第二十五章一元二次方程小专题1 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程定义、一般形式及根的应用，以“逢解必代”为核心方法，构建“概念辨析-参数求解-代数式求值”的递进训练体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与一般形式|14题|概念三要素辨析法（整式、单未知数、最高次2且系数非0）|从定义本质到一般形式要素分解，建立概念与形式的对应关系| |方程的根|14题|逢解必代技巧（将根代入方程转化求值）|以根的定义为基础，通过代入法实现参数与代数式的转化，体现方程思想|

第二十五章 一元二次方程专题1 姓名：______ 知识点一：一元二次方程的定义与一般形式 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 三个必备条件： （1）是整式方程 （2）只含一个未知数； （3）未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0. 一般形式：（）.其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项. 题型一：根据概念判断一元二次方程 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件，只含有一个未知数，未知数的最高次数为，是整式方程，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，未知数最高次数为，不满足条件，∴A错误； 选项B中，含有两个未知数，不满足条件，∴B错误； 选项C中，只含1个未知数，未知数最高次数为，且为整式方程，满足所有条件，∴C正确； 选项D中，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，∴D错误． 2．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐个判断选项即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程分母含有未知数，不属于整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意． 3．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A、含有，两个未知数，故A不符合题意； B、是分式，方程不是整式方程，故B不符合题意； C、含有，两个未知数，且未知数最高次数为1，是二元一次方程，故C不符合题意； D、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故D符合题意． 4．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合一元二次方程定义； B、未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合要求； C、含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D、分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求． 5．下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故此选项符合题意； C、方程，即方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 题型二：根据一元二次方程概念求参数 6． 若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【分析】一元二次方程需要满足两个条件：未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出条件即可求解出的值． 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴未知数最高次数满足，且二次项系数， 解得，即或， 由得， ∴． 7． 若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程 ∴ 由得：或 解得或 由，∴ ∴． 8． 关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 9． 关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，据此列式方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：且， ∴m的值为5． 题型三：二次项、一次项、常数项的概念 10．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：已经是一般形式， 对应可得二次项系数，一次项系数，常数项． 11．关于x的一元二次方程的常数项是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般形式即可确定常数项． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为 ，其中为常数项； ∵ 原方程为 ， 对应一般形式可得常数项为， ∴ 该方程的常数项是． 12．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 13．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为， ∵展开方程左边，得， 合并同类项得， 移项整理为一般形式，两边同乘得 14.关于的一元二次方程的常数项为0，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解，解一元二次方程，把代入方程解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程的常数项为0 ∴， ∴， ∵是一元二次方程 ∴ 故选：B． 知识点二、一元二次方程的根【逢解必代】 一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 题型四：根据一元二次方程的根求参数 15．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 16．已知一元二次方程的一个根为，则的值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴ ∴． 17．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 题型五：根据一元二次方程的根求代数式的值 18． 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴．． 19． 若m是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】 【分析】利用整体代入法求代数式的值，根据根的定义得到关于的关系式，再将所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， 整理得， 又， ∴将代入得：原式． 20．若实数x满足，则__． 【答案】 【分析】利用已知一元二次方程对所求多项式进行降次处理，将高次多项式转化为低次多项式后代入计算即可得到结果． 【详解】 ， 21.如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【答案】36 【分析】利用m是方程的一个根，求得，将原式整理得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 22.若是方程的根，则代数式的值是____． 【答案】2029 【分析】利用方程的根的定义，得到；两边同除以，构造出的形式；对平方，求出的值；代入代数式，直接算出最终结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ， 方程两边同时除以，得： 整理得： ∴ 化简得： 移项得： 将其代入代数式得： ． 23.已知是方程的一个根，则____________． 【答案】－2026 【分析】因为a是方程的根，所以可将a代入方程得到关于a的等式，作为化简代数式的核心依据．利用得到的等式对代数式的前两项进行降次化简．利用得到的等式变形得到的表达式，代入分式中化简，最后合并化简后的两部分结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵， 代入分式部分： ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式： ． 24.已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， ． 25． 已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【详解】∵是方程的一个根 ∴，显然， 等式两边同时除以得：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程专题1 姓名：______ 知识点一：一元二次方程的定义与一般形式 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 三个必备条件： （1）是整式方程 （2）只含一个未知数； （3）未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0. 一般形式：（）.其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项. 题型一：根据概念判断一元二次方程 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 5．下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 题型二：根据一元二次方程概念求参数 6．若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 7．若关于的方程是一元二次方程，则________． 8．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 9．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 题型三：二次项、一次项、常数项的概念 10．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 11．关于x的一元二次方程的常数项是（     ） A． B． C． D． 12．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 13．将一元二次方程化为一般形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 14.关于的一元二次方程的常数项为0，那么的值为（    ） A． B． C． D． 知识点二、一元二次方程的根【逢解必代】 一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 题型四：根据一元二次方程的根求参数 15．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 16．已知一元二次方程的一个根为，则的值为（     ） A． B．4 C． D．6 17．已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 题型五：根据一元二次方程的根求代数式的值 18．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________．． 19．若m是方程的一个根，则的值为_____． 20．若实数x满足，则__． 21．如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 22．若是方程的根，则代数式的值是____． 23．已知是方程的一个根，则____________． 24．已知是方程的一个根，试求的值． 25．已知是方程的一个根，求的值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $