1.10 有理数除法 学案 2026--2027学年华东师大版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“1.10有理数的除法”，核心知识点涵盖倒数定义、除法法则及除法转化为乘法，通过关联有理数乘法知识，以倒数概念为桥梁搭建学习支架，引导学生理解除法意义与运算逻辑。 资料亮点在于考点分类细致，变式题从基础到综合层层递进，结合长征会师、商品售价等实际情境，培养运算能力与应用意识，分层课后任务及错误辨析设计助力学生自主学习，提升推理意识，扎实掌握知识。

1.10有理数的除法 · 教学目标 1、 理解有理数除法的意义，会求有理数的倒数。 2、 掌握有理数的除法法则，提高运算能力 · 知识点梳理 一、倒数 1、定义：乘积是1的两个数互为倒数 2、注意：①0没有倒数 ②倒数等于它本身的数是±1 二、有理数除法转化为乘法 除以一个数等于乘以这个数的倒数 注意：0不能作除数 三、有理数除法法则 1、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 2、0除以任何一个不等于0的数，都得0 · 考点分类 考点一：求一个数的倒数 例1． 与的关系是（    ） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．乘积为 变式1-1． 下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．与2 B．与 C．与 D．与 变式1-2．有理数的倒数等于本身，那么等于（   ） A． B． C． D． 变式1-3． 1936年10月22日红二、红一方面军胜利会师，宣告着红军长征结束．若有理数a与10互为倒数，则的值为（   ） A． B．4 C． D．105 变式1-4．为任意非零有理数，则的可能取值是（   ） A．或1 B．3或1或 C．1或3 D．或3 变式1-5．若互为相反数，互为倒数，的绝对值为4，则的值为_____． 考点二：有理数除法运算 例2．（    ） A．3 B． C．1.5 D． 变式2-1小明有5张分别写着数字的卡片，从中取出2张卡片，使这2张卡片上数的商最小，则商的最小值是_____． 变式2-2．若算式，则表示的数是________ 变式2-3．观察下列等式(式子中的“！”是一种数学运算符号)：，，，，那么 的值是(   ) A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 变式2-4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式2-5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点三：有理数乘除混运算 例3．计算： (1)； (2)； (3)． 变式3-1．简便计算 (1) (2) 变式3-2．学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 变式3-3. 我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数． 数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 斌斌的解法：原式的倒数为，所以． (1)a的倒数为______； (2)若a、b互为倒数，则______； (3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：． · 课后任务 一、单选题 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．的倒数是（    ） A． B． C． D． 3．一个数的倒数是它本身，这个数是（   ） A．0 B．1 C． D． 4．数轴上表示数的点如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如果，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 6．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D． 7．在100克盐水中含盐，再加入10克盐和90克水后，盐全部融化到盐水里，这时含盐率是（  ） A． B． C． D． 8．某商品打八折后的售价为160元，则该商品的原价为（    ） A．200元 B．240元 C．220元 D．260元 二、填空题 9．已知有理数的相反数是，与互为倒数，则的值为______． 10．如图，是一个“有理数转换器”，当输入的值为8时，则输出的值为___． 11. 有5张分别写着数字的卡片，从中一次性随机取出2张卡片，则最大的乘积是______，最小的商是______． 12．已知，且，则的值为_______． 13．填空： （1）_________；     （2） _________； （3） _________；   （4）_________． 三、解答题 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15 用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 16. 学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目： 计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 聪聪：原式． 明明：原式． (1)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； (2)用你认为最合适的方法计算：． 17．简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.10有理数的除法 · 教学目标 1、 理解有理数除法的意义，会求有理数的倒数。 2、 掌握有理数的除法法则，提高运算能力 · 知识点梳理 一、倒数 1、定义：乘积是1的两个数互为倒数 2、注意：①0没有倒数 ②倒数等于它本身的数是±1 二、有理数除法转化为乘法 除以一个数等于乘以这个数的倒数 注意：0不能作除数 三、有理数除法法则 1、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 2、0除以任何一个不等于0的数，都得0 · 考点分类 考点一：求一个数的倒数 例1． 与的关系是（    ） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．乘积为 【答案】C 【详解】解：因为， 所以，与的关系是互为倒数． 故选：C． 变式1-1． 下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．与2 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：A．，和2不互为倒数，故不符合题意； B．，，和不互为倒数，故不符合题意； C．，和不互为倒数，故不符合题意； D．，和互为倒数，故符合题意． 故选：D． 变式1-2．有理数的倒数等于本身，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：有理数的倒数等于本身，那么等于． 故选：D． 变式1-3． 1936年10月22日红二、红一方面军胜利会师，宣告着红军长征结束．若有理数a与10互为倒数，则的值为（   ） A． B．4 C． D．105 【答案】A 【详解】解：根据有理数与10互为倒数， ∴， 则， 故选：A． 变式1-4．为任意非零有理数，则的可能取值是（   ） A．或1 B．3或1或 C．1或3 D．或3 【答案】D 【详解】解：由题意，分以下四种情况： （1）当，时，， 则， （2）当，时，， 则， （3）当，时，， 则， （4）当，时，， 则， 综上，的可能取值是或3， 故选：D． 变式1-5．若互为相反数，互为倒数，的绝对值为4，则的值为_____． 【答案】2或4 【详解】解：由题意，得：， ∴或； 故答案为：2或4． 考点二：有理数除法运算 例2．（    ） A．3 B． C．1.5 D． 【答案】B 【详解】解：， 故选：B． 变式2-1小明有5张分别写着数字的卡片，从中取出2张卡片，使这2张卡片上数的商最小，则商的最小值是_____． 【答案】 【详解】解：根据题意得，商的最小值是： 故答案为： 变式2-2．若算式，则表示的数是________ 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 变式2-3．观察下列等式(式子中的“！”是一种数学运算符号)：，，，，那么 的值是(   ) A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【详解】解：根据题中的新定义得： 原式， 故选：D． 变式2-4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式2-5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点三：有理数乘除混运算 例3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 变式3-1．简便计算 (1) (2) 【答案】(1)64 (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 变式3-2 学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】(1) 小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； (2)小华的思路正确 (3) 【详解】（1）略 （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 变式3-3. 我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数． 数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题． 斌斌的解法：原式的倒数为，所以． (1)a的倒数为______； (2)若a、b互为倒数，则______； (3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：． 【答案】(1) (2)1 (3)． 【详解】（1）解：a的倒数为：； （2）解：若a、b互为倒数，则； （3）解：的倒数为：， ， ∴． · 课后任务 一、单选题 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的倒数是． 故选：D． 2．的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， 的倒数为， 的倒数为， 故选：D． 3．一个数的倒数是它本身，这个数是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：一个数的倒数是它本身，这个数是． 故选：D． 4．数轴上表示数的点如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得到， ∴，故原选项错误，不符合题意； ，原选项正确，符合题意； ，原选项错误，不符合题意； ，原选项错误，不符合题意； 故选：B ． 5．如果，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】B 【详解】， 则， ， ，， 一定是负数． 故选：B． 6．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】解： ， 故选：B． 7．在100克盐水中含盐，再加入10克盐和90克水后，盐全部融化到盐水里，这时含盐率是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得：． 即这时含盐率是， 故选：B． 8．某商品打八折后的售价为160元，则该商品的原价为（    ） A．200元 B．240元 C．220元 D．260元 【答案】A 【详解】解：∵某商品打八折后的售价为160元， ∴该商品的原价为（元），故A正确． 故选：A． 二、填空题 9．已知有理数的相反数是，与互为倒数，则的值为______． 【答案】/ 【详解】∵有理数的相反数是， ∴， ∵与互为倒数， ∴． 故答案为：． 10．如图，是一个“有理数转换器”，当输入的值为8时，则输出的值为___． 【答案】/0.5 【详解】解：根据题意，， ∴， 取相反数为2，再取倒数为，输出即为， 故答案为：． 11. 有5张分别写着数字的卡片，从中一次性随机取出2张卡片，则最大的乘积是______，最小的商是______． 【答案】 24 【详解】解：从中取出2张卡片，最大的乘积是：； 最小的商是：． 故答案为：24；． 12．已知，且，则的值为_______． 【答案】9 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴或 ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 13．填空： （1）_________；     （2） _________； （3） _________；   （4）_________． 【答案】 0 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：0； （4）． 故答案为：． 三、解答题 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)20 (4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 15. 用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 16. 学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目： 计算：，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 聪聪：原式． 明明：原式． (1)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； (2)用你认为最合适的方法计算：． 【答案】(1) 有，如下 ； (2) 【详解】（1）略 （2）解： ． 17．简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一，计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ． 材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法． ； ； 根据以上材料，完成下列问题： (1)请你根据对材料一的理解，计算：； (2)请你根据对材料二的理解，计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解： ． ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $