专题01 一元二次方程的概念（五大题型20道题）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念的五大核心题型，以定义为起点，通过正反应用构建递进式知识逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一元二次方程的定义|4道|方程辨析与参数取值判断|从概念本质出发，强化二次项系数非零的核心条件| |化成一般式|4道|形式转化与系数识别|规范方程表达形式，为后续解法奠基| |判断是否是解|4道|解的验证与根的性质应用|体现方程解的定义逆向应用| |由定义求参数|4道|定义约束下的参数计算|深化概念内涵，培养推理能力| |由解求参数|4道|解的代入与代数式求值|强化解与方程的关联，提升数学语言表达|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题01 一元二次方程的概念（五大题型20道题） 目录 知识点一一元二次方程的定义 1 知识点二化成一元二次方程的—般式 2 知识点三判断是否是一元二次方程的解 2 知识点四由一元二次方程的定义求参数 3 知识点五由一元二次方程的解求参数 3 知识点一一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若是关于x的一元二次方程，则a的值为___________． 4．已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程是一元二次方程？ (2)当为何值时，该方程是一元一次方程？ 知识点二化成一元二次方程的—般式 5．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 6．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 7．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 8．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 知识点三判断是否是一元二次方程的解 9．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 10．若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 11．一元二次方程 的两根为，则 的值为______． 12．已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由． 知识点四由一元二次方程的定义求参数 13．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 14．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 15．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 16．当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 知识点五由一元二次方程的解求参数 17．若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 18．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 19．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 20．已知是方程的一个根，试求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题01 一元二次方程的概念（五大题型20道题） 目录 知识点一一元二次方程的定义 1 知识点二化成一元二次方程的—般式 3 知识点三判断是否是一元二次方程的解 4 知识点四由一元二次方程的定义求参数 7 知识点五由一元二次方程的解求参数 8 知识点一一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 2．下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 3．若是关于x的一元二次方程，则a的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数且最高次数为2的方程叫作一元二次方程． 根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：． 4．已知关于的方程． (1)当为何值时，该方程是一元二次方程？ (2)当为何值时，该方程是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据一元二次方程的概念进行求解即可； （）根据一元一次方程的概念进行求解即可； 本题考查了一元二次方程和一元一次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，， 解得：， 故当时，该方程是一元二次方程； （2）解根据题意，且， 解得：， 故当时，该方程是一元一次方程． 知识点二化成一元二次方程的—般式 5．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 6．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 7．把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴. 8．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 知识点三判断是否是一元二次方程的解 9．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 10．若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 11．一元二次方程 的两根为，则 的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到及的值，代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴． 12．已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由． 【答案】没有公共根，见解析 【分析】本题考查了方程组的解，解题的关键是掌握两个方程的公共根即为两个方程组成的方程组的根； 设关于x的方程 与 有公共根，公共根为 ，推出或，结合题目条件得出，将其代入①，即可得出结论． 【详解】解：没有公共根，理由如下： 不妨设关于x的方程 与 有公共根， 设公共根为 ， 则有 得， ∴或， ，， ，，则 假设 ， 则，即，与矛盾， ， ， ∴， ， 将 代入①得 ， ∵ ，所以 均为正数，其和 必大于0， ∴ ，不成立，产生矛盾不符合题意， 关于 的两个方程没有公共根． 知识点四由一元二次方程的定义求参数 13．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 14．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 【答案】D 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 15．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，再结合一元二次方程有实数根时根的判别式大于等于，列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且． 16．当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键． 直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得且． 解，得， 解，得， 所以． 所以当时，原方程是关于的一元二次方程． 知识点五由一元二次方程的解求参数 17．若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把代入方程，得，即， 解得． 18．已知是方程的一个根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，方程的根满足原方程，将代入原方程变形即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 移项得， ∴代数式的值为． 19．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 20．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $