第2章 2.5 二次函数与幂函数（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

**基本信息** 聚焦二次函数与幂函数，以定义-性质-应用为逻辑主线，融合定义法、分类讨论、参变量分离等方法，实现基础巩固与能力提升的系统训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数基础|单选1-3、填空9|定义法（系数与指数）、单调性比较大小|从幂函数定义（m²-3m+3=1）到单调性（x^α在(0,+∞)增减性）| |二次函数性质|单选4-6、多选8、填空10、解答11|分类讨论（对称轴与区间）、导数判断单调性|从解析式（待定系数法）到最值（区间与对称轴关系）| |综合应用|多选7、13、解答12、14|参变量分离、转化思想（恒成立→最值）|融合函数性质与不等式，构建概念-性质-应用逻辑链|

课时冲关10　二次函数与幂函数 [基础巩固练] 一、单选题 1．若函数为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值为(　　) A．0　　　　　　　 B．1或2 C．1 D．2 解析：C　[由于函数为幂函数， 所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2， 当m＝1时，y＝x－1＝，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意． 当m＝2时，y＝x4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．] 2．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　 ) 解析：C　[令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，∴f(x)＝.] 3．已知函数f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<c<b B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：B　[∵0.40.6<0.60.6<0.60.4， 又y＝f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是单调递减， ∴b<a<c.] 4．如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，那么mn的最大值为(　　) A．16　 B．18 C．25　　 D. 解析：B　[由已知得f′(x)＝(m－2)x＋n－8，又对任意的x∈，f′(x)≤0， 所以 即 由②得m≤(12－n)． ∴mn≤n(12－n)≤2＝18， 当且仅当m＝3，n＝6时取得最大值， 经检验m＝3，n＝6满足①和② 所以(mn)max＝18.] 5．已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[结合题意：函数y＝x2－3x－4＝2－ 所以图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝， 所以f＝－，易知：f(－1)＝f(4)＝0， 由图可知，要使函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为， 则m的取值范围是.] 6．已知m＞1，点(1－m，y1)，(m，y2)，(m＋1，y3)都在二次函数y＝x2－2x的图象上，则(　　) A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＝y3＜y2 D．y2＜y1＝y3 解析：D　[二次函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，其图象的对称轴方程为x＝1， 而(1－m)＋(1＋m)＝2，所以f(1－m)＝f(1＋m)，即y1＝y3， 当x＞1时，f(x)是单调增函数， 因为m＞1，所以m＋1＞m＞1，所以f(m＋1)＞f(m)，即y2＜y3， 综上，y2＜y1＝y3.] 二、多选题 7．已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x＋3)－f(x)＝2f，若y＝f(x－2)的图象关于直线x＝2对称，且对任意的x1，x2∈，且x1≠x2，都有＜0，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数 B．f＝0 C．f(2026)＞0 D．f(x)在上单调递增 解析：ABC　[因y＝f(x－2)的图象关于直线x＝2对称，则y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，故f(x)是偶函数，A正确；令x＝－，则f－f＝2f，即f－f＝2f，因f(x)是偶函数，则－f＝f，则f＝0，故B正确；因f＝0，则f(x＋3)＝f(x)，故3是f(x)的一个周期，故f(2026)＝f(675×3＋1)＝f(1)， 因对任意的x1，x2∈，且x1≠x2，都有＜0，则f(x)在 上单调递减，故f(0)＞f(1)＞f＝0， 故f(2026)＝f(3×675＋1)＞0，C正确；根据对称性可知f(x)在上单调递增， 由周期性可知f(x)在上单调递减，在上单调递增，D错误．] 8．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴是直线x＝－1，且过点(－3,0)，下列说法正确的是(　　) A．abc＜0 B．2a－b＝0 C．3a＋c＝0 D．(－5，y1)，(3，y2)是抛物线上两点，y1＞y2 解析：ABC　[由图知该抛物线开口向上，故a＞0，∵对称轴是直线x＝－1，∴－＝－1， 故b＝2a＞0，即2a－b＝0，故B正确， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，故A正确， 由抛物线对称性得该函数图象必过(1,0)，可得a＋b＋c＝0，结合b＝2a，可得3a＋c＝0，故C正确， 易知点(－5，y1)，(3，y2)到对称轴距离相等，故y1＝y2，故D错误．] 三、填空题 9．若点(2,8)在幂函数f(x)＝axb＋c的图象上，则ab＋c的值为________． 解析：因为f(x)＝axb＋c为幂函数，则a＝1， c＝0，即f(x)＝xb， 又点(2,8)在函数f(x)的图象上， 则2b＝8，解得b＝3， 所以ab＋c＝1×3＋0＝3. 答案：3 10．若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________． 解析：当0≤x＜1时，φ(x)＝x2－mx＋m，此时φ(x)单调递增，则≤0，即m≤0； 当x≥1时，φ(x)＝x2＋mx－m，此时φ(x)单调递增，则－≤1，则m≥－2. 综上，实数m的取值范围是[－2,0]． 答案：[－2,0] 四、解答题 11．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x＋1. (1)求函数f(x)的解析式； (2)当x∈[t，t＋2](t∈R)时，求函数f(x)的最小值g(t)(用t表示)． 解：(1)因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x＋1， 所以 即 所以 解得因此f(x)＝x2＋2. (2)因为f(x)＝x2＋2是图象的对称轴为直线x＝0，且开口向上的二次函数， 当t≥0时，f(x)＝x2＋2在x∈[t，t＋2]上单调递增， 则f(x)min＝f(t)＝t2＋2； 当t＋2≤0，即t≤－2时， f(x)＝x2＋2在x∈[t，t＋2]上单调递减， 则f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2＋2＝t2＋4t＋6； 当t<0<t＋2， 即－2<t<0时，f(x)min＝f(0)＝2， 综上g(t)＝ 12．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈[－1,1]时，f(x)＞2x＋2m＋1恒成立，试确定实数m的取值范围． 解：(1)由题意，函数f(x)是二次函数，且f(0)＝f(2)，可得函数f(x)的对称轴为x＝1， 又由最小值为1，可设f(x)＝a(x－1)2＋1(a≠0)， 又f(0)＝3，即a×(0－1)2＋1＝3，解得a＝2， 所以函数的解析式为f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4＋3. (2)因为当x∈[－1,1]时，f(x)＞2x＋2m＋1恒成立， 即当x∈[－1,1]时，2x2－4x＋3＞2x＋2m＋1恒成立， 即当x∈[－1,1]时，m＜x2－3x＋1恒成立， 设函数g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]， 则g(x)在区间[－1,1]上单调递减， ∴g(x)在区间[－1,1]上的最小值为g(1)＝－1， ∴m＜－1， 故实数m的取值范围为：(－∞，－1)． [能力提升练] 13．[多选]已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中的真命题是(　　) A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上单调递增 B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数 C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称 D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点 解析：AB　[对于选项A，若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在区间[a，＋∞)上单调递增，故A正确；对于选项B，当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|显然是偶函数，故B正确；对于选项C，取a＝0，b＝－2，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|化为f(x)＝|x2－2|， 满足f(0)＝f(2)，但f(x)的图象关于x＝1不对称，故C错误；对于选项D，如图，a2－b－2＞0，即a2－b＞2，则h(x)＝|(x－a)2＋b－a2|－2有4个零点，故D错误．] 14．已知a∈R，函数f(x)＝若对任意x∈[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是________． 解析：①当x∈[－3,0]时，因为f(x)≤|x|恒成立， 所以x2＋2x＋a－2≤－x，参变量分离得a≤－x2－3x＋2， 令y＝－x2－3x＋2＝－2＋， 所以当x＝0或x＝－3时，y取得最小值为2，所以a≤2. ②当x∈(0，＋∞)时，因为f(x)≤|x|恒成立，所以－x2＋2x－2a≤x，参变量分离得a≥－x2＋x， 令y＝－x2＋x＝－2＋， 所以当x＝时，y取得最大值为， 所以a≥. 由①②可得≤a≤2. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $