专题01一元二次方程及其解法8大题型专练2026-2027学年人教版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦一元二次方程全体系，从定义到解法再到根的性质，构建概念-形式-解法-应用的递进逻辑，通过多样化题型培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义|6小题|方程识别与参数取值|概念生成基础| |一般形式|6小题|系数确定与形式转化|定义到规范表达过渡| |解|6小题|根的验证与代数式求值|性质应用初步| |配方法|7小题|配方步骤与变形应用|解法技能训练| |公式法|6小题|系数识别与求根公式应用|解法系统化| |因式分解法|9小题|因式分解技巧与根的求解|解法灵活应用| |根的判别式|10小题|根的情况判断与参数范围|方程性质深化| |根与系数关系|10小题|两根关系应用与代数式化简|性质综合应用|

专题01一元二次方程及其解法8大题型专练 一．一元二次方程的定义（共6小题） 1．（2026春•苏州期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x﹣3＝0 B．x2＝4 C． D．2x+5＝8 2．（2026春•临安区月考）若方程E+2x＝1是关于x的一元二次方程，则代数式E可以是（　　） A．﹣x B．﹣x2 C．22 D．y2 3．（2026•淄博模拟）若方程（a+3）x|a|﹣1﹣x＝2是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．不存在 4．（2026春•牟平区期中）下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025秋•丰满区期末）请写出一个一元二次方程：　 　 ． 6．（2026春•裕安区校级月考）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0， （1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程； （2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程． 二．一元二次方程的一般形式（共6小题） 7．（2026春•金安区校级期中）方程2x2﹣6x＝9的二次项系数是2，则一次项系数，常数项分别为（　　） A．6，﹣9 B．﹣6，9 C．﹣6，﹣9 D．6，9 8．（2026春•寿县月考）把一元二次方程x2﹣2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2﹣5x+2＝0 C．x2﹣x﹣2＝0 D．x2﹣x+2＝0 9．（2026春•淄川区期中）把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般形式，得到x2﹣ax+10＝0，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 10．（2026春•义乌市校级月考）将一元二次方程（x﹣1）（2x+3）＝1化为一般形式为 　 　 ． 11．（2025秋•象州县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m＝　 　 ． 12．（2026春•同步）判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，分别指出它们的各项系数和常数项． （1）2x（x﹣3）＝10； （2）3m2+2＝2（2m+1）； （3）x（3+x2）+1＝5； （4）3y﹣5＝4（2﹣y）； （5）（2k﹣3）（k+5）＝7k； （6）2x（x+3）＝6x． 三．一元二次方程的解（共6小题） 13．（2026•河南）已知x＝2是关于x的方程x2﹣mx＝6的一个根，则m的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 14．（2026春•南湖区校级期末）若a是关于x的方程2x2﹣x﹣4＝0的一个实根，则代数式的值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 15．（2026春•金安区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为（　　） A．x＝2024 B．x＝2025 C．x＝2026 D．x＝2027 16．（2026•朝阳区校级二模）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的解，则代数式11﹣4a﹣2b的值是　 　 ． 17．（2026春•寿县月考）已知m是关于x的一元二次方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，求代数式的值． 18．（2026春•西湖区校级月考）已知a是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根． （1）求2a2+2a的值； （2）求a3﹣2a+2026的值． 四．解一元二次方程-配方法（共7小题） 19．（2026•龙海区校级模拟）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0时，配方后的等式为（　　） A．（x+1）2＝2 B．（x+1）2＝4 C．（x+2）2＝2 D．（x+2）2＝4 20．（2026春•柯桥区期中）将一元二次方程x2﹣6x＝1配方，得到方程x2﹣6x+▲＝1+▲，其中“▲”表示的数是（　　） A．3 B．6 C．9 D．10 21．（2026春•钱塘区校级期中）将一元二次方程x2﹣4x﹣2024＝0转化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 22．（2026春•新昌县期中）用配方法解方程x2+6x＝7，应在方程两边同时加上　 　 ． 23．（2026春•临安区期中）已知关于x的方程x2﹣mx+n＝0通过配方可变形为，则的值为　 　 ． 24．（2026春•泰兴市期末）解下列方程： （1）（x﹣1）2﹣4＝0； （2）x2﹣4x＝2． 25．（2026春•高新区校级期中）解方程： （1）4x2+2＝66； （2）2x2﹣4x﹣5＝0． 五．解一元二次方程-公式法（共6小题） 26．（2026春•合肥期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（　　） A．a＝﹣4，b＝5，c＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3 C．a＝4，b＝5，c＝3 D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3 27．（2026•福州校级模拟）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．3x2+x﹣5＝0 B．3x2﹣x﹣5＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．x2+3x﹣5＝0 28．（2026春•张店区校级月考）利用公式法解得一元二次方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b，则a的值为（　　） A． B． C． D． 29．（2026•鼓楼区校级模拟）定义运算m☆n＝mn2﹣mn﹣1，如4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程2☆x＝0的解为　 　 ． 30．（2026•广东校级二模）解方程：2x2﹣6x+4＝0． 31．（2026春•同步）用公式法解下列方程： （1）x2﹣5x﹣6＝0； （2）4x2+9＝12x； （3）； （4）． 六．解一元二次方程-因式分解法（共9小题） 32．（2026春•南京校级月考）一元二次方程x（x﹣2）＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 33．（2026•岳西县模拟）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣ab+2，若（2x﹣1）★（x+3）＝11，则x的值为（　　） A．，x2＝﹣5 B．，x2＝5 C．x1＝﹣1， D．x1＝1， 34．（2026春•绍兴期中）已知一元二次方程2x2+px+q＝0的两个根是3、﹣4，则二次三项式2x2+px+q可分解为（　　） A．（x+3）（x﹣4） B．（x﹣3）（x+4） C．2（x+3）（x﹣4） D．2（x﹣3）（x+4） 35．（2026•山东）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣m）＝0的一个根是10，则另一个根是　 　 ． 36．（2026春•上城区校级期中）已知三角形的一条边边长为2，另外两边边长分别是方程x2﹣3x+2＝0的两个解，则这个三角形的周长为　 　 ． 37．（2026春•高新区校级期末）解方程： （1）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）； （2）（x+2）（x﹣1）＝10． 38．（2026春•宁海县校级期中）解方程： （1）x2+6x﹣16＝0； （2）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）． 39．（2026春•海淀区校级月考）解方程： （1）x2﹣7x+6＝0； （2）（5x﹣1）2+（5x﹣1）＝0． 40．（2026•萧山区校级模拟）小明与小红两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框： 小明： 等号两边同除以（x﹣3）， 得3＝x﹣3， 则x＝6． 小红： 移项得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． 请判断小明与小红的解法是否正确，如果不正确，请写出你的解答过程． 七．根的判别式（共10小题） 41．（2026•广州校级二模）一元二次方程x2﹣3x+4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 42．（2026•天山区校级模拟）若关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 43．（2026•江阳区校级二模）已知关于x的方程ax2+4x﹣2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a≤2且a≠0 44．（2026•广州校级模拟）若5k+20＞0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 45．（2026•内江）对于实数a、b，定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如：3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程2☆x＝3的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 46．（2026•南山区校级三模）关于x的方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则正整数c的值可以是　 　 ．（写出一个即可） 47．（2026•鄄城县三模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+n）x+mn＝0，其中m、n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是　 　 ． 48．（2026春•泰兴市期末）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0． （1）若m＝2，求方程的解； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 49．（2026春•乐清市校级期中）已知一元二次方程ax2+（a﹣2）x+c＝0（a、c为常数，其中a≠0）． （1）若x＝1，求2a+c的值； （2）若a+c＝1，请判别方程根的情况． 50．（2025秋•洪湖市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0． （1）求证：此方程有两个实数根； （2）若方程的两根均小于0，求m的取值范围． 八．根与系数的关系（共10小题） 51．（2026•石家庄二模）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0两个根，则x1x2值为（　　） A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2 52．（2026•西塞山区模拟）关于x的方程x2+4x﹣m＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2+x1x2＝﹣9，则m的值为（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5 53．（2025秋•卢龙县期末）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 54．（2026春•南湖区校级期末）已知x1，x2是方程x2+x﹣5＝0的两个实数根，则的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 55．（2026•广州校级模拟）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，则代数式（x1+3）（x2+3）的值为　 　 ． 56．（2026春•高新区校级期末）已知不相等的实数a，b满足a2+4a＝12，b2+4b＝12，则代数式的值等于　 　 ． 57．（2026•任城区校级三模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个实数根x1、x2，且9，则m的值为　 　 ． 58．（2026•大冶市模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣x1x2＝6，求k的值． 59．（2026春•滨江区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1x2＝5，求k的值． （3）在（2）的条件下，求的值． 60．（2026春•柯桥区期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，． 材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根． （1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　 　 ，x1x2＝　 　 ． （2）应用探究：已知实数a，b满足：a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+1＝0且a≠b，求a2b+ab2的值． （3）思维拓展：已知实数m，n满足：m2+5m﹣3＝0，4n2+10n﹣3＝0，求的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元二次方程及其解法8大题型专练 一．一元二次方程的定义（共6小题） 1．（2026春•苏州期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x﹣3＝0 B．x2＝4 C． D．2x+5＝8 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断各选项即可． 【解答】解：A、x﹣3＝0只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意； B、x2＝4只含一个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义，符合题意； C、中含有分式，不是整式方程，不符合题意； D、2x+5＝8只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意． 故选：B． 2．（2026春•临安区月考）若方程E+2x＝1是关于x的一元二次方程，则代数式E可以是（　　） A．﹣x B．﹣x2 C．22 D．y2 【答案】B 【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，据此即可作答． 【解答】解：∵方程E+2x＝1是关于x的一元二次方程， ∴根据一元二次方程的定义，选项中要有x的2次方，而且不能含有其它未知数， 观察各选项，唯有B选项正确，符合题意， 故选：B． 3．（2026•淄博模拟）若方程（a+3）x|a|﹣1﹣x＝2是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．不存在 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程， ∵方程（a+3）x|a|﹣1﹣x＝2是关于x的一元二次方程， ∴|a|﹣1＝2且a+3≠0， 解得a＝3， 故选：B． 4．（2026春•牟平区期中）下列方程中：①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可． 【解答】解：①2x2﹣1＝0是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，它是一元二次方程， ②ax2+bx+c＝0中当a＝0时，它不是一元二次方程， ③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3整理得﹣x﹣6＝﹣3，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个， 故选：B． 5．（2025秋•丰满区期末）请写出一个一元二次方程：　2x2+3x﹣4x＝0（答案不唯一）　 ． 【答案】2x2+3x﹣4x＝0（答案不唯一）． 【分析】根据一元二次方程的定义即形如ax2+bx+c＝0（a≠0）的整式方程判断． 【解答】解：根据一元二次方程的定义，任意写出一个一元二次方程为：2x2+3x﹣4x＝0． 故答案为：2x2+3x﹣4x＝0（答案不唯一）． 6．（2026春•裕安区校级月考）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0， （1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程； （2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程． 【答案】（1）k≠±1；（2）k＝﹣1． 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：（1）∵关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程， ∴k2﹣1≠0， ∴k≠±1， 所以k≠±1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程； （2）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程， ∴k2﹣1＝0且k﹣1≠0， ∴k＝﹣1， ∴k＝﹣1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程． 二．一元二次方程的一般形式（共6小题） 7．（2026春•金安区校级期中）方程2x2﹣6x＝9的二次项系数是2，则一次项系数，常数项分别为（　　） A．6，﹣9 B．﹣6，9 C．﹣6，﹣9 D．6，9 【答案】C 【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数，和常数项即可． 【解答】解：由题意，∵2x2﹣6x＝9， ∴2x2﹣6x﹣9＝0， ∴方程2x2﹣6x＝9的一次项系数是﹣6，常数项是﹣9， 故选：C． 8．（2026春•寿县月考）把一元二次方程x2﹣2（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣1＝0 B．x2﹣5x+2＝0 C．x2﹣x﹣2＝0 D．x2﹣x+2＝0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的一般形式解答即可． 【解答】解：x2﹣2（x﹣1）＝3x， x2﹣2x+2﹣3x＝0， x2﹣5x+2＝0， 故一元二次方程x2﹣2（x﹣1）＝3x化成一般形式为x2﹣5x+2＝0． 故选：B． 9．（2026春•淄川区期中）把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般形式，得到x2﹣ax+10＝0，则a的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 【答案】A 【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可． 【解答】解：x（x+2）＝5（x﹣2）， 方程整理得：x2﹣3x+10＝0， 则a＝3． 故选：A． 10．（2026春•义乌市校级月考）将一元二次方程（x﹣1）（2x+3）＝1化为一般形式为 　2x2+x﹣4＝0　 ． 【答案】2x2+x﹣4＝0． 【分析】首先去括号，移项，合并同类项，把右边化为0，变为一般式即可． 【解答】解：（x﹣1）（2x+3）＝1， 2x2+3x﹣2x﹣3＝1， 2x2+x﹣4＝0， 故答案为：2x2+x﹣4＝0． 11．（2025秋•象州县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】关于x一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项是为0，则m2﹣3m+2＝0，解出关于m的一元二次方程，并且注意而二次项系数m﹣2≠0，两者结合求得m的值． 【解答】解：根据他题意可知，m2﹣3m+2＝0， 解得：m1＝1，m2＝2； 又∵m﹣2≠0， ∴m≠2， ∴m1＝1． 故答案为：1． 12．（2026春•同步）判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，分别指出它们的各项系数和常数项． （1）2x（x﹣3）＝10； （2）3m2+2＝2（2m+1）； （3）x（3+x2）+1＝5； （4）3y﹣5＝4（2﹣y）； （5）（2k﹣3）（k+5）＝7k； （6）2x（x+3）＝6x． 【答案】（1）是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数﹣6、常数项﹣10； （2）是一元二次方程，它的二次项系数为3、一次项系数﹣4、常数项0； （3）不是一元二次方程； （4）不是一元二次方程； （5）是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数0、常数项﹣15； （6）是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数0、常数项0． 【分析】（1）根据一元二次方程的相关概念解答即可； （2）根据一元二次方程的相关概念解答即可； （3）根据一元二次方程的相关概念解答即可； （4）根据一元二次方程的相关概念解答即可； （5）根据一元二次方程的相关概念解答即可； （6）根据一元二次方程的相关概念解答即可． 【解答】解：（1）2x（x﹣3）＝10， 原方程整理，得：2x2﹣6x﹣10＝0，是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数﹣6、常数项﹣10； （2）3m2+2＝2（2m+1）； 原方程整理，得：3m2﹣4m＝0，是一元二次方程，它的二次项系数为3、一次项系数﹣4、常数项0； （3）x（3+x2）+1＝5； 原方程整理，得：x3+3x﹣4＝0，不是一元二次方程； （4）3y﹣5＝4（2﹣y）； 原方程整理，得：7y﹣13＝0，不是一元二次方程； （5）（2k﹣3）（k+5）＝7k； 原方程整理，得：2k2﹣15＝0，是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数0、常数项﹣15； （6）2x（x+3）＝6x． 原方程整理，得：2x2＝0，是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数0、常数项0． 三．一元二次方程的解（共6小题） 13．（2026•河南）已知x＝2是关于x的方程x2﹣mx＝6的一个根，则m的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入关于x的方程x2﹣mx＝6中即可求出m的值． 【解答】解：把x＝2代入关于x的方程x2﹣mx＝6中，得22﹣2m＝6， 解得m＝﹣1， 故选：D． 14．（2026春•南湖区校级期末）若a是关于x的方程2x2﹣x﹣4＝0的一个实根，则代数式的值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】D 【分析】利用方程根的定义，把已知等式变形，采用整体代入法即可求代数式的值． 【解答】解：由条件可知2a2﹣a﹣4＝0， ∴， ∴． 故选：D． 15．（2026春•金安区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2必有一根为（　　） A．x＝2024 B．x＝2025 C．x＝2026 D．x＝2027 【答案】C 【分析】根据已知易得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0，从而可得x﹣2＝2024，然后进行计算即可解答． 【解答】解：a（x﹣2）2+bx﹣2b＝﹣2， 整理得：a（x﹣2）2+b（x﹣2）+2＝0， ∵方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024， ∴x﹣2＝2024， 解得：x＝2026， 故选：C． 16．（2026•朝阳区校级二模）若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的解，则代数式11﹣4a﹣2b的值是　9　 ． 【答案】9． 【分析】根据一元二次方程根的定义，将x＝2代入原方程，求出4a+2b的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【解答】解：由条件可得：a•22+b•2﹣2＝0， 整理得 4a+2b＝2， ∴11﹣4a﹣2b＝11﹣（4a+2b）＝11﹣2＝9． 故答案为：9． 17．（2026春•寿县月考）已知m是关于x的一元二次方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，求代数式的值． 【答案】2025． 【分析】由m是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根可得m2﹣2025m＝m﹣1，m2+1＝2026m，，然后逐步代入求解即可． 【解答】解：由条件可知m2﹣2026m+1＝0． ∴m2﹣2025m＝m﹣1，m2+1＝2026m， ∵m＝0时，方程左边等于1，不等于右边， ∴m≠0， 把m2+1＝2026m的两边都除以m得，． ∴． 18．（2026春•西湖区校级月考）已知a是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根． （1）求2a2+2a的值； （2）求a3﹣2a+2026的值． 【答案】（1）2； （2）2025． 【分析】（1）根据a是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根，得到a2+a＝1，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可． 【解答】解：（1）由条件可知a2+a﹣1＝0， ∴a2+a＝1， ∴2a2+2a＝2（a2+a）＝2； （2）由条件可知a2＝1﹣a， ∴a3﹣2a+2026＝a•a2﹣2a+2026 ＝a•（1﹣a）﹣2a+2026 ＝a﹣a2﹣2a+2026 ＝﹣a2﹣a+2026 ＝﹣（a2+a）+2026 ＝﹣1+2026＝2025． 四．解一元二次方程-配方法（共7小题） 19．（2026•龙海区校级模拟）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0时，配方后的等式为（　　） A．（x+1）2＝2 B．（x+1）2＝4 C．（x+2）2＝2 D．（x+2）2＝4 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，整理即可得到结果． 【解答】解：原方程移项得x2+2x＝3， 一次项系数为2，其一半的平方为12＝1，等式两边同时加1得x2+2x+1＝3+1， 整理得（x+1）2＝4． 故选：B． 20．（2026春•柯桥区期中）将一元二次方程x2﹣6x＝1配方，得到方程x2﹣6x+▲＝1+▲，其中“▲”表示的数是（　　） A．3 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据配方法的步骤作答即可． 【解答】解：根据配方法的步骤可知：一次项系数一半的平方为（）2＝9， ∴配方时方程两边需同时加上9， 即“▲”表示的数是9． 故选：C． 21．（2026春•钱塘区校级期中）将一元二次方程x2﹣4x﹣2024＝0转化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】利用配方法求解即可． 【解答】解：x2﹣4x﹣2024＝0， x2﹣4x＝2024， x2﹣4x+4＝2024+4， （x﹣2）2＝2028， ∵一元二次方程x2﹣4x﹣2024＝0转化为（x+a）2＝b的形式， ∴a＝﹣2，b＝2028， ∴a+b＝﹣2+2028＝2026． 故选：B． 22．（2026春•新昌县期中）用配方法解方程x2+6x＝7，应在方程两边同时加上　9　 ． 【答案】9． 【分析】当二次项系数为1时，常数项等于一次项系数一半的平方，即可解答． 【解答】解：用配方法解方程x2+6x＝7，应在方程两边同时加上9， 故答案为：9． 23．（2026春•临安区期中）已知关于x的方程x2﹣mx+n＝0通过配方可变形为，则的值为　　 ． 【答案】． 【分析】根据题意，将方程展开即可解决问题． 【解答】解：由得， x2， x20， 所以m， 所以． 故答案为：． 24．（2026春•泰兴市期末）解下列方程： （1）（x﹣1）2﹣4＝0； （2）x2﹣4x＝2． 【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣1； （2），． 【分析】（1）利用直接开平方解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程移项可得： （x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， ∴x1＝3，x2＝﹣1； （2）原方程配方可得： x2﹣4x+4＝2+4， （x﹣2）2＝6， ∴或， ∴，． 25．（2026春•高新区校级期中）解方程： （1）4x2+2＝66； （2）2x2﹣4x﹣5＝0． 【答案】（1）x1＝﹣4，x2＝4； （2）x1，x2． 【分析】（1）将原方程整理，然后利用直接开平方法解方程即可； （2）将原方程整理后利用配方法解方程即可． 【解答】解：（1）4x2+2＝66， 整理得：4x2＝64， 则x2＝16， 直接开平方得：x＝±4， 即x1＝﹣4，x2＝4； （2）2x2﹣4x﹣5＝0， 整理得：2x2﹣4x＝5， 即x2﹣2x， 配方得：x2﹣2x+11， 即（x﹣1）2， 直接开平方得：x﹣1＝±， 解得：x1，x2． 五．解一元二次方程-公式法（共6小题） 26．（2026春•合肥期中）用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a、b、c的值．对于方程﹣4x2+3＝5x，下列叙述正确的是（　　） A．a＝﹣4，b＝5，c＝3 B．a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3 C．a＝4，b＝5，c＝3 D．a＝4，b＝﹣5，c＝﹣3 【答案】B 【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式． 【解答】解：∵﹣4x2+3＝5x ∴﹣4x2﹣5x+3＝0，或4x2+5x﹣3＝0 ∴a＝﹣4，b＝﹣5，c＝3或a＝4，b＝5，c＝﹣3． 故选：B． 27．（2026•福州校级模拟）若关于x的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A．3x2+x﹣5＝0 B．3x2﹣x﹣5＝0 C．x2﹣3x﹣5＝0 D．x2+3x﹣5＝0 【答案】B 【分析】通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程的根为， ∴， ∴﹣b＝1，2a＝6， 解得b＝﹣1，a＝3， ∵b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣5）， ∴c＝﹣5， ∴原方程为3x2﹣x﹣5＝0， 故选：B． 28．（2026春•张店区校级月考）利用公式法解得一元二次方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意，利用公式法即可求解． 【解答】解：由题意得，a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0， ∴， ∵方程3x2﹣11x﹣1＝0的两个根为a，b，且a＞b， ∴a的值为， 故选：D． 29．（2026•鼓楼区校级模拟）定义运算m☆n＝mn2﹣mn﹣1，如4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程2☆x＝0的解为x1，x2　 ． 【答案】x1，x2． 【分析】根据题意列出代数式进行计算即可． 【解答】解：∵m☆n＝mn2﹣mn﹣1，2☆x＝0， ∴2x2﹣2x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝4+8＝12， ∴x， ∴x1，x2． 故答案为：x1，x2． 30．（2026•广东校级二模）解方程：2x2﹣6x+4＝0． 【答案】x1＝2，x2＝1． 【分析】利用公式法解方程即可． 【解答】解：a＝2，b＝﹣6，c＝4， b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×4＝4＞0， x， ∴x1＝2，x2＝1． 31．（2026春•同步）用公式法解下列方程： （1）x2﹣5x﹣6＝0； （2）4x2+9＝12x； （3）； （4）． 【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝6； （2）； （3）； （4）． 【分析】利用公式法依次对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6＝0， Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣6）＝49＞0， 则x， 所以x1＝﹣1，x2＝6； （2）4x2+9＝12x， 4x2﹣12x+9＝0， Δ＝（﹣12）2﹣4×4×9＝0， 则x， 所以； （3）， 10＞0， 则x， 所以； （4）， 4x2﹣x﹣3＝0， Δ＝（﹣1）2﹣4×4×（﹣3）＝49＞0， 则x， 所以． 六．解一元二次方程-因式分解法（共9小题） 32．（2026春•南京校级月考）一元二次方程x（x﹣2）＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2 【答案】C 【分析】根据因式分解法求解即可． 【解答】解：∵原方程为x（x﹣2）＝0， 根据因式分解法求解可得： x＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝0，x2＝2． 故选：C． 33．（2026•岳西县模拟）我们规定一种新运算“★”，其意义为a★b＝a2﹣ab+2，若（2x﹣1）★（x+3）＝11，则x的值为（　　） A．，x2＝﹣5 B．，x2＝5 C．x1＝﹣1， D．x1＝1， 【答案】B 【分析】根据新运算的定义将原式转化为一元二次方程，整理求解即可得到答案． 【解答】解：∵a★b＝a2﹣ab+2， ∴（2x﹣1）★（x+3）＝（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）（x+3）+2， 又∵（2x﹣1）★（x+3）＝11， ∴（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）（x+3）+2＝4x2﹣4x+1﹣（2x2+5x﹣3）+2＝11， 即2x2﹣9x﹣5＝0， （2x+1）（x﹣5）＝0， 解得：，x2＝5， 故选：B． 34．（2026春•绍兴期中）已知一元二次方程2x2+px+q＝0的两个根是3、﹣4，则二次三项式2x2+px+q可分解为（　　） A．（x+3）（x﹣4） B．（x﹣3）（x+4） C．2（x+3）（x﹣4） D．2（x﹣3）（x+4） 【答案】D 【分析】根据方程2x2+px+q＝0的两个根为3，﹣4，可将二次三项式分解因式． 【解答】解：∵一元二次方程2x2+px+q＝0的两个根为3，﹣4， ∴二次三项式2x2+px+q＝2（x﹣3）（x+4）． 故选：D． 35．（2026•山东）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣m）＝0的一个根是10，则另一个根是　2　 ． 【答案】2． 【分析】由（x﹣2）（x﹣m）＝0，可得出x＝2或x＝m，进而可得出方程另一个根是2． 【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣m）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣m＝0， ∴x＝2或x＝m， ∴方程另一个根是2． 故答案为：2． 36．（2026春•上城区校级期中）已知三角形的一条边边长为2，另外两边边长分别是方程x2﹣3x+2＝0的两个解，则这个三角形的周长为　5　 ． 【答案】5． 【分析】利用因式分解法解方程x2﹣3x+2＝0，然后将它们相加并计算即可． 【解答】解：x2﹣3x+2＝0， 因式分解得：（x﹣1）（x﹣2）＝0， 解得：x1＝1，x2＝2， 那么这个三角形的三边长为2，2，1， 则2+2+1＝5， 即这个三角形的周长为5， 故答案为：5． 37．（2026春•高新区校级期末）解方程： （1）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）； （2）（x+2）（x﹣1）＝10． 【答案】（1）x1＝5，； （2）x1＝﹣4，x2＝3． 【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）先把原方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程移项得： 3（x﹣5）2﹣2（5﹣x）＝0，即3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0， ∴（x﹣5）（3x﹣15+2）＝0， 解得：x1＝5，． （2）原方程整理得： x2+x﹣2＝10， ∴x2+x﹣12＝0， （x+4）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝3． 38．（2026春•宁海县校级期中）解方程： （1）x2+6x﹣16＝0； （2）（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）． 【答案】（1）x1＝﹣8，x2＝2； （2）x1，x2＝4． 【分析】（1）依据题意，由x2+6x﹣16＝0，则（x+8）（x﹣2）＝0，从而计算可以得解； （2）依据题意，由（2x﹣3）2＝5（2x﹣3），则（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0，可得（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0，从而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵x2+6x﹣16＝0， ∴（x+8）（x﹣2）＝0． ∴x1＝﹣8，x2＝2； （2）由题意，∵（2x﹣3）2＝5（2x﹣3）， ∴（2x﹣3）2﹣5（2x﹣3）＝0， ∴（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）＝0． ∴2x﹣3＝0或2x﹣8＝0． ∴x1，x2＝4． 39．（2026春•海淀区校级月考）解方程： （1）x2﹣7x+6＝0； （2）（5x﹣1）2+（5x﹣1）＝0． 【答案】（1）x1＝1，x2＝6； （2）x1＝0，． 【分析】（1）利用因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【解答】解：（1）x2﹣7x+6＝0， （x﹣1）（x﹣6）＝0， x﹣1＝0或x﹣6＝0， ∴x1＝1，x2＝6． （2）（5x﹣1）2+（5x﹣1）＝0， （5x﹣1）[（5x﹣1）+1]＝0， （5x﹣1）（5x﹣1+1）＝0， 5x（5x﹣1）＝0， 5x＝0或5x﹣1＝0， ∴x1＝0，． 40．（2026•萧山区校级模拟）小明与小红两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框： 小明： 等号两边同除以（x﹣3）， 得3＝x﹣3， 则x＝6． 小红： 移项得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． 请判断小明与小红的解法是否正确，如果不正确，请写出你的解答过程． 【答案】小明和小红的解法都不正确，解答过程如下： 3（x﹣3）＝（x﹣3）2， 3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， （x﹣3）（3﹣x+3）＝0， （x﹣3）（6﹣x）＝0， 则x﹣3＝0或6﹣x＝0， 所以x1＝3，x2＝6． 【分析】根据因式分解法解一元二次方程的步骤即可解决问题． 【解答】解：由题知， 小明和小红的解法都不正确，解答过程如下： 3（x﹣3）＝（x﹣3）2， 3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， （x﹣3）（3﹣x+3）＝0， （x﹣3）（6﹣x）＝0， 则x﹣3＝0或6﹣x＝0， 所以x1＝3，x2＝6． 七．根的判别式（共10小题） 41．（2026•广州校级二模）一元二次方程x2﹣3x+4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况． 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×4＝﹣7， ∵﹣7＜0， ∴原方程没有实数根． 故选：D． 42．（2026•天山区校级模拟）若关于x的方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【答案】C 【分析】根据题意求得根的判别式Δ＝4+4m＝0即可求解． 【解答】解：关于x的方程x2+2x﹣m＝0， ∵a＝1，b＝2，c＝﹣m， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m， ∵方程有两个相等的实数根， ∴4+4m＝0， 解得：m＝﹣1， 故选：C． 43．（2026•江阳区校级二模）已知关于x的方程ax2+4x﹣2＝0有两个实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a≤2且a≠0 【答案】C 【分析】方程有两个实数根说明是一元二次方程，故二次系数a≠0，再利用判别式Δ≥0列不等式，求出a取值范围即可． 【解答】解：∵ax2+4x﹣2＝0有两个实数根， ∴， Δ＝16+8a≥0， ∴a≥﹣2， 综上：a≥﹣2且a≠0， 故选：C． 44．（2026•广州校级模拟）若5k+20＞0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】先计算方程的判别式，再结合已知条件判断判别式的符号，即可得到根的情况． 【解答】解：由条件可知Δ＝42﹣4×1×（﹣k）＝16+4k＝4（k+4）， ∵5k+20＞0，即5（k+4）＞0， ∴k+4＞0， ∴Δ＝4（k+4）＞0， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 45．（2026•内江）对于实数a、b，定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如：3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程2☆x＝3的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意，得出关于x得方程，再利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为2☆x＝3， 所以2x2﹣2x＝3， 整理得，2x2﹣2x﹣3＝0， 则Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣3）＝28＞0， 所以该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 46．（2026•南山区校级三模）关于x的方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则正整数c的值可以是　1（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一）． 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式得到c的取值范围，结合c是正整数即可写出符合条件的值． 【解答】解：由条件可得Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×c＞0， 整理得16﹣4c＞0，解得c＜4， ∵c是正整数， ∴c的值可以是1或2或3． 故答案为：1（答案不唯一）． 47．（2026•鄄城县三模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+n）x+mn＝0，其中m、n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是　有两个不相等的实数根　 ． 【答案】有两个不相等的实数根． 【分析】先由数轴得出m+n和mn与0的关系，再计算判别式的值即可判断． 【解答】解：由数轴得m＞0，n＜0，m+n＞0， ∴mn＜0， ∴Δ＝（m+n）2﹣4mn＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 48．（2026春•泰兴市期末）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0． （1）若m＝2，求方程的解； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【答案】（1）x1＝1，x2＝4； （2）∵一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0，且a＝1，b＝﹣（2m+1），c＝2m， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×2m ＝4m2+4m+1﹣8m ＝4m2﹣4m+1 ＝（2m﹣1）2， ∵（2m﹣1）2≥0， ∴Δ＝（2m﹣1）2≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据x2﹣（2m+1）x+2m＝0证明Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×2m≥0即可． 【解答】解：（1）当m＝2时，x2﹣（2m+1）x+2m＝0变形为x2﹣5x+4＝0， ∴（x﹣1）（x﹣4）＝0， 解得x1＝1，x2＝4． （2）∵一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0，且a＝1，b＝﹣（2m+1），c＝2m， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×2m ＝4m2+4m+1﹣8m ＝4m2﹣4m+1 ＝（2m﹣1）2， ∵（2m﹣1）2≥0， ∴Δ＝（2m﹣1）2≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根． 49．（2026春•乐清市校级期中）已知一元二次方程ax2+（a﹣2）x+c＝0（a、c为常数，其中a≠0）． （1）若x＝1，求2a+c的值； （2）若a+c＝1，请判别方程根的情况． 【答案】（1）2a+c＝2； （2）方程有两个不相等的实数根，理由如下： 因为c＝1﹣a， 所以Δ＝（a﹣2）2﹣4ac ＝（a﹣2）2﹣4a（1﹣a） ， 因为，即Δ＞0， 所以该方程有两个不相等的实数根． 【分析】（1）将x＝1代入原方程，即可求解； （2）将a+c＝1代入判别式，计算Δ＞0，即可求解． 【解答】解：（1）当x＝1时，原式＝a+a﹣2+c＝0， ∴2a+c＝2； （2）因为c＝1﹣a， 所以Δ＝（a﹣2）2﹣4ac ＝（a﹣2）2﹣4a（1﹣a） ， 因为，即Δ＞0， 所以该方程有两个不相等的实数根． 50．（2025秋•洪湖市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m＝0． （1）求证：此方程有两个实数根； （2）若方程的两根均小于0，求m的取值范围． 【答案】（1）证明：Δ＝（m+1）2﹣4m＝m2+2m+1﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0， ∴此方程有两个实数根； （2）m＞0． 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（m+1），x1x2＝m，据此可得不等式组，解不等式组即可得到答案． 【解答】（1）证明：Δ＝（m+1）2﹣4m＝m2+2m+1﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0， ∴此方程有两个实数根； （2）解：由条件可知x1+x2＝﹣（m+1），x1x2＝m， ∵方程的两根均小于0， ∴， ∴m＞0． 八．根与系数的关系（共10小题） 51．（2026•石家庄二模）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0两个根，则x1x2值为（　　） A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0两个根， 所以x1x2＝﹣5． 故选：B． 52．（2026•西塞山区模拟）关于x的方程x2+4x﹣m＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2+x1x2＝﹣9，则m的值为（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5 【答案】D 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式求解m，最后验证方程有实根即可． 【解答】解：由根与系数的关系可得： ， ， 又因为 x1+x2+x1x2＝﹣9， 将上述结果代入等式得﹣4﹣m＝﹣9， 解得 m＝5， 验证判别式：Δ＝42﹣4×1×（﹣5）＝36＞0，符合方程有两个实数根的条件， 因此m＝5． 故选：D． 53．（2025秋•卢龙县期末）若x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根，且，则b的值为（　　） A．2 B．﹣6 C．2或﹣6 D．6或﹣2 【答案】A 【分析】由题意得到Δ＝b2+8b≥0，x1，x2，再由，得到方程b2+4b＝12，解得b，分别代入Δ＝b2+8b进行检验即可得到答案． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx﹣2b＝0的两个根， ∴Δ＝b2﹣4×（﹣2b）＝b2+8b≥0， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2 ∵， ∴b2+4b＝12， 解得b， 当b＝2时，Δ＝b2+8b＝22+8×2＝20＞0，满足题意， 当b＝﹣6时，Δ＝b2+8b＝（﹣6）2+8×（﹣6）＝﹣12＜0，不满足题意， ∴b＝2， 故选：A． 54．（2026春•南湖区校级期末）已知x1，x2是方程x2+x﹣5＝0的两个实数根，则的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】B 【分析】先利用一元二次方程根的定义对所求式子的高次项降次，再结合一元二次方程根与系数的关系即可计算出结果． 【解答】解：由条件可知，，且由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣1， 对降次：， 对变形得：， 将上述结果代入原式：， 把x1+x2＝﹣1代入得：6×（﹣1）+5＝﹣1， 所以的值为﹣1． 故选：B． 55．（2026•广州校级模拟）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，则代数式（x1+3）（x2+3）的值为　24　 ． 【答案】24． 【分析】根据根与系数的关系可得两根之和与两根之积，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 【解答】解：由根与系数的关系得，， ∴（x1+3）（x2+3）＝x1x2+3（x1+x2）+9＝3+3×4+9＝24． 故答案为：24． 56．（2026春•高新区校级期末）已知不相等的实数a，b满足a2+4a＝12，b2+4b＝12，则代数式的值等于　　 ． 【答案】． 【分析】根据a，b满足a2+4a＝12，b2+4b＝12得出a，b是一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系对称a+b＝﹣4，ab＝﹣12，把变形为，把a+b＝﹣4，ab＝﹣12代入即可得出答案． 【解答】解：由条件可知a，b是一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个不相等的实数根， ∴a+b＝﹣4，ab＝﹣12， ∴ ． 故答案为：． 57．（2026•任城区校级三模）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个实数根x1、x2，且9，则m的值为　0　 ． 【答案】0． 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根得到根的判别式的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将变形后代入建立关于m的方程，求解后根据根的判别式的要求舍去不合理解，得到m的值． 【解答】解：由条件可知根的判别式Δ≥0， Δ＝（2m+3）2﹣4×1•m2＝12m+9≥0， 解得， 由根与系数的关系可得： x1+x2＝﹣（2m+3），， ∵， ∴， 代入得：[﹣（2m+3）]2﹣2m2＝9， 整理得：2m2+12m＝0， 因式分解得：m（m+6）＝0， 解得m1＝0，m2＝﹣6， ∵， ∴m＝﹣6舍去， 故m＝0． 故答案为：0． 58．（2026•大冶市模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣x1x2＝6，求k的值． 【答案】（1）证明：关于x的一元二次方程x2+（k+2）x+k＝0， ∴Δ＝（k+2）2﹣4k ＝k2+4k+4﹣4k ＝k2+4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为﹣4． 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明Δ＞0即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2＝﹣（k+2），x1x2＝k，根据题意，代入x1+x2﹣x1x2＝6，解方程即可得到答案． 【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4k ＝k2+4k+4﹣4k ＝k2+4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2＝﹣（k+2），x1x2＝k， ∴﹣（k+2）﹣k＝6， 解得：k＝﹣4． 59．（2026春•滨江区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1x2＝5，求k的值． （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）； （2）k＝2； （3）． 【分析】（1）根据根的判别式进行求解； （2）根据根与系数的关系进行求解； （3）利用完全平方公式进行变形，然后根据根与系数的关系进行求解． 【解答】解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0， 解得； （2）， 解得k＝2或k＝﹣2（不符合题意，舍去）， ∴k＝2； （3）， 由条件可得， ∴（负值已舍）． 60．（2026春•柯桥区期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，． 材料2：已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根． （1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　2　 ，x1x2＝　　 ． （2）应用探究：已知实数a，b满足：a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+1＝0且a≠b，求a2b+ab2的值． （3）思维拓展：已知实数m，n满足：m2+5m﹣3＝0，4n2+10n﹣3＝0，求的值． 【答案】（1）2，； （2）5； （3）2或． 【分析】（1）利用根与系数的关系，即可求出x1+x2及x1x2的值； （2）根据题意，可得出实数a，b是关于x的一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出a+b＝5，ab＝1，再将其代入a2b+ab2＝ab（a+b）中，即可求出结论； （3）根据题意，可得出m＝2n或m，2n是关于x的一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个实数根，当m＝2n时，可得出原式＝2；当m，2n是关于x的一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个实数根时，利用根与系数的关系，可得出m+2n＝﹣5，m•2n＝﹣3，再将其代入原式中，即可求出结论． 【解答】解：（1）∵一元二次方程3x2﹣6x+1＝0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1x2． 故答案为：2，； （2）∵实数a，b满足：a2﹣5a+1＝0，b2﹣5b+1＝0且a≠b， ∴实数a，b是关于x的一元二次方程x2﹣5x+1＝0的两个实数根， ∴a+b＝5，ab＝1， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝1×5＝5； （3）∵实数m，n满足：m2+5m﹣3＝0，4n2+10n﹣3＝0， ∴m＝2n或m，2n是关于x的一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个实数根． 当m＝2n时，1+1＝2； 当m，2n是关于x的一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个实数根时，m+2n＝﹣5，m•2n＝﹣3， ∴． 综上所述，的值为的2或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $