专题03 公式法解一元二次方程（三大题型12道题） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦公式法解一元二次方程，以判别式应用为核心，通过三大递进知识点（根的判断、参数求解、方程解法）覆盖12道典型题，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根据判别式判断根的情况|4题（含证明题）|基础判断、一次函数与方程综合|从概念理解到综合应用，构建判别式认知基础| |根据根的情况求参数|4题（含新运算情境）|参数范围确定、最值问题|深化判别式应用，连接代数与几何情境| |公式法解方程|4题（含实际问题）|公式直接应用、解法选择|回归方程求解本质，形成完整解题链|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题03 公式法解一元二次方程（三大题型12道题） 目录 知识点一根据判别式判断一元二次方程根的情况 1 知识点二根据一元二次方程根的情况求参数 3 知识点三公式法解一元二次方程 6 知识点一根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】计算方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，利用判别式 时方程有实数根的性质解题. 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ，，， ∴ ； ∴方程有两个实数根. 2．已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 3．已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）把代入方程，求出的值，进行判断即可； （2）根据方程都有实数根，得到，进而求出 b的取值范围即可. 【详解】解：（1）∵方程有一个根为， ∴， 整理，得； ∵， ∴，即； （2）由题意，， ∵对于任何实数a，此方程都有实数根， ∴对于任何实数a，都有，即， ∴对于任何实数a，都有， ∵， ∴b的取值范围是. 4．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有实数根； (2)若该方程两个根的平方和为25，求的值． 【答案】(1)证明：对于方程， 其中， ， ， 恒成立， 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根 (2) 【分析】（1）证明恒大于0； （2）若该方程两个根的平方和为25，求的值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，利用求根公式： 解得：； 知识点二根据一元二次方程根的情况求参数 5．嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 6．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由一元二次方程有两个相等实数根得判别式为0，推导m与n的数量关系，结合n的范围判断的范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴． ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 两边同除以，得 ， 整理得 ． 当时，， ∴， 则 ，可能小于1也可能大于1，故A、B均不成立． 当时，， ∴， ∴，故C错误，D正确． 7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，满足且即可） 【分析】根据一元二次方程定义得二次项系数不为0，结合根的判别式求出m的取值范围，写出一个符合范围的值即可． 【详解】解：∵方程为关于的一元二次方程， ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得， ∴的取值范围是且，可取符合条件的． 8．新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新定义将方程化成一般式，再根据根的判别式列不等式求解即可； （2）先将原方程化成再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，方程整理为：，即， ， ， ， ． 知识点三公式法解一元二次方程 9．用公式法解一元二次方程时，的值为（   ） A． B．8 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根的判别式，先将方程化为标准形式，再计算判别式的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∴， ∴，，， ∴ ， 故选：C． 10．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 11．顶角为的等腰三角形的腰与底的比值为______． 【答案】 【分析】作的平分线交于点，得到的和都是顶角为的等腰三角形，根据它们的腰和底对应成比例，列比例式解答即可． 【详解】解：设等腰中，顶角，（腰长），（底边长）， ∴ ． 作的平分线交于点． 则， ， ． ， ， ， ∵和都是顶角为的等腰三角形， ∴它们的腰和底的比相等， 即， 代入得， 整理得， 两边同除以， 设， 得， 解得， ， ． 12．用适当的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）先移项，再直接开方可得解； （2）先求出，再根据求根公式求出解． 【详解】（1）解：移项，得， 开方，得， 解得， ∴，； （2）解：， 由题意，得，，． ∵， ∴， ∴，． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题03 公式法解一元二次方程（三大题型12道题） 目录 知识点一根据判别式判断一元二次方程根的情况 1 知识点二根据一元二次方程根的情况求参数 1 知识点三公式法解一元二次方程 2 知识点一根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．关于的方程，则方程根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．无法确定 2．已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 3．已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 4．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有实数根； (2)若该方程两个根的平方和为25，求的值． 知识点二根据一元二次方程根的情况求参数 5．嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 6．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值可以是_____．（写出一个即可） 8．新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 知识点三公式法解一元二次方程 9．用公式法解一元二次方程时，的值为（   ） A． B．8 C．16 D．17 10．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 11．顶角为的等腰三角形的腰与底的比值为______． 12．用适当的方法解方程： (1) (2) 学科网（北京）股份有限公司 $