第15讲 用提公因式法分解因式（暑假预习）2026-2027学年人教版八年级数学上册

第15讲 用提公因式法分解因式 （3大考点4大题型） 学习目标 1.理解因式分解的定义和概念，能够识别出因式分解的结果。 2.掌握公因式的概念，掌握提公因式法的解法。(重点） 3.理解并灵活选用提公因式法解决实际问题.(重点、难点） 考点整理 一、定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式． 二、因式分解结果的要求： 因式分解结果的标准形式 常见典型错误或者不规范形式 符合定义，结果一定是乘积的形式 既约整式，不能含有中括号 最后的因式的不能再次分解 单项式因式写在多项式因式的前面 相同的因式写成幂的形式 每个因式第一项系数一般不为负数 每个因式第一项系数一般不为分数 因式中不能含有分式 因式中不能含有无理数 三、因式分解基本解法： “一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法． ①提取公因式法 几个整式都含有的因式称为它们的公因式． 例如： 把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体． ②公式法 因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉． 平方差公式 完全平方公式： 立方差公式： 立方和公式： 三项完全平方公式： 完全立方公式： 题型归纳 【题型1 判断是否是因式分解】 1．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义：因式分解是将多项式变形为几个整式乘积的形式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式和的形式，不是因式分解，不符合题意； B、右边是和的形式，不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、右边是和的形式，不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、将多项式变形为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义，符合题意． 2．下列从左到右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解； B．右边含分式，不是整式，不属于因式分解； C．左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义． D．右边是和的形式，不是几个整式的积，不属于因式分解． 3．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 选项A中，左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解定义，错误； 选项B中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解定义，正确； 选项C中，右边是差的形式，不是整式乘积，不符合定义，C错误； 选项D中，变形是整式乘法，将乘积化为多项式，与因式分解变形方向相反，不符合定义，D错误. 4．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义，解题关键是掌握因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形就是因式分解，根据概念逐一判断选项即可． 【详解】∵ 因式分解要求左边是多项式，右边是几个整式的积的形式， 选项A：左边是单项式，不是多项式，不符合题意； 选项B：右边是和的形式，不是整式的积，不符合题意； 选项C：是整式乘法，从积化为多项式，不是因式分解，不符合题意； 选项D：左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，正确． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 5．若将多项式因式分解得，则的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先将因式分解后的乘积展开，根据多项式相等时对应系数相等，即可求解的值． 【详解】解：展开右侧的因式乘积： ， 又， 两个多项式对应系数相等，常数项满足， 解得：． 6．若多项式可因式分解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用多项式乘多项式法则展开因式分解后的式子，根据多项式相等对应系数相等求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， ∴． 7．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 【答案】C 【分析】通过展开等式右侧乘积，对比左右两边即可求出被盖住的数字． 【详解】设，，则， ， ， 解得， 所以式子中的，处对应的两个数字分别是16和2． 8．若将多项式因式分解得，则的值为______． 【答案】 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， ． 【题型3 公因式】 9．多项式，则各项的最大公因式是________． 【答案】/ 【分析】本题考查多项式最大公因式的求解，按照先找系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到结果． 【详解】解：多项式的各项系数为，其绝对值的最大公约数是． 各项都含有的字母为，只出现在第二项中，因此公因式不含．的最低次幂是，的最低次幂是． 因此该多项式各项的最大公因式为． 10．多项式的公因式是__________． 【答案】 【分析】本题根据公因式的定义，先计算多项式各项系数的最大公约数，再提取各项共有的相同字母的最低次幂，两者乘积即为所求公因式． 【详解】解：， 因此多项式的公因式为． 11．对分解因式 找公因式，系数6和12的最大公约数是( )，相同字母是x、y，x的最低次是( )，y的最低次是( )，所以公因式是( )； 提公因式，原式( )； 检查，括号内( )没有公因式，也不能用其他方法继续分解，结果正确． 【答案】 6 2 1 【分析】根据公因式的确定方法：公因式的系数，应取各项系数的最大公约数；字母取各项相同字母，且字母的指数取最小的，因式分解是分解到不能分解为止 【详解】解：找公因式，系数6和12的最大公约数是6，相同字母是x、y，x的最低次是2，y的最低次是1，所以公因式是； 提公因式，原式=； 检查，括号内没有公因式，也不能用其他方法继续分解，结果正确． 12．把多项式分解因式，应提取的公因式是___． 【答案】 【分析】公因式确定规则为：先确定各项系数的最大公因数，再确定各项共有的相同字母，最后确定相同字母的最低次幂，三者乘积即为公因式． 【详解】解：多项式中，系数和的最大公因数为，两项都含有的相同字母为，的最低次幂为， 因此公因式为． 【题型4 提公因式法分解因式】 13．分解因式的结果是______． 【答案】 【详解】解：． 14．已知，，则______． 【答案】 【分析】先将因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：，， ． 15．因式分解：______． 【答案】 【分析】先提出公因式x，再分组提公因式解答． 【详解】解：原式 ， ． 16．若，则________． 【答案】 【分析】先将移项为，再运用提公因式的方法求代数式的值即可． 【详解】∵， ∴，， ∴ ． 17．因式分解：________________． 【答案】 【详解】解： ． 18．已知，，则的值为________． 【答案】 【分析】把所求代数式因式分解为，再代入求值即可． 【详解】∵，， ∴． 19．已知，，则代数式的值为____________． 【答案】 【分析】根据题意可求出，利用提公因式法把所求式子因式分解为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴ ． 20．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】首先观察多项式各项，确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，两者相乘得到公因式；因为因式分解提公因式法的规则是将公因式提取到括号外，所以用多项式的每一项分别除以公因式，将得到的结果作为括号内的因式，整理后完成分解；如果多项式首项系数为负，那么先提取负号，使括号内首项系数为正，再对剩余部分提取公因式． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 用提公因式法分解因式 （3大考点4大题型） 学习目标 1.理解因式分解的定义和概念，能够识别出因式分解的结果。 2.掌握公因式的概念，掌握提公因式法的解法。(重点） 3.理解并灵活选用提公因式法解决实际问题.(重点、难点） 考点整理 一、定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式． 二、因式分解结果的要求： 因式分解结果的标准形式 常见典型错误或者不规范形式 符合定义，结果一定是乘积的形式 既约整式，不能含有中括号 最后的因式的不能再次分解 单项式因式写在多项式因式的前面 相同的因式写成幂的形式 每个因式第一项系数一般不为负数 每个因式第一项系数一般不为分数 因式中不能含有分式 因式中不能含有无理数 三、因式分解基本解法： “一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法． ①提取公因式法 几个整式都含有的因式称为它们的公因式． 例如： 把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体． ②公式法 因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉． 平方差公式 完全平方公式： 立方差公式： 立方和公式： 三项完全平方公式： 完全立方公式： 题型归纳 【题型1 判断是否是因式分解】 1．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列从左到右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 5．若将多项式因式分解得，则的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．若多项式可因式分解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（    ） A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1 8．若将多项式因式分解得，则的值为______． 【题型3 公因式】 9．多项式，则各项的最大公因式是________． 10．多项式的公因式是__________． 11．对分解因式 找公因式，系数6和12的最大公约数是( )，相同字母是x、y，x的最低次是( )，y的最低次是( )，所以公因式是( )； 提公因式，原式( )； 检查，括号内( )没有公因式，也不能用其他方法继续分解，结果正确． 12．把多项式分解因式，应提取的公因式是___． 【题型4 提公因式法分解因式】 13．分解因式的结果是______． 14．已知，，则______． 15．因式分解：______． 16．若，则________． 17．因式分解：________________． 18．已知，，则的值为________． 19．已知，，则代数式的值为____________． 20．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 学科网（北京）股份有限公司 $