意三角形的三线；运用三角形三边关系判断线段能否构成三角形、求解边长取值范围；学会几何简单证明的书写格式，会推理论证。 深化理解 掌握三角形三条中线、角平分线、高线各自交于一点的特点；深入理解三角形内角和定理及其证明思路；认识三角形稳定性，明白性质定理的逻辑推导关系。 思想与应用 运用分类讨论思想解决三角形边长、形状分类问题；借助方程思想设未知数求解三角形角度；利用转化思想把几何实际方位问题转化为三角形模型；能用三角形稳定性解释生活实例。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.钝角三角形两条高线在三角形外部，学生容易画错高线位置，难以找准钝角三角形对应边上的高； 2.初次接触几何定理严谨证明，难借助平行线、利用平角转化的证明思路，规范书写证明过程存在困难； 3.综合计算；等腰三角形边长问题中分类讨论思想的完整运用，检验结果是否符合三边关系。 1.三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念； 2.三角形两边的和大于第三边； 3.三角形的内角和定理。 4 知识图谱 正数和负数 三角形的有关概念及分类 与三角形有关的线段 三角形三边的关系 三角形的中线、角平分线、高 三角形的内角与外角 三角形的内角和 三角形的外角 5 考点串讲 ——1：三角形的相关概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.有关概念及表示方法： ①顶点是A，B，C的三角形，记作“”，读作“三角形ABC” ②组成三角形的线段叫作三角形的边．如图所示，线段，，叫做的三条边． ③相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点．如图所示，点A，B，C叫做的三个顶点． ④如图所示，，，所对的边分别是，，；反过来，三条边，，所对的角分别是，，； 6 考点串讲 ——1：三角形的相关概念 ①由三角形的定义可知，三角形有三个特征：三条线段；不在同一条直线上；首尾顺次相接． ②用符号“”时，其后必须紧跟表示三角形三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“三角形的角”不能写成“的角”． ③表示三角形三个顶点的字母的次序可以任意排列，也可以写成“”或“”等，通常情况下习惯按照英文字母的顺序排列． 归纳总结 7 考点串讲 ——2：三角形的分类 ①按边分 ②按角分 三角形 三边各不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形（正三角形） 底边和腰不相等的等腰三角形 锐角三角形 钝角三角形 符号表示：Rt△ 直角三角形 三角形 等腰直角三角形 8 考点串讲 ——2：三角形的分类 3.等腰三角形：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角． 4.等边三角形：三边相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形． 【注意】等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形；不等边三角形是指三条边都不相等的三角形． 9 考点串讲 ——3：三角形的三边关系 1.三边关系的性质:三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边．三角形的三边关系反映了任意三角形边的限制关系． 2.三边关系的应用:①判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；否则不能组成三角形． ②已知三角形两边长，求第三边长的取值范围． ③解决线段的不等关系问题（如证明几何不等式）． 【注意】①这里的“两边”指的是任意的两边． ②三角形的三边关系的依据是“两点之间，线段最短”． 三角形三条边确定后，三角形的形状和大小就唯一确定，这个性质叫三角形的稳定性． 10 考点串讲 ——4：三角形的中线 1.三角形的中线:在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线． 2.三角形的中线的几何表达形式:如图所示，是的边上的中线，或是的中线，或． 3.三角形中线的数量和交点的位置:三角形有三条中线，三条中线都在三角形的内部，它们相交于一点，三条中线的交点也在三角形的内部． 4.三角形的重心:三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 11 考点串讲 ——4：三角形的中线 5.三角形的一条中线分成的两三角形的面积和周长的关系: 如图所示，是的中线，是的高，则，， 因为，所以， 即． 因为的周长为，的周长为， 所以的周长－的周长=． ①三角形的中线是一条线段． ②三角形每一条边上的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，这两个三角形的周长差等于另两边长的差． ③三角形的重心一定在三角形的内部． 归纳总结 12 考点串讲 ——5：三角形的角平分线 1.三角形的角平分线:在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 2.三角形的角平分线的几何表达形式:如图所示，是的角平分线，或且点D在上． 3.三角形角平分线的数量和交点的位置:三角形有三条角平分线，三条角平分线都在三角形的内部，它们相交于一点，三角形三条角平分线的交点也在三角形的内部． 13 考点串讲 ——6：三角形的高线 1.三角形的高线:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．三角形的高线简称三角形的高． 2.三角形的高的几何表达形式:如图所示，是的边上的高，或是的高，或于点D，或． 14 考点串讲 ——6：三角形的高线 3.三角形高线的数量和交点的位置:锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高的延长线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点． 15 考点串讲 ——7：三角形的内角和定理 1.三角形的内角和定理:三角形三个内角的和等于 2.三角形的内角和定理:如图，过点作直线，使∥． ∵ ∥， ∴ ∠２＝∠４ （两直线平行，内错角相等）． 同理 ∠３＝∠５． ∵ ∠１，∠４，∠５组成平角， ∴ ∠１＋∠４＋∠５＝180°（平角定义）． ∴ ∠１＋∠２＋∠３＝180°（等量代换） 【注意】①三角形的内角和定理适用于任意三角形． ②三角形的内角和定理是关于以三角形为背景的题目的隐含条件． 16 考点串讲 ——8：直角三角形的性质与判定 1.直角三角形表示方法:直角三角形可以用符号“”表示，直角三角形ABC可以写成．用符号“”表示时，后面必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用． 2.直角三角形的性质:直角三角形两个锐角互余． 3.直角三角形的判定:有两个角互余的三角形是直角三角形． 如图所示，在中，如果，那么是直角三角形． 17 考点串讲 ——9：三角形的外角 1.三角形外角的定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，如图所示，是的一个外角． 2.三角形外角的性质:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． ①三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角． ②三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角．因为三角形的每个外角和与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是，可推出三角形的三个外角和是． ③三角形内角和定理与三角形外角的性质是角的有关计算及推理论证时经常使用的理论依据． 归纳总结 18 题型全解 题型01 三角形三边关系 例 已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． （1）若，，且c是奇数，试判断的形状； （2）化简：． 【解析】（1）解：∵是的三边长且，， ∴，即， ∵c是奇数，∴，∴ ∴是等腰三角形； （2）解：∵是的三边长 ∴，，， ∴， ∴原式． 19 题型全解 题型01 三角形三边关系 方法总结 总结1：判断三条线段能否构成三角形 ①简便判定：较短两条线段长度之和 > 最长线段长度，则可以组成三角形； ②若较短两边之和 ≤ 最长边，不能组成三角形； ③注意：必须满足任意两边之和大于第三边，利用简便方法可快速验证。 总结2：已知两边，求第三边取值范围 取值规则： ① 第三边 > 两边之差； ② 第三边 < 两边之和； 归纳：两边之差<第三边<两边之和 题型全解 题型02 等腰三角形边长分类讨论 例 已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是（     ） A．22 B．29 C．22或29 D．以上答案均不对 【解析】分两种情况进行讨论： ①当腰长为，底边长为时，三角形三边长为， ，不满足三角形两边之和大于第三边， 此情况不成立，舍去； ②当腰长为，底边长为时，三角形三边长为， ，满足三角形三边关系， 此情况成立，周长为． 因此该等腰三角形的周长为． B 21 题型全解 题型02 等腰三角形边长分类讨论 方法总结 总结1：分类假设边长 ① 情况一：已知第一条线段为腰长，写出三边长； ② 情况二：已知第二条线段为腰长，写出三边长； ③ 不漏所有可能性，两种情形分开分析。 总结2：利用三边关系检验取舍 检验规则：较短两边之和＞最长边 ① 满足三边关系：情况成立； ② 不满足三边关系：直接舍去该种情况。 题型全解 题型03 三角形中线与线段、面积计算 例 如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为（    ） A． B． C． D． 【解析】∵是边上中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长大，且． ∴，即． A 23 题型全解 题型03 三角形中线与线段、面积计算 方法总结 总结1：中线转化线段长度 ① 三角形的中线平分对边，中点分出的两条线段相等； ② 遇中线直接得到等线段，实现线段之间等量代换。 总结2：利用中线计算面积 ① 三角形一条中线把原三角形分成面积相等的两部分； ② 连续作中线，可得到面积倍数关系。 题型全解 题型04 高的作图与分类求值 例 如图，为的中线，为的中线． （1）作图：在中作出边上的高，边上的高； （2）若的面积为40，，则中边上的高为多少？ 【解析】（1）如图所示，即为所求作； （2）∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∵的面积为40，， ∴， ∴， 即中边上的高为4． 25 题型全解 题型04 高的作图与分类求值 方法总结 总结1：正确画出三角形的高 ① 定义：从三角形顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间线段为高； ② 锐角三角形：三条高全部在三角形内部； ③ 直角三角形：两条直角边互为高，一条高在内部； ④ 钝角三角形：一条高在内部，两条高在三角形外部。 总结2：利用高进行角度、边长求值 ① 高构造直角，可得直角、两角互余，用于角度推导；② 运用等面积法：不同底与对应高乘积相等，求线段长度。 题型全解 题型05 角平分线有关计算 例 如图，是的角平分线，是的角平分线，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【解析】∵分别平分和， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 而， ∴． C 27 题型全解 题型05 角平分线有关计算 方法总结 总结1：运用角平分线进行等角转化 ① 角平分线将三角形内角分成两个相等角； ② 得到二倍角、半角关系，实现角度等量替换。 总结2：结合定理列方程求值 ① 遇到多个角度关系可设较小角为； ② 结合三角形内角和、外角性质建立方程计算。例：已知两角，结合角平分线，求出未知内角度数。 题型全解 题型06三角形内角和与平行线、角平分线、高线综合计算 例 如图，是的角平分线，是的高，，且与的度数之比为，则 _____， ____． 【解析】∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 80° 10° 29 题型全解 题型06三角形内角和与平行线、角平分线、高线综合计算 方法总结 总结1：梳理已知条件，转化角度关系 ① 角平分线 ⇒ 分出两个相等角； ② 三角形的高 ⇒ 形成直角，两角互余； ③ 平行线 ⇒ 同位角、内错角相等。 总结2：结合内角和定理列式求值 ① 在三角形内运用内角和180°建立等量关系； ② 角度较多时设元，利用方程思想求解； ③ 可搭配三角形外角性质简化运算。 例：综合高线、角平分线条件，列方程求出未知角。 题型全解 题型07 外角定理核心计算题 例 如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为____度． 【解析】延长交于． ，， ， ． ，， ． ． 30 31 题型全解 题型07 外角定理核心计算题 方法总结 总结1：找准外角，直接使用定理 ① 分清三角形外角与不相邻内角； ② 外角等于与它不相邻两内角之和； ③ 可快速实现角度相加转化。 总结2：多条件综合角度推导 ① 图形复杂时，多次运用外角定理转化； ② 角度关系复杂可设未知数，建立方程； ③ 搭配角平分线、高线、内角和联合解题。 例：结合平分线条件，利用外角建立等式求角度。 题型全解 题型08 内角 + 外角综合证明题 例如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为，，求的长； （2）若平分，，，求的度数． 【解析】（1）是的中线，， ， 的面积为20，是的高， ， ． 33 题型全解 题型08 内角 + 外角综合证明题 例如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为，，求的长； （2）若平分，，，求的度数． （2）解：，且，． ， 是的角平分线， ， ， 是的高， ， ， ． 平分， ， ． 34 题型全解 题型08 内角 + 外角综合证明题 方法总结 总结1：识图转化，梳理角度条件 ① 分清三角形内角与外角； ② 结合平分线、高线、平行线标注等角； ③ 写出题目给出的角度等量关系。 例：找到外角，写出外角等于不相邻两内角之和。 总结2：逻辑推导，规范完成证明 ① 交替使用内角和定理、外角定理转化角度； ② 通过中间角进行等量代换，靠近待证结论； ③ 推理每一步写明依据，规范几何证明格式。 例：借助外角传递角度关系，最终证明两角相等。 针对训练 A 1．若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 解：∵三角形三个内角度数的比为， ∴可设三个内角分别为，，， ∵三角形内角和为， ∴， 解得：， ∴最大内角为， ∵， 即三个内角都为锐角， ∴这个三角形是锐角三角形． 针对训练 （1）解：由题意知： 解得：； （2）解：∵是等腰三角形，两边长为8，18所以第三边为8或18， 又，， ∴第三边只能为18． 此时周长为． 2．已知，在中，，且，． （1）求的取值范围； （2）若为等腰三角形，求这个三角形的周长． 针对训练 （1）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，， ∴ ∴， ∴， ∴的周长 3．如图，是的中线，是的中线． （1）若，的周长为24，求的周长； （2）若，求的面积． 针对训练 （2）解：是的中线， ， ， ， 又∵是的中线， 3．如图，是的中线，是的中线． （1）若，的周长为24，求的周长； （2）若，求的面积． ， 又， ， ， 的面积是． 针对训练 解：如图，连接， ， ， ，， D是的中点， ，， ， ∴， 4．如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 针对训练 4．如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． ， ， 设边上的高为h， ， ， ， ， 的最小值为9． 9 针对训练 5．如图，在中，平分．若，求的度数． 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，∴， ∴， ∴ . 针对训练 6．如图，在中，点是延长线上一点，点是边上一点，连接交于点． （1）若，求的度数； （2）若，判断的形状，并说明理由． （1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 针对训练 6．如图，在中，点是延长线上一点，点是边上一点，连接交于点． （2）若，判断的形状，并说明理由． （2）解：是直角三角形，理由如下： 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是直角三角形． 针对训练 7．如图，为的高，，为角平分线，若，． （1）求的度数； （2）求的度数． （1）解：平分，， ． ， ， ； 针对训练 7．如图，为的高，，为角平分线，若，． （2）求的度数． （2）解：， ． 由（1）知， ∴， ∵平分， ， 由（1）知， ． 单元总结/易错复盘 ·分类规则 等腰边长问题：已知两边求周长，必须分两类讨论，分别假设线段为腰、为底边。讨论结束后一定要利用三角形三边关系检验，舍去不符合条件的情况。三角形按角分为锐角、直角、钝角三角形；按边分为不等边三角形、等腰三角形。 ·核心概念 三条重要线段：中线（平分边长、等分面积）、角平分线（平分内角）、高（构造直角）。三边关系：较短两边之和＞最长边；两边之差＜第三边＜两边之和。两大定理：三角形内角和180 ∘ ；外角 = 不相邻两个内角之和。 ·答题注意事项 画钝角三角形的高，记得先延长边，垂足可以在边的延长线上，勿忘标注直角符号。几何计算、证明尽可能在图上标记相等角、相等线段，理清角度关系。推理步骤书写规范，每一步推导写明依据；复杂角度问题优先尝试设元列方程。遇到分类题型，不漏情况，不忘记最后的检验环节。 47 人教版·八年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $