专题05 画轴对称的图形暑假预习讲义2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题05 画轴对称的图形 暑假预习讲义 ✺知识框架 基础几何作图：利用轴对称性质，掌握“找点—作点—连线”通用作图法，可画出平面图形的轴对称图形。 坐标系坐标作图：掌握点关于x轴、y轴对称的坐标变换规律，实现数形结合快速作图。 生活镜面对称应用：掌握电子钟、车牌号码的镜面翻转规律，解决课本生活题型。 ✅本节知识点的核心依据是对称轴垂直平分对应点的连线。所有作图题、坐标对称题、镜面成像题，均可通过这一性质统一解决，是初中图形变换的基础必考内容。 ✺学习目标 基础知识： 1.理解轴对称变换的定义与基本性质，掌握轴对称作图的理论依据。 2.熟练记忆平面直角坐标系中点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律。 3.理解镜面对称的成像本质，掌握电子钟、车牌号码的对称规则。 能力提升 1.能规范画出任意平面图形的轴对称图形，能补全残缺轴对称图形。 2.能快速求出对称点坐标，独立完成坐标系内轴对称作图。 3.能正确还原镜面中的真实时间、车牌号码，具备基础图形翻转想象能力。 综合素养 1.养成严谨规范的几何作图习惯，建立数形结合、图形变换的几何思维。 2.感知轴对称图形的几何美感，体会几何知识的生活实用价值，提升图形观察、推理与应用能力。 ✺题型归纳 题型1.画轴对称图形 题型2.车牌号码的镜面对称 题型3.钟表的镜面对称 题型4.电子钟示数的镜面对称 题型5.坐标系中的对称 题型6.坐标与图形变化——轴对称 题型7.线段问题（轴对称综合题） 题型8.面积问题（轴对称综合题） 题型9.角度问题（轴对称综合题） 题型10.其他问题（轴对称综合题） 题型11.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、轴对称变换的定义与性质 1.定义：将一个平面图形沿某条直线翻折，得到另一个与它对称的图形，这个变换叫做轴对称变换。翻折前后的两个图形全等。 2.核心性质：图形形状、大小不变，仅位置发生改变； 对应线段相等，对应角相等； 对称轴垂直平分每一组对应点的连线； 对称轴上的点，对称点为自身。 知识点二、轴对称图形作图步骤 第一步：找关键点：找出图形所有顶点、端点、转折点。 第二步：作对称点：过关键点作对称轴垂线，在对称轴另一侧截取等距点，得到对称点。 第三步：顺次连线：按原图顺序连接对称点，所得图形即为轴对称图形。 知识点三、平面直角坐标系中的轴对称（重点） 已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标规律。 ◉点 P(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为(x,-y) ◉点P(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为(-x,y) 作图方法：求顶点对称坐标 → 描点 → 顺次连线。 知识点四、镜面对称及生活应用 1.成像本质与核心特征 镜面对称本质是以镜面为竖直直线的轴对称变换。 成像规律：上下位置、图形大小保持不变，仅发生左右翻转，镜面成像与实际物体完全全等。 2. 电子钟示数镜面对称规则 对称不变数字：0、1、8，左右翻转后字形无变化； 互变对称数字：6和9互为镜像，翻转后相互替换； 特殊数字：2、3、4、5、7翻转后无规范数字形态，考试题目基本不涉及。 例如：镜面中电子钟显示15:09，根据6、9互换规律，可还原得出真实时间为15:06。 3.车牌号码镜面对称规则 数字规则：与电子钟完全一致，0、1、8翻转不变，6、9翻转互换； 对称大写字母：A、H、I、M、O、T、U、V、W、X、Y为竖直轴对称字母，镜面成像后形态不变。 ✺题型精讲 题型1.画轴对称图形 1．如图，在方格纸上画有2条线段、．如果再画出一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，那么符合题意的线段共有（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．如图，在的方格纸中有一个以格点为顶点的，在图中可画出_____个以格点为顶点的三角形与成轴对称．    3．如图，以虚线为对称轴在网格中画出图形的另一半． 题型2.车牌号码的镜面对称 1．如图所示的是驾驶员在后视镜中看到的后面一辆汽车的车牌号码，则后面汽车的车牌号码是（   ） A．TB209 B．902BT C．209TB D．TB902 2．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 3．一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式？”很长时间没人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这个问题．你知道她是怎么做的吗？ 题型3.钟表的镜面对称 1．小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 2．从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A． B． C． D． 3．在镜子中看到时钟显示的是，则实际时间是______． 题型4.电子钟示数的镜面对称 1．电子钟示数“”在平面镜中的像为（    ） A． B． C． D． 2．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 3．某人在照镜子时，从镜中看到后面墙上有一个五位数88018，请问原来墙上真正的数应为_____． 题型5.坐标系中的对称 1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．点关于x轴对称的点的坐标是________． 3．在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点B关于x轴的对称点为点C．若点A的坐标为，请你在如图所示的直角坐标系中画出，设与y轴的交点为D，求的值． 题型6.坐标与图形变化——轴对称 1．已知点，那么点P关于x轴对称的的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．已知点与点关于轴对称，则______． 3．已知点与点关于轴对称，求的值． 题型7.线段问题（轴对称综合题） 1．某区计划在公路旁修建一座新能源汽车充电站，使充电站到、两个小区之间的距离之和最短的方案是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，，P为线段上一动点，E是上一定点，F是线段上一动点，则当取最小值6时，的长为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)在轴上找一点，连接、，使得周长最小．（保留作图痕迹） 题型8.面积问题（轴对称综合题） 1．如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 2．如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 3．如图，在每个小正方形的边长均为个单位长度的方格纸中，有和直线，点，，均在小正方形的顶点（网格点）上．    (1)在方格纸中画出，使与关于直线对称； (2)在方格纸的网格点中找一点，使得，连接，，并求出的面积． 题型9.角度问题（轴对称综合题） 1．如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为________． 3．如图，，O为内部的一点，连接． (1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：M，C，N三点在同一条直线上． 题型10.其他问题（轴对称综合题） 1．如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）__________； （2）当的周长最小时，的度数为__________． 2．如图，△ABC中，已知点A（－2，0），B（3，2），C（2，4）． (1)作出△ABC关于y轴对称的（其中点分别是点A，B，C的对称点），并写出点的坐标． (2)若直线l过点（0，－1）且直线l垂直于y轴，作出△ABC关于直线l对称的（其中点分别是点A，B，C的对称点），并写出点的坐标． (3)观察猜想：和的数量关系和位置关系是___．（直接写出答案） 3．如图，在四边形ABCD中，，，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． ✺巩固测试 一、单选题 1．小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(    )    A．   B．   C．   D．     2．如图，在的正方形网格中，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（   ） A．16个 B．12个 C．10个 D．6个 3．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 二、填空题 6．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：    ，实际时间是___________． 7．某人在照镜子时，从镜中看到后面墙上有一个五位数88018，请问原来墙上真正的数应为_____． 8．已知点与点关于轴对称，则________． 9．欢欢用四块相同的三角板拼成了如图所示的形状，图中与_______（填序号）成轴对称，整个图形共有_____条对称轴． 10．如图，点关于、的对称轴分别为、，连接，交于，交于．，求________．    三、解答题 11．作图题：（不写作法）． 已知：如图所示．求作： (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上求作一点，使最小． 12．如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的， (2)连接、，直接写出四边形的面积． 13．如图，已知与关于直线成轴对称，， (1)当时，求的度数； (2)若，，则的面积为________. 14．如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的值最小． (3)找到格点，连接，满足与平行且相等． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 画轴对称的图形 暑假预习讲义 ✺知识框架 基础几何作图：利用轴对称性质，掌握“找点—作点—连线”通用作图法，可画出平面图形的轴对称图形。 坐标系坐标作图：掌握点关于x轴、y轴对称的坐标变换规律，实现数形结合快速作图。 生活镜面对称应用：掌握电子钟、车牌号码的镜面翻转规律，解决课本生活题型。 ✅本节知识点的核心依据是对称轴垂直平分对应点的连线。所有作图题、坐标对称题、镜面成像题，均可通过这一性质统一解决，是初中图形变换的基础必考内容。 ✺学习目标 基础知识： 1.理解轴对称变换的定义与基本性质，掌握轴对称作图的理论依据。 2.熟练记忆平面直角坐标系中点关于x轴、y轴对称的坐标变化规律。 3.理解镜面对称的成像本质，掌握电子钟、车牌号码的对称规则。 能力提升 1.能规范画出任意平面图形的轴对称图形，能补全残缺轴对称图形。 2.能快速求出对称点坐标，独立完成坐标系内轴对称作图。 3.能正确还原镜面中的真实时间、车牌号码，具备基础图形翻转想象能力。 综合素养 1.养成严谨规范的几何作图习惯，建立数形结合、图形变换的几何思维。 2.感知轴对称图形的几何美感，体会几何知识的生活实用价值，提升图形观察、推理与应用能力。 ✺题型归纳 题型1.画轴对称图形 题型2.车牌号码的镜面对称 题型3.钟表的镜面对称 题型4.电子钟示数的镜面对称 题型5.坐标系中的对称 题型6.坐标与图形变化——轴对称 题型7.线段问题（轴对称综合题） 题型8.面积问题（轴对称综合题） 题型9.角度问题（轴对称综合题） 题型10.其他问题（轴对称综合题） 题型11.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、轴对称变换的定义与性质 1.定义：将一个平面图形沿某条直线翻折，得到另一个与它对称的图形，这个变换叫做轴对称变换。翻折前后的两个图形全等。 2.核心性质：图形形状、大小不变，仅位置发生改变; 对应线段相等，对应角相等; 对称轴垂直平分每一组对应点的连线; 对称轴上的点，对称点为自身。 知识点二、轴对称图形作图步骤 第一步：找关键点：找出图形所有顶点、端点、转折点。 第二步：作对称点：过关键点作对称轴垂线，在对称轴另一侧截取等距点，得到对称点。 第三步：顺次连线：按原图顺序连接对称点，所得图形即为轴对称图形。 知识点三、平面直角坐标系中的轴对称（重点） 已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标规律。 ◉点 P(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标为(x,-y) ◉点P(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标为(-x,y) 作图方法：求顶点对称坐标 → 描点 → 顺次连线。 知识点四、镜面对称及生活应用 1.成像本质与核心特征 镜面对称本质是以镜面为竖直直线的轴对称变换。 成像规律：上下位置、图形大小保持不变，仅发生左右翻转，镜面成像与实际物体完全全等。 2. 电子钟示数镜面对称规则 对称不变数字：0、1、8，左右翻转后字形无变化； 互变对称数字：6和9互为镜像，翻转后相互替换； 特殊数字：2、3、4、5、7翻转后无规范数字形态，考试题目基本不涉及。 例如：镜面中电子钟显示15:09，根据6、9互换规律，可还原得出真实时间为15:06。 3.车牌号码镜面对称规则 数字规则：与电子钟完全一致，0、1、8翻转不变，6、9翻转互换； 对称大写字母：A、H、I、M、O、T、U、V、W、X、Y为竖直轴对称字母，镜面成像后形态不变。 ✺题型精讲 题型1.画轴对称图形 1．如图，在方格纸上画有2条线段、．如果再画出一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，那么符合题意的线段共有（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】分别以线段为对称轴，线段为对称轴，线段的垂直平分线为对称轴，线段的垂直平分线为对称轴，画线段可得轴对称图形． 【详解】解；如图，符合题意的线段有，共4条． 2．如图，在的方格纸中有一个以格点为顶点的，在图中可画出_____个以格点为顶点的三角形与成轴对称．    【答案】5 【分析】解答此题首先找到对称轴，等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可． 本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键． 【详解】解：与成轴对称且以格点为顶点三角形有、共5个，     如图：    故答案为：5． 3．如图，以虚线为对称轴在网格中画出图形的另一半． 【答案】 【分析】先确定原图形的关键点，找出各关键点关于对称轴m的对称点，再按原图形顺序顺次连接对称点即可得到所求图形． 【详解】解：略． 题型2.车牌号码的镜面对称 1．如图所示的是驾驶员在后视镜中看到的后面一辆汽车的车牌号码，则后面汽车的车牌号码是（   ） A．TB209 B．902BT C．209TB D．TB902 【答案】B 【分析】本题考查了镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，作出对称图形即可得出答案． 【详解】解：根据镜面对称的性质可得：实际车牌号应从右向左读， 后面汽车的车牌号码是． 故选：B． 2．一辆汽车的车牌号在水中的倒影是：，那么它的实际车牌号是_______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面反射的性质；关于倒影，相应的数字应看成是关于倒影下边某条水平的线对称． 【详解】解：实际车牌号是． 故答案为：． 3．一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式？”很长时间没人答出．小兰仅仅拿了一面镜子，就很快解决了这个问题．你知道她是怎么做的吗？ 【答案】小兰利用镜面对称（轴对称），将镜子放在如图位置，镜子中就会得到正确的等式，如图所示， 【详解】略 题型3.钟表的镜面对称 1．小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的． 【详解】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． ∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）． 对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整． 故选：D． 2．从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。 【详解】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：． 故答案为：． 3．在镜子中看到时钟显示的是，则实际时间是______． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称：关于镜面问题动手实验是最好的办法，如果没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 把写在透明纸上，从反面看到即可． 【详解】解：实际时间为． 故答案为． 题型4.电子钟示数的镜面对称 1．电子钟示数“”在平面镜中的像为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，将物体中的数字2左右翻转为5，数字1不变，再将整体顺序左右颠倒，即可得到其在平面镜中的像为． 【详解】解：电子钟示数为“”，在平面镜中的像是． 故选：A． 2．小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 3．某人在照镜子时，从镜中看到后面墙上有一个五位数88018，请问原来墙上真正的数应为_____． 【答案】81088 【分析】题考查了镜面反射的性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出：实际五位数为81088， 故答案为：81088． 题型5.坐标系中的对称 1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点关于x轴的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点关于x轴的对称点的坐标为． 2．点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数作答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 3．在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点B关于x轴的对称点为点C．若点A的坐标为，请你在如图所示的直角坐标系中画出，设与y轴的交点为D，求的值． 【答案】见解析，． 【分析】本题考查了轴对称的性质． 根据轴对称的性质得到点B、点C的坐标，连接交y轴于点D，连接，，可知点D的坐标为，求出，，即可求出的值． 【详解】解：∵点A的坐标为，点A关于y轴的对称点为点B， ∴点B的坐标为， ∵点B关于x轴的对称点为点C， ∴点C的坐标为． 如图所示，连接交y轴于点D，连接，，则点D的坐标为， 由图可知 ，，，， ∴，， ∴． 题型6.坐标与图形变化——轴对称 1．已知点，那么点P关于x轴对称的的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的对称规律，用到关于x轴对称的点的坐标性质：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，直接根据性质求解即可． 【详解】解：∵点坐标为，关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 2．已知点与点关于轴对称，则______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解： 点与点关于轴对称， ，， ． 3．已知点与点关于轴对称，求的值． 【答案】 【分析】直接利用关于轴对称点的性质得出的值． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ． 题型7.线段问题（轴对称综合题） 1．某区计划在公路旁修建一座新能源汽车充电站，使充电站到、两个小区之间的距离之和最短的方案是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称的性质，结合两点之间，线段最短，即可求解． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 根据两点之间，线段最短，可知选项中的汽车充电站到、两个小区之间的距离之和最短． 2．如图，在中，，，，，P为线段上一动点，E是上一定点，F是线段上一动点，则当取最小值6时，的长为______． 【答案】24 【分析】本题考查垂线段最短，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，先根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质推导，再根据垂线段最短得出的最小值即为中边上的高，从而运用等面积法求出的长．推导“的最小值即为中边上的高”是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，， ∴点D是的中点， ∴垂直平分， ∴，， 由垂线段最短可知，当点C、P、F三点共线，且所在直线垂直时，取最小值6， 此时，且垂直，即是中边上的高， ∴此时，， 即， 解得：． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)在轴上找一点，连接、，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题和一次函数的应用，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 分别作出点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到，即为所求； 连接交轴于点，连接，根据两点之间线段最短可知，此时最短，所以的周长最小． 【详解】（1）解：如下图所示，分别作出点、、关于轴的对称点、、， 连接点、、，得到， 即为所求； （2）解：如下图所示，连接交轴于点，连接， 此时的周长最小， 理由如下： 点、关于轴对称， 轴是的垂直平分线， ， ， 根据两点之间线段最短，可知当点、、在同一条直线上时，最短． 题型8.面积问题（轴对称综合题） 1．如图，点P为内部任意一点，点P、关于对称，点P、关于对称,，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 连接，，根据轴对称的性质得到，，，求出，根据面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， 点P、关于对称，点P、关于对称，， ，，， ， 的面积， 故答案为：． 2．如图，在中，，，点A关于的对称点为，点B关于的对称点为，点C关于的对称点为． (1)在图中画出； (2)若的面积为，则的面积是______． 【答案】(1) 即为所求． (2) 【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作点A关于的对称点为，即过点A向引垂线并倍长得到对称点，其他点同理作图即可． （2）设交于点，延长交于点，根据轴对称的性质可得，，，，则与关于点成中心对称，可得，，，，进而可得．根据三角形的面积公式可得，则可得的面积． 【详解】（1）略 （2）设交于点，延长交于点， 点关于的对称点为， ，． 点关于的对称点为， ， 点关于的对称点为， ， 与关于点成中心对称， ，， ，， ． 的面积为， ， 的面积是． 故答案为：． 3．如图，在每个小正方形的边长均为个单位长度的方格纸中，有和直线，点，，均在小正方形的顶点（网格点）上．    (1)在方格纸中画出，使与关于直线对称； (2)在方格纸的网格点中找一点，使得，连接，，并求出的面积． 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析，． 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点关于的对称点即可； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）如图，为所作；    （2）点的位置如图所示，且， ． 【点睛】此题考查了作图——轴对称变换：先确定图形的关键点，再利用轴对称性质作出关键点的对称点，然后按原图形中的方式顺次连接对称点，也考查了勾股定理，解题的关键是准确找出对应点位置． 题型9.角度问题（轴对称综合题） 1．如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质；由轴对称图形的性质可得，进而结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：与关于直线成轴对称， ， ，， ， ， ，与关于直线成轴对称， ， ， ． 故选：C． 2．如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查利用成轴对称的特征进行求解，作点关于的对称点，关于的对称点，连接与的交点即为所求的点、，利用三角形的内角和定理和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，则：． ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最短， 连接与的交点即为所求的点、，如图： ∵， ∴三点共线，三点共线， ， 由轴对称的性质得： 故答案为：． 3．如图，，O为内部的一点，连接． (1)作线段关于直线对称的线段，分别是；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：M，C，N三点在同一条直线上． 【答案】(1) 解：图形如图所示： (2) 证明：∵关于对称， ， ∵关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴共线． 【分析】（1）根据要求作出图形， （2）证明即可， 本题考查轴对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 【详解】（1）略 （2） 略 题型10.其他问题（轴对称综合题） 1．如图，在四边形中，，，点E，F分别是线段、上的动点． （1）__________； （2）当的周长最小时，的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，四边形内角和为，三角形外角的性质． （1）利用四边形内角和为，即可作答； （2）首先作点关于，的对称点，，延长到点，根据轴对称的性质可得，，，，由“两点之间线段最短”可知当，，，四点共线时，的周长最小，由四边形内角和为可得，再由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，进行角的和差计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图，作点关于，的对称点，，延长到点， 则，，，， 的周长， 当，，，四点共线时，的周长最小， ，， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 2．如图，△ABC中，已知点A（－2，0），B（3，2），C（2，4）． (1)作出△ABC关于y轴对称的（其中点分别是点A，B，C的对称点），并写出点的坐标． (2)若直线l过点（0，－1）且直线l垂直于y轴，作出△ABC关于直线l对称的（其中点分别是点A，B，C的对称点），并写出点的坐标． (3)观察猜想：和的数量关系和位置关系是___．（直接写出答案） 【答案】(1)作图见解析；，， (2)作图见解析；，， (3)=，∥ 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△ABC关于y轴对称的，进而写出点的坐标； （2）根据轴对称的性质即可作出△ABC关于直线l对称的，进而写出点的坐标； （3）结合(1) (2)所画图形即可得和的数量关系和位置关系． 【详解】（1）△ABC关于y轴对称的如图所示；的坐标为：，，； （2）△ABC关于直线l对称的如图所示；的坐标为：，，； （3）结合图像可以看出，和的数量关系和位置关系：=，∥． 【点睛】本题考查了轴对称变换作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 3．如图，在四边形ABCD中，，，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点A关于CD的对称点H，作点A关于CB的对称点G，连接GH，与CD、CB分别相交于点F、点E，此时的周长最小，通过三角形的内角和定理，可求出∠G+∠H的度数，进而求出∠AEF+∠AFE的度数．最后即可求出的度数． 【详解】 如图，作点A关于CD的对称点H，作点A关于CB的对称点G，连接GH，与CD、CB分别相交于点F、点E； ∵∠BAD=140°， ∴∠G+∠H=180°-140°=40°， ∵点G和点H为点A的对称点， ∴AD=DH，AB=GB， ∵∠EBA=∠FDA=90°，即FD⊥AH，EB⊥AG， ∴FH=FA，EA=EG， ∴∠H=∠FAD，∠G=∠EAB， ∵∠AEF=∠G+∠EAB=2∠G，∠AFE=∠H+∠FAD=2∠H， ∴=180°-（2∠G+2∠H）=100°， 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用轴对称确定最短路径问题，熟练地掌握用轴对称图形的作法，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质是解题的关键． ✺巩固测试 一、单选题 1．小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(    )    A．   B．   C．   D．     【答案】D 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有D与原图形成镜面对称． 故选：D． 2．如图，在的正方形网格中，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（   ） A．16个 B．12个 C．10个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故选：D 3．小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，利用轴对称的性质解答． 【详解】解：∵为镜像显示的时间， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵1、0的对称数字为1、0；2的对称数字是5；镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是， 故选：A 4．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律，利用“关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可求解． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数， 已知点， ∴点关于轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即． 5．如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称--最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，求出的长可得结论． 【详解】解：连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值， ， ， 故选：A． 二、填空题 6．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：    ，实际时间是___________． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质——镜面对称解答即可． 【详解】解：根据平面镜成像原理及轴对称图形的性质可知实际时间为； 故答案为： 【点睛】本题实际上考查轴对称图形的性质，解题的关键是理解镜面对称是指在平面镜中的像与现实中的事物刚好顺序相反；且关于镜面对称解答这类关于数字在镜中成像问题的一般方法是画出平面镜中的图像的对称图形，再读出对称图形的时间，所得即是所求． 7．某人在照镜子时，从镜中看到后面墙上有一个五位数88018，请问原来墙上真正的数应为_____． 【答案】81088 【分析】题考查了镜面反射的性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出：实际五位数为81088， 故答案为：81088． 8．已知点与点关于轴对称，则________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，求出，的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ． 9．欢欢用四块相同的三角板拼成了如图所示的形状，图中与_______（填序号）成轴对称，整个图形共有_____条对称轴． 【答案】 和 【分析】本题考查了轴对称和轴对称图形，如果两个图形沿着每条直线折叠后，两个图形可以完全重合，那么这两个图形关于这条直线轴对称；如果一个图形沿着某条直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线就是对称轴．解决本题的关键是根据轴对称和轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：根据轴对称的定义可知与成轴对称、知与成轴对称； 如下图所示，整个图形共有条对称轴． 故答案为：和； ． 10．如图，点关于、的对称轴分别为、，连接，交于，交于．，求________．    【答案】/88度 【分析】首先求出证明，，，推出，可得结论． 【详解】解：∵关于、的对称轴分别为、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题 11．作图题：（不写作法）． 已知：如图所示．求作： (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上求作一点，使最小． 【答案】(1)解：即为所求； ； (2)解：如图，点即为所求； 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，再由图象写出坐标即可； （2）作点关于对称点，连接，与轴相交于点，由，即可推出点为所求点． 【详解】（1）略 （2）略 12．如图，已知在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的， (2)连接、，直接写出四边形的面积． 【答案】(1) 如图，即为所作图形； (2)35 【分析】本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换及面积计算，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征以及利用割补法求面积． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，找到、、的对称点，再连接成三角形； （2）利用割补法求面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接、， 四边形的面积为：． 13．如图，已知与关于直线成轴对称，， (1)当时，求的度数； (2)若，，则的面积为________. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，解题的关键是掌握对称的性质． （1）根据对称的性质可得，再根据三角形的内角和即可求解； （2）根据对称的性质可得，，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：与关于直线成轴对称， ， ， ; （2）与关于直线成轴对称， ，，即， ， ， 故答案为：． 14．如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的值最小． (3)找到格点，连接，满足与平行且相等． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，点P即为所求； (3)如图，点、即为所求； 【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）连接交于点P，则点P即为所求； （3）根据格点特点找出符合条件的点D即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小； （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $