专题04 因式分解法解一元二次方程及根与系数的关系（四大题型16道题）-2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以因式分解法为基础，通过换元法、分式方程转化、根与系数关系构建“解法-技巧-应用-理论”完整体系，16道题覆盖四大模块，突出转化与模型思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |因式分解法|4（含菱形面积应用）|提公因式、公式法等分解技巧|基础解法，连接方程解与几何应用| |换元法|4（含材料题）|设元转化复杂方程|技巧拓展，培养整体思想| |分式方程转化|4（含无解问题）|去分母化整式方程并验根|应用延伸，体现转化思想| |根与系数关系|4（含直角三角形面积）|韦达定理代数推理|理论深化，连接代数与几何|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题04 因式分解法解一元二次方程及根与系数的关系 （四大题型16道题） 目录 知识点一因式分解法解一元二次方程 1 知识点二换元法解一元二次方程 1 知识点三解分式方程（化为一元二次） 1 知识点四—元二次方程的根与系数的关系 1 知识点一因式分解法解一元二次方程 1．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 【答案】C 【分析】把方程的解代入得到关于的一元二次方程，解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：将代入得． 整理得． 因式分解得． ∴或， ∴或． 2．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 3．已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 【答案】 或 【详解】解：（1）当时， 或， 解得：或； （2）当时，整理，得， ， ∴， ∴. 4．解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 分解因式得：， 可得：，， 解得：，； （2）解：， 其中，，， ， 解得：，． 知识点二换元法解一元二次方程 5．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】对一元二次方程变形，设得到，利用的一个根是可得，从而求出x即可． 【详解】解：对于一元二次方程即， 设，则可得， 而关于x的一元二次方程的一个根是， 所以有一个根为， 所以， 解得， 所以一元二次方程必有一根为． 6．已知实数满足，则的值为（   ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 将看做一个整体，代入求解，再根据判断即可． 【详解】， 设， ∵实数满足， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 故选：D． 7．我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是___． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据已知方程的解，通过代换法求解新方程． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因为方程的解是，， 所以或，即或， 解得或． 故答案为：，． 8．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 知识点三解分式方程（化为一元二次） 9．下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式方程求解方法，平方的非负性，算术平方根的非负性和分式的性质，逐个判断即可得到结果． 【详解】解：A．， 去分母得，， 整理得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程有实数解； B．变形得， ∵任意实数的平方满足，不可能等于， ∴该方程无实数解； C．方程， ∵分子，分母，分式的值不可能为， ∴该方程无实数解； D．方程变形得， ∵任意实数的算术平方根满足，不可能等于， ∴该方程无实数解． 10．已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．3 B． C．3或1 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系结合，可得出关于m的分式方程，解之即可得出m的值，再根据根的判别式，即可得出m的值，此题得解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 解得：或， 经检验，或均为原分式方程的解． ∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 11．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 【答案】 【分析】将代入原方程，把原方程转化为含的分式方程，再去分母整理即可得到关于的整式方程． 【详解】解：设，则，， 原方程可化为， 两边同时乘以得， 整理得， 得到关于的整式方程是． 12．已知关于的方程无解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题先分解分式分母，将分式方程去分母转化为整式方程，分式方程无解分两种情况：一是整式方程无实根，原方程无解；二是整式方程的所有实根都是原分式方程的增根，原方程无解，分别计算得到m的取值范围． 【详解】解：对分母因式分解得 ， 原分式方程若有增根，则满足， 即增根为或 方程化为整式方程得： 即 分情况讨论原方程无解： 情况1：整式方程无实根，原分式方程无解， 计算判别式得， 令，得， 解得 ； 情况2：整式方程有实根，且所有实根都是增根，原分式方程无解， 将代入整式方程得， 解得 此时整式方程另一根为，不是增根，原方程有解，不符合要求； 将代入整式方程得 ， 解得 此时整式方程为，根为，为增根，原方程无解，符合要求 综上，的取值范围是． 知识点四—元二次方程的根与系数的关系 13．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 14．的面积是S，一直角边长是x，根据题意可列方程 若该方程的两根为 其中，，则另一直角边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先整理原方程，根据直角边长度为正确定的取值，再利用根与系数的关系得到m与两根a、b的关系，最后代入另一直角边的表达式即可求出结果． 【详解】解：， 整理得：， ∵直角边长度为正数，方程两根为， ∴，，， ∴，， 根据三角形面积公式得： ， 15．已知，，且，则_____． 【答案】/ 【分析】根据题意a，b是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 16．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题04 因式分解法解一元二次方程及根与系数的关系 （四大题型16道题） 目录 知识点一因式分解法解一元二次方程 1 知识点二换元法解一元二次方程 1 知识点三解分式方程（化为一元二次） 1 知识点四—元二次方程的根与系数的关系 1 知识点一因式分解法解一元二次方程 1．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 2．已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 3．已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 4．解下列一元二次方程： (1) (2) 知识点二换元法解一元二次方程 5．若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（    ）． A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 6．已知实数满足，则的值为（   ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 7．我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是___． 8．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 知识点三解分式方程（化为一元二次） 9．下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 10．已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．3 B． C．3或1 D．或1 11．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 12．已知关于的方程无解，求的取值范围． 知识点四—元二次方程的根与系数的关系 13．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 14．的面积是S，一直角边长是x，根据题意可列方程 若该方程的两根为 其中，，则另一直角边长是（     ） A． B． C． D． 15．已知，，且，则_____． 16．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 学科网（北京）股份有限公司 $