重难点专题02 一元二次方程的根及根与系数的关系（7大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以根的定义与判别式为基础，韦达定理为核心，构建“概念-应用-综合”三阶方法体系，覆盖7大重难点，突出运算能力与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根的定义|5题|代入验证法、降次代换法|从概念辨析到代数式降次应用| |根求代数式值|7题|代入得参数方程、整体代入法|根的定义延伸至代数式求值| |根的情况判断|9题|判别式法、二次项系数不为0|从判别式计算到根的存在性分析| |两根求代数式值|9题|韦达定理、代数式转化法|韦达定理基础应用| |已知一根求另一根|4题|韦达定理优先、代入求参法|韦达定理直接应用| |两根关系求参|6题|参数范围限定、关系等式法|韦达定理与根的数量关系结合| |与完全平方公式综合|6题|公式变形、和积代入法|韦达定理高阶综合应用|

重难点专题02 一元二次方程的根及根与系数的关系 重难点一 一元二次方程根的定义 1.将字母的值代入方程看方程左右两边是否相等，若相等则为方程的解，反之则不是； 2.将已知根代入方程得等式，利用等式对高次代数式降次代换，不用解方程求值、求参数。 1．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 4．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 5．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 重难点二 利用一元二次方程的根求代数式的值 1.将一元二次方程的一根代入方程得到参数的方程； 2.解方程或整体代入即可求解。 1．若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 2．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．已知是的一个根，则m的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 4．关于x的一元二次方程的一个解为，则实数t的值是（   ） A．6 B．4 C．3 D．0 5．已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 6．若是方程的一个根，则的值为__________． 7．已知是方程的一个实数根，则代数式的值为 __． 重难点三 判断一元二次方程根的情况 1.先保证二次项系数不为0； 2.计算判别式；若，则有两不等实根；若0，则有两相等实根，若则无实根； 3.有实根需满足. 1．下列方程中有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法判断 3．定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 5．一元二次方程________实数根（填“有”或“没有”）． 6．若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 7．直线不经过第一象限，则关于的方程的实数解的个数为___________． 8．用根的判别式判断下列方程根的情况（不用求方程的根）： (1)． (2)． (3)． (4)． 9．已知关于的方程． (1)求证：无论为何实数，此方程总有实数根． (2)若两根异号且负根的绝对值大，求的取值范围． 重难点四 已知一元二次方程的两根求代数式的值 1.先由韦达定理解出两根和、积； 2.把目标代数式通分、拆分，转化为两根和与积的组合式代入计算. 1．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 2．若，是方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 15．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．已知，是一元二次方程的两个实数根，则（） A． B． C． D． 4．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A． B． C．1 D．2025 5．已知实数、分别满足，，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．6或2 6．已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知关于的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．已知方程的两根分别为a和b，则的值是________． 9．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 重难点五 已知一元二次方程的一根求另一根 1.优先用韦达定理两根和，直接减法算另一根； 2.复杂题可代入已知根求参数，再解方程求剩余根。 1．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（    ） A．2 B． C．1 D． 2．已知是关于x的方程的一个根，则方程的另一个根为（   ） A． B．1 C．2 D． 3．已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 4．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一根为____________． 重难点六 利用一元二次方程的两根关系求解 1.先限定锁定参数范围； 2.根据一元二次方程的两根关系互为相反数、倒数、之积为多少、平方和等列出关于参数的等式； 3.结合题干根的数量关系列方程求参，最后回代剔除无效解. 1．若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程的两根之积为，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．1 3．关于x的一元二次方程 有两个正实数根，则k的取值范围为（　　） A．且 B． C． D． 4．关于的方程的两个根的平方和是，则的值是（    ） A．或6 B．2 C．6 D． 5．已知方程的两个根都是整数，则的值有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知方程（a，b为常数，）的两根之和等于两根之积，则b的值为________． 重难点七 根与系数的关系与完全平方公式综合求解 1.牢记变形公式、； 2.所有平方类、差值类式子统一凑完全平方后代入和、积计算. 1．已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．不存在 3．已知的两条直角边，分别是一元二次方程的两个根，且，，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知a，b是方程的两根，则的值为（   ） A．1 B． C．7 D．13 5．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根，且满足等式，则k的值为________． 6．已知一元二次方程的两根分别为、． （1）值为_________； （2）写出一个以、为根的一元二次方程：_________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题02 一元二次方程的根及根与系数的关系 重难点一 一元二次方程根的定义 1.将字母的值代入方程看方程左右两边是否相等，若相等则为方程的解，反之则不是； 2.将已知根代入方程得等式，利用等式对高次代数式降次代换，不用解方程求值、求参数。 1．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 2．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 3．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，通过变形将所求方程转化为与已知方程形式一致的式子，利用已知方程的解来求解新方程的根是解题关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴ ∴． ∴一元二次方程必有一根为． 故选：C． 4．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 5．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 重难点二 利用一元二次方程的根求代数式的值 1.将一元二次方程的一根代入方程得到参数的方程； 2.解方程或整体代入即可求解。 1．若是方程的解，则的值是（     ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可计算出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 将代入原方程得 计算得． 2．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 3．已知是的一个根，则m的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】将代入方程得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵是的一个根， ∴，解得：． 4．关于x的一元二次方程的一个解为，则实数t的值是（   ） A．6 B．4 C．3 D．0 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的定义，方程的解满足方程等式，将已知解代入原方程即可求出参数的值. 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入原方程，得， ∴. 5．已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，则， ∴等式两边同时乘以得，． 6．若是方程的一个根，则的值为__________． 【答案】13 【分析】根据方程的根的定义，将代入原方程可得的值，再将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的一个根， ， ∴， ∴． 7．已知是方程的一个实数根，则代数式的值为 __． 【答案】4 【分析】先把代入方程，再化简，最后整体代入求解． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴， ， ． 重难点三 判断一元二次方程根的情况 1.先保证二次项系数不为0； 2.计算判别式；若，则有两不等实根；若0，则有两相等实根，若则无实根； 3.有实根需满足. 1．下列方程中有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有实数根，将各选项方程整理为一般形式后计算判别式即可判断． 【详解】解：A 选项：方程，，方程无实数根； B 选项：方程，，方程无实数根； C 选项：方程，，方程无实数根； D 选项：整理方程得，，方程有实数根． 2．一元二次方程 的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式与0的大小关系判断根的情况，规则为时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程无实数根． 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，常数项， ， 方程有两个不相等的实数根． 3．定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据新定义将方程整理为标准一元二次方程，通过判别式即可判断根的情况． 【详解】解：根据新定义可知， ∴方程整理为， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 4．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】分类讨论：①当方程是关于的一元一次方程时，②当方程是关于的一元二次方程时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当方程是关于的一元一次方程时， ， 解得， ∴原方程为，，符合题意； ②当方程是关于的一元二次方程时， 且， 解得且． 综上所述，的取值范围是． 5．一元二次方程________实数根（填“有”或“没有”）． 【答案】有 【分析】本题考查了根的判别式，掌握根据根的判别式的情况确定根的情况的方法是解题的关键． 根据根的判别式的值得到，然后根据根的判别式与根的情况的关系进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴该二次方程有实数根． 故答案为：有． 6．若关于的方程没有实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】解：， ， ∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得， ． 7．直线不经过第一象限，则关于的方程的实数解的个数为___________． 【答案】或 【分析】先根据一次函数的图象性质确定的取值范围，再分和两种情况，分别判断方程的类型，进而确定方程实数解的个数． 【详解】解：直线的比例系数，且直线不经过第一象限， 分两种情况讨论方程的解的情况， （1）当时，方程化为，为一元一次方程，有个实数解； （2）当时，方程为一元二次方程， 计算根的判别式， ， ， 可得， 此时一元二次方程有个不相等的实数解． 综上，方程的实数解的个数为或． 8．用根的判别式判断下列方程根的情况（不用求方程的根）： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)有两个不相等的实数根 (2)有两个不相等的实数根 (3)有两个相等的实数根 (4)没有实数根 【分析】（1）（2）先求出的值，再根据根的判别式得出答案即可； （3）（4）整理后求出的值，再根据根的判别式得出答案即可． 【详解】（1）解：，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2），，， ， ∴方程有两个不相等的实数根． （3）解：方程可变形为， ，，， ， ∴方程有两个相等的实数根． （4）解：方程可变形为， ，，， ， ∴方程没有实数根． 9．已知关于的方程． (1)求证：无论为何实数，此方程总有实数根． (2)若两根异号且负根的绝对值大，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)k的取值范围为 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此可证出：无论为何实数，方程总有实数根； （2）根据根与系数的关系列出关于的不等式组，解不等式组可得出答案． 【详解】（1）解：方程中，，，， ， 整理可得：， 无论为何实数，方程有实数根； （2）解：方程两根异号且负根的绝对值大， ， ， 解得：， 的取值范围为． 重难点四 已知一元二次方程的两根求代数式的值 1.先由韦达定理解出两根和、积； 2.把目标代数式通分、拆分，转化为两根和与积的组合式代入计算. 1．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， 即， ∵是方程 的两根， ∴， ∴ ． 2．若，是方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入因式分解后的表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 15．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 【详解】解： ，是一元二次方程的两根，，，， ，， ． 3．已知，是一元二次方程的两个实数根，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若是一元二次方程的两根，则，，求出和的值后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ，， ． 4．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A． B． C．1 D．2025 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义化简所求代数式，再结合根与系数的关系代入求值，掌握一元二次方程根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 是方程 的两个实数根 ∴ 由根的定义得 ， 由根与系数的关系得 ， 对所求式子变形 同理可得 ∴ 原式 代入得原式． 5．已知实数、分别满足，，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．6或2 【答案】C 【分析】分两种情况：当时，实数、是方程的两个解，由一元二次方程根与系数的关系可得，；当时，分别计算即可得出结果． 【详解】解：当时， ∵实数、分别满足，， ∴实数、是方程的两个解， ∴，， ∴ ； 当时，； 综上所述，的值为或2． 6．已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，分式化简求值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系． 将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵方程， ∴两边乘以，得， 即． ∵、分别为方程的两个实数根， ∴，． ∴． 故选：B． 7．已知关于的一元二次方程的两个根为，，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合题目给出的等量关系求解，再验证方程存在两个实根即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，，方程有两个根，， ∴，， 又∵， ∴，解得：， 验证判别式：，符合要求， 故的值为． 8．已知方程的两根分别为a和b，则的值是________． 【答案】 【分析】若，为方程的两个根，则有，，先根据根与系数的关系得到与的值，再展开所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：方程的两根分别为和， 由根与系数的关系可得，， ． 9．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先将原方程整理为一般形式，利用根与系数的关系求出的值，再利用方程根的定义对所求代数式降次，最后代入计算得到结果． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 方程的两个实数根为，， 根据根与系数的关系可得，， 已知， ∴， 解得， ∴， 是方程的根，将代入原方程得， 整理得， 将代入得， 将，，代入所求代数式得 ， ． 重难点五 已知一元二次方程的一根求另一根 1.优先用韦达定理两根和，直接减法算另一根； 2.复杂题可代入已知根求参数，再解方程求剩余根。 1．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：． 2．已知是关于x的方程的一个根，则方程的另一个根为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，由此即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴设另一个根为， ∴， ∴． 3．已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；设方程的两个根为r和，利用根与系数的关系求和与积，解出r后求k. 【详解】解：设方程的两个根为r和， ∴两根之和， ∴， ∴， ∴另一个根为， ∵两根之积， ∴. 故选：C. 4．若是一元二次方程的一个根，则方程的另一根为____________． 【答案】 【分析】设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由于是一元二次方程的根， 则根据根与系数的关系得： 解得：， 即方程的另一个根为． 重难点六 利用一元二次方程的两根关系求解 1.先限定锁定参数范围； 2.根据一元二次方程的两根关系互为相反数、倒数、之积为多少、平方和等列出关于参数的等式； 3.结合题干根的数量关系列方程求参，最后回代剔除无效解. 1．若关于的方程的两根互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的可能取值，再根据方程有两个实根要求判别式非负，筛选出符合条件的的值即可． 【详解】解：设方程两根为，， ∵方程两根互为相反数， ∴， 对于一元二次方程，由根与系数的关系得：， ∴， 解得：，即， ∵要使方程有两个实根， ∴判别式，即， 代入得：， ∴，即， ∵，， ∴． 2．若关于的一元二次方程的两根之积为，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：由题意得， 解得． 3．关于x的一元二次方程 有两个正实数根，则k的取值范围为（　　） A．且 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系，根据方程有两个正实数根，需满足二次项系数非零、判别式非负、根的和与积均为正，进行解答即可． 【详解】解：∵方程有两个正实数根， ∴，即， ， 解得：， 两根之和，两根之积， ∵分子均为正， ∴，即， 综上，， 故选：D． 4．关于的方程的两个根的平方和是，则的值是（    ） A．或6 B．2 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．设方程的两根为，，根据根与系数的关系得，，利用 得到关于 的方程，解方程后验证判别式是否非负． 【详解】解：∵，，且 ， ∴， 即 ， ∴ ， 解得 或 ． 又∵ 方程有实数根， ∴ ． 当 时，， 舍去； 当 时，， ∴ ． 故选：D． 5．已知方程的两个根都是整数，则的值有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 利用根与系数的关系，列出所有整数根对，计算对应的k值． 【详解】解：∵方程的两个根都是整数，且积为，设两个根分别为， ∴所有可能的整数根的组合为：． 又∵根的和， ∴计算各对的和： 其余对的和与上述重复， ∴不同的值为，共4个． 故选：D． 6．已知方程（a，b为常数，）的两根之和等于两根之积，则b的值为________． 【答案】 【分析】根据题意得到方程两根之和与两根之积的表达式，再结合题干给出的等量关系列等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 两根之和为，两根之积为， 根据题意，两根之和等于两根之积，可得： ， ，等式两边同乘得： ， ∴ ． 重难点七 根与系数的关系与完全平方公式综合求解 1.牢记变形公式、； 2.所有平方类、差值类式子统一凑完全平方后代入和、积计算. 1．已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴， 将，代入上式，原式， 故选B． 2．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．不存在 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式变形求解，最后结合判别式验证所得是否符合要求． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， 判别式， 对于任意实数，方程都有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得 , ， ， ， 整理得：， 解得：或， 的值为或1． 3．已知的两条直角边，分别是一元二次方程的两个根，且，，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用完全平方公式，结合已知条件求出两直角边的和与积，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求出和的值． 【详解】解：∵，是直角三角形的直角边， ，． 由，两边平方得：． 将代入上式，得， 解得． ，且， ． ，是一元二次方程的两个根， ∴，． 代入得，， 即，． 4．已知a，b是方程的两根，则的值为（   ） A．1 B． C．7 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式及求代数式的值，由根与系数的关系可得，，再将变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根 ∴，， ∴． 5．已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根，且满足等式，则k的值为________． 【答案】 / 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，先根据方程有两个实数根得到判别式的取值范围，再利用完全平方公式变形已知等式，结合根与系数的关系代入计算，最后验证得到符合条件的的值． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴方程的根的判别式，由根与系数的关系得 ，， 计算判别式得： ， 解得， 对已知等式变形得： ， 由完全平方公式得，代入得： ， 展开整理得：， ∴， ∴， 解得， 经检验，，符合题意． 6．已知一元二次方程的两根分别为、． （1）值为_________； （2）写出一个以、为根的一元二次方程：_________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】（1）由根与系数的关系可得，的值，再根据完全平方公式对所求代数式进行变形，再将，的值整体代入计算即可； （2）设符合条件的方程为，由根与系数的关系可得，的值，答案不唯一，也可以设二次项的系数为其他值，同样方法求解即可． 【详解】解：（1）一元二次方程的两根分别为、， ，， ； （2）由（1）可知，，， 设符合条件的方程为， ，， ，， 符合条件的方程可以为（答案不唯一）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $