第08讲 等腰三角形概念、性质定理及其判定定理 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（浙教版2024）

第08讲 等腰三角形概念、性质定理及其判定定理 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳 理 1 等腰、等边三角形的相关概念 2 等腰、等边三角形的轴对称性 3 等腰三角形的性质定理1及推论 4 等腰三角形的性质定理2 5 等腰三角形的判定定理 6 等边三角形的判定定理 题型巩 固 一、等腰三角形的定义 二、作等腰三角形(尺规作图) 三、等边对等角 四、等边三角形的性质 五、三线合一 六、根据等角对等边证明等腰三角形 七、根据等角对等边证明边相等 八、根据等角对等边求边长 九、格点图中画等腰三角形 十、找出图中的等腰三角形 十一、等腰三角形的性质和判定 十二、等边三角形的判定 十三、等边三角形的判定和性质 分层强 化 一、单选题（10） 二、填空题（6） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1 等腰、等边三角形的相关概念 1.等腰三角形及其相关概念 定义 图示 等腰三角形 有两边相等的三角形叫做等腰三角形. 腰 相等的两条边叫做腰. 底边 另一条边叫做底边. 顶角 两腰的夹角叫做顶角. 底角 腰和底边的夹角叫做底角. 2.等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 等边三角形是特殊的等腰三角形 知识点2 等腰、等边三角形的轴对称性 轴对称性 对称轴的条数 等腰三角形 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴. 1条（只有两腰相等） 等边三角形 等边三角形是轴对称图形，每个内角的平分线所在的直线都是它的对称轴. 3条 知识点3 等腰三角形的性质定理1及推论 性质 几何语言 图示 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等.（或在同一个三角形中，等边对等角） 在 △ABC 中， ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C . 推论 等边三角形的各个内角都等于 60^∘ . ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60^∘ . 知识点4 等腰三角形的性质定理2 1.等腰三角形的性质定理2： 性质定理2 几何语言 图示 等腰三角形 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一. （1）因为 AB=AC ， AD⊥BC ， 所以 AD 平分 ∠BAC ，且 BD=CD . （2）因为 AB=AC , BD=DC ， 所以 AD⊥BC ，且 AD 平分 ∠BAC . （3）因为 AB=AC , AD 平分 ∠BAC ，所以 BD=DC ，且 AD⊥BC . 利用“等腰三角形三线合一”的性质可以解决角相等、线段相等或垂直问题 2.等边三角形三线合一：等边三角形每条边上的中线、高线以及相应对角的平分线都重合. 等腰三角形三线合一 知识点5 等腰三角形的判定定理 判定定理 几何语言 图示 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.简单地说：在同一个三角形中，等角对等边. 在 △ABC 中， ∵∠B=∠C , ∴AB=AC . 注意 （1）“等角对等边”的运用前提是在同一个三角形中.（2）“等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出三角形是等腰三角形时，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词. 知识点6 等边三角形的判定定理 内容 几何语言 图示 定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形. 在 △ABC 中， ∵∠A=∠B=∠C , ∴△ABC 是等边三角形. 定理2 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 在△ABC 中， ∵AB=AC , ∠A=60° （或 ∠B=60° 或 ∠C=60° ）， ∴△ABC 是等边三角形. 题型巩固 题型一、等腰三角形的定义 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在方格纸上，A，B是格点，网格中存在格点C使得是以为顶角的等腰三角形，这样的格点C的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）一个等腰三角形有两条边长分别为5和8，则它的周长是 ． 3．（22-23八年级上·浙江金华·期末）已知等腰三角形的一边长等于，一边长等于，求它的周长． 题型二、作等腰三角形(尺规作图) 4．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=2，ON=4，点P是边OB上的点，则能使点P，M，N构成等腰三角形的点P的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE，若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE= ． 6．如图所示的网格中， 每个小正方形的边长均为1，点和点均在格点上．请按要求画格点三角形（顶点在格点上）． （1）在图1中画一个以为直角边的； （2）在图2中画一个等腰． 题型三、等边对等角 7．（24-25八年级上·浙江·期中）若等腰三角形的顶角为，则底角的大小为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知等腰的一个外角为，则的度数为 ． 9．（22-23八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，为上一点，连结，作，交线段于点． (1)直接写出，的大小； (2)若，求的大小． 题型四、等边三角形的性质 10．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在等边中，，，交于点F，则的度数为（　　） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知等边三角形的周长为18，则边长为 ． 12．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，等边三角形ABC内有一点P，， ， ，垂足分别为E，F，D，且 于H，试用三角形面积公式证明： . 题型五、三线合一 13．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，是的角平分线，则的长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．无法确定 14．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是的高线．若，则的长为 ． 15．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）把下列证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，是边上的中线，于点E．求证：． 证明：∵， ∴　　　， ∵是边上的中线， ∴　　　（　　　）． ∴． ∴　　　， ∵， ∴． ∵　　　， ∴．（　　　） 题型六、根据等角对等边证明等腰三角形 16．在△ABC中，内角关系如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=80°，∠C=80° C．∠A=20°，∠B=20° ，∠C=80° D．∠A=40°，∠B=100° 17．如图，已知一块四边形草地，其中，，，，则这块土地的面积为 ．    18．如图，在中，，，垂足为．    （1）求证：； （2）若平分分别交，于点，求证：． 题型七、根据等角对等边证明边相等 19．将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，已知．与的平分线，交于点O，过点O作，交，于点M，N．若，，则的周长= ． 21．如图，在中，平分，平分，过点作的平行线与，分别相交于点，．若，，求的周长． 题型八、根据等角对等边求边长 22．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 23．如图，在中，，，沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是 ． 24．（22-23八年级上·浙江金华·期中）如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 题型九、格点图中画等腰三角形 25．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 26．（22-23八年级上·浙江宁波·阶段练习）在如图所示的方格中，以为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有 个．    27．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形： (1)在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）； (2)在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）． 题型十、找出图中的等腰三角形 28．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 29．已知△ABC的三边长分别为5、5、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 30．如图，点D在AC上，，．你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角． 题型十一、等腰三角形的性质和判定 31．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，直线，交于点，点是直线上的点，在直线上寻找一点，使是等腰三角形，这样的点有 个． 33．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）（1）如图， 纸片中， ，，请你剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．请画出示意图，并标明必要的角度； （2）已知等腰中， ，D为边上一点，连接，若与都是等腰三角形，则的度数是______； （请画出示意图，并标明必要的角度） （3）现将（1）中的等腰三角形改为中， ，从点B出发引一直线可分成两个等腰三角形，则原三角形的最大内角的所有可能值是____．（直接写出答案）． 题型十二、等边三角形的判定 34．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ） A．直角三角形等边三角形直角三角形 B．等边三角形直角三角形等腰三角形 C．等边三角形等腰三角形直角三角形 D．等腰三角形直角三角形等边三角形 35．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ．（只需填上一个即可） 36．如图，AC＝BC，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B． （1）求证：CD＝CE； （2）若点A为CD的中点，求∠C的度数． 题型十三、等边三角形的判定和性质 37．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，分别以A，B为圆心，长为半径所作弧的交点为C，连结，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知等腰三角形，若边上的高线与边的夹角为，则边的长为 ． 39．如图，在中，于点D，且，试判断的形状，并说明理由． 分层强化 一、单选题 1．已知等边的一边长为2，则它的周长是（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 2．若等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D． 3．如图，在中，，是上的高，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．在中， ， 小豪作图过程如下∶ （1） 以A为圆心， 长为半径作弧交于点 D，连结∶ （2）分别以C，D为圆心，大于 作弧交于点 E： （3） 作射线 交 于点 F． 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，为等边三角形，为延长线上的一点，作，交的延长线于点．若，，则的长为（   ）    A．2 B．5 C．8 D．11 6．下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图，是等腰三角形，，点是底边上任意一点，于点，于点，若该等腰三角形的面积为，则的值为（    ）    A．10 B．9 C．6 D．5 9．如图所示，点D是的边上一点（不含端点），，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 二、填空题 11．已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为 ． 12．等腰三角形中有一个内角为，则其底角的度数是 ． 13．如图，在等边三角形中，点是边的中点，则 ． 14．在等腰三角形ABC中，∠A＝3∠B，则∠C的度数为 . 15．小夏在2024年国庆假期期间去太原市大熊猫繁育研究基地参观．如图，为熊猫基地的围栏，点R处有一只熊猫，小夏想知道他与熊猫的距离，他在P处测得，然后从点P处沿着的方向走了15米到达点Q，测得，则的长为 米． 16．如图，，点B的对应点点D落在边上，若，则的度数是 ． 三、解答题 17．等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成6cm和15cm两部分，求这个等腰三角形各边的长． 18．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F. 求证：CE＝CF． 19．如图，在中，为边上的中线，E为上一点，且，试求的度数．    20．如图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．如图，线段的两端点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画等腰，使点在格点上． (1)在图1中，画以为腰的三角形； (2)在图2中，画以为底的三角形． 21．如图，在中，，，为中点，点在线段上，交于点，． (1)求度数； (2)求的周长． 22．如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，延长，交的延长线于点． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的周长． 23．如图，已知等边的边长为，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点M的速度，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．    (1)当点N第一次到达B点时，点M的位置在______；当M、N运动______秒时，点N追上点M； (2)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 等腰三角形概念、性质定理及其判定定理 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳 理 1 等腰、等边三角形的相关概念 2 等腰、等边三角形的轴对称性 3 等腰三角形的性质定理1及推论 4 等腰三角形的性质定理2 5 等腰三角形的判定定理 6 等边三角形的判定定理 题型巩 固 一、等腰三角形的定义 二、作等腰三角形(尺规作图) 三、等边对等角 四、等边三角形的性质 五、三线合一 六、根据等角对等边证明等腰三角形 七、根据等角对等边证明边相等 八、根据等角对等边求边长 九、格点图中画等腰三角形 十、找出图中的等腰三角形 十一、等腰三角形的性质和判定 十二、等边三角形的判定 十三、等边三角形的判定和性质 分层强 化 一、单选题（10） 二、填空题（6） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1 等腰、等边三角形的相关概念 1.等腰三角形及其相关概念 定义 图示 等腰三角形 有两边相等的三角形叫做等腰三角形. 腰 相等的两条边叫做腰. 底边 另一条边叫做底边. 顶角 两腰的夹角叫做顶角. 底角 腰和底边的夹角叫做底角. 2.等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 等边三角形是特殊的等腰三角形 知识点2 等腰、等边三角形的轴对称性 轴对称性 对称轴的条数 等腰三角形 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴. 1条（只有两腰相等） 等边三角形 等边三角形是轴对称图形，每个内角的平分线所在的直线都是它的对称轴. 3条 知识点3 等腰三角形的性质定理1及推论 性质 几何语言 图示 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等.（或在同一个三角形中，等边对等角） 在 △ABC 中， ∵AB=AC ， ∴∠B=∠C . 推论 等边三角形的各个内角都等于 60^∘ . ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60^∘ . 知识点4 等腰三角形的性质定理2 1.等腰三角形的性质定理2： 性质定理2 几何语言 图示 等腰三角形 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一. （1）因为 AB=AC ， AD⊥BC ， 所以 AD 平分 ∠BAC ，且 BD=CD . （2）因为 AB=AC , BD=DC ， 所以 AD⊥BC ，且 AD 平分 ∠BAC . （3）因为 AB=AC , AD 平分 ∠BAC ，所以 BD=DC ，且 AD⊥BC . 利用“等腰三角形三线合一”的性质可以解决角相等、线段相等或垂直问题 2.等边三角形三线合一：等边三角形每条边上的中线、高线以及相应对角的平分线都重合. 等腰三角形三线合一 知识点5 等腰三角形的判定定理 判定定理 几何语言 图示 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.简单地说：在同一个三角形中，等角对等边. 在 △ABC 中， ∵∠B=∠C , ∴AB=AC . 注意 （1）“等角对等边”的运用前提是在同一个三角形中.（2）“等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出三角形是等腰三角形时，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词. 知识点6 等边三角形的判定定理 内容 几何语言 图示 定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形. 在 △ABC 中， ∵∠A=∠B=∠C , ∴△ABC 是等边三角形. 定理2 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形. 在△ABC 中， ∵AB=AC , ∠A=60° （或 ∠B=60° 或 ∠C=60° ）， ∴△ABC 是等边三角形. 题型巩固 题型一、等腰三角形的定义 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在方格纸上，A，B是格点，网格中存在格点C使得是以为顶角的等腰三角形，这样的格点C的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的判定，关键是掌握有两边相等的三角形是等腰三角形． 由等腰三角形的定义和图形，即可得到答案． 【详解】解：如图，这样的格点C的个数为5个， 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）一个等腰三角形有两条边长分别为5和8，则它的周长是 ． 【答案】18或21 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．注意分类讨论思想的应用．分别从若腰长为5，底边长为8与若腰长为8，底边长为5，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：若腰长为5，底边长为8，则周长为：； 若腰长为8，底边长为5，则周长为：； 则它的周长是：18或 故答案为：18或 3．（22-23八年级上·浙江金华·期末）已知等腰三角形的一边长等于，一边长等于，求它的周长． 【答案】或者． 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】根据题意分情况讨论：①当是腰长时；②当时底边时 【详解】解：①当是腰长时， ∵另一边长为：， ∴三角形的三条边分别为：，，， ∵， ∴能组成三角形， ∴周长， ②当为底边时， 三角形的三边分别为， ∵， ∴能组成三角形， ∴周长， 综上所述，周长为或者． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三边关系，根据题意分情况讨论是解题的关键． 题型二、作等腰三角形(尺规作图) 4．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=2，ON=4，点P是边OB上的点，则能使点P，M，N构成等腰三角形的点P的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】作等腰三角形(尺规作图) 【分析】根据勾股定理，求出M到OB的距离和N到OB的距离，分两种情况分析：以MN为腰的等腰三角形个数，以MN为底的等腰三角形个数. 【详解】因为，根据勾股定理：M到OB的距离是：，N到OB的距离是 2， 所以，能画出以MN为腰的等腰三角形只有1个，以MN为底的等腰三角形只有1个. 故选B 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，有难度，本题通过数形结合的思想解决问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法． 5．△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE，若∠A=30°，AB=AC，则∠BDE= ． 【答案】67.5° 【知识点】作等腰三角形(尺规作图) 【分析】根据AB=AC,利用三角形内角和定理求出∠ABC、∠ACB的度数,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°,然后即可求出∠BDE的度数． 【详解】∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∵∠A=30°, ∴∠ABC=∠ACB=（180°-30°）=75°, ∵以B为圆心,BC长为半径画弧, ∴BE=BD=BC, ∴∠BDC=∠ACB=75°, ∴∠CBD=180°-75°-75°=30°, ∴∠DBE=75°-30°=45°, ∴∠BED=∠BDE=（180°-45°）=67.5°,故答案为67.5°． 【点睛】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点的理解和掌握,此题的突破点是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°,然后即可求得答案． 6．如图所示的网格中， 每个小正方形的边长均为1，点和点均在格点上．请按要求画格点三角形（顶点在格点上）． （1）在图1中画一个以为直角边的； （2）在图2中画一个等腰． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】作等腰三角形(尺规作图) 【分析】（1）根据直角三角形的性质特点作图； （2）根据等腰直角三角形的性质作图． 【详解】解：（1）如图： （2）如图： 【点睛】此题考查作图能力，正确理解直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 题型三、等边对等角 7．（24-25八年级上·浙江·期中）若等腰三角形的顶角为，则底角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“等边对等角”的性质是解题关键． 根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可． 【详解】解：等腰三角形的顶角是， 则底角是． 故选A． 8．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知等腰的一个外角为，则的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理． 等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分三种情况进行分类讨论即可得． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴与相邻的内角为， 则的度数可能为， 当为顶角时，其他两角都为、， 则的度数可能为， 当为底角时，其他两角为、， 则的度数可能为， 所以的度数为或或， 故答案为：或或． 9．（22-23八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，为上一点，连结，作，交线段于点． (1)直接写出，的大小； (2)若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求解； （2）根据等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 题型四、等边三角形的性质 10．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在等边中，，，交于点F，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，关键是等边三角形性质定理的应用． 先由等边三角形的性质得出，，再由直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 11．（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知等边三角形的周长为18，则边长为 ． 【答案】6 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等边三角形的三边相等，除以3即可． 【详解】∵等边三角形的三边相等， ∴边长为， 故答案为：6． 12．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，等边三角形ABC内有一点P，， ， ，垂足分别为E，F，D，且 于H，试用三角形面积公式证明： . 【答案】证明见解析 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题可通过三角形的面积来求证，连接 后，分别表示出三角形APB，BPC，APC和三角形ABC的面积，根据三角形ABC的面积等于这三个小三角形的面积和，我们将三个三角形的面积表达式相加后就会得出. 【详解】证明：连接， ∵三角形ABC是等边三角形， ∴ ， ∵ 于H， ∴ ， ∵ ∴， ∴. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质及三角形的面积等知识；本题直接找线段间的关系不容易得出结论，但是通过分割面积法就容易证得，所以解题时思路要开阔，面积法求线段的关系是很重要的方法，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键. 题型五、三线合一 13．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，是的角平分线，则的长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．无法确定 【答案】B 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的三线合一性质进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴是等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴ 故选：B． 14．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，是的高线．若，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，掌握这一性质是关键；由是等腰底边上的高，则D点是底边的中点，则，从而可求解． 【详解】解：∵是的高线， ∴， ∴， 故答案为：2． 15．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）把下列证明过程补充完整． 已知：如图，在中，，是边上的中线，于点E．求证：． 证明：∵， ∴　　　， ∵是边上的中线， ∴　　　（　　　）． ∴． ∴　　　， ∵， ∴． ∵　　　， ∴．（　　　） 【答案】，，等腰三角形三线合一，，，等角的余角相等． 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一求证即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．（等角的余角相等） 故答案为：，，等腰三角形三线合一，，，等角的余角相等． 题型六、根据等角对等边证明等腰三角形 16．在△ABC中，内角关系如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=80°，∠C=80° C．∠A=20°，∠B=20° ，∠C=80° D．∠A=40°，∠B=100° 【答案】D 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】根据三角形的内角和为以及在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形对四个选项分别判断即可； 【详解】A.当时，由三角形的内角和可得,不符合题意； B.当时，,所以这三个角不可能在同一个三角形中，不符合题意； C.当时，，所以这三个角不可能在同一个三角形中，不符合题意； D. 当∠A=40°，∠B=100°时，由三角形的内角和可得，此时,符合题意； 故选：D. 【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键在于熟练掌握三角形内角和定理. 17．如图，已知一块四边形草地，其中，，，，则这块土地的面积为 ．    【答案】 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】分别延长交于点，证明和是等腰直角三角形，然后求出和的面积即可． 【详解】解：如图，分别延长交于点，   ，， ， ， m，m， m，m， ，， 这块土地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过作辅助线，构造新的直角三角形，利用土地的面积来求解． 18．如图，在中，，，垂足为．    （1）求证：； （2）若平分分别交，于点，求证：． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】（1）根据，，列出等量关系，通过等量代换即可得到； （2）根据角平分线可得∠CAF=∠BAF，再根据三角形的外角的性质即可证得． 【详解】解：（1）∵， ∴∠CAB+∠B=90°， ∠CAB+∠ACD=90°， ∴ （2）∵平分 ∴∠CAF=∠BAF 又∵∠CEF和∠CFE分别是△AEC和△ABF的外角， ∴∠CEF=∠CAF+∠ACD ∠CFE=∠BAF+∠B 又∵ ∴∠CEF=∠CFE ∴CE=CF 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用上述知识进行推理论证． 题型七、根据等角对等边证明边相等 19．将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据等角对等边证明边相等 【分析】根据等角对等边进行判断即可． 【详解】解：，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边判定三角形为等腰三角形是解本题的关键． 20．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，已知．与的平分线，交于点O，过点O作，交，于点M，N．若，，则的周长= ． 【答案】15 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的定义．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 由已知条件根据平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质；可推出，．从而得到的周长，答案可得． 【详解】解：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 同理可得：． ∴的周长为： ， 故答案为：15． 21．如图，在中，平分，平分，过点作的平行线与，分别相交于点，．若，，求的周长． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质可得和都是等腰三角形，从而可得，，进而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为． 题型八、根据等角对等边求边长 22．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握对角对等边．根据等腰三角形的判定可得，继而得出的长． 【详解】解：， ． 故选：B 23．如图，在中，，，沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是 ． 【答案】3 【知识点】折叠问题、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角．由折叠的性质可得：，，，进而证得，得到． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：3． 24．（22-23八年级上·浙江金华·期中）如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的性质、根据等角对等边求边长 【分析】（1）证明中的三个角均为，然后再求得，从而可得到，故此可得到为等腰三角形； （2）先求得，然后由进行求解即可． 【详解】（1）是等边三角形， ． ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 为等腰三角形． （2）由（1）可知， ． 又， ． ． 【点睛】考查等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 题型九、格点图中画等腰三角形 25．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 【答案】C 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查等腰三角形的判定，正方形的性质等知识，连接，，，，，，然后分五种情形判断可得结论． 【详解】解：连接，，，，，，如图， 类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，共有20个． 故选：C． 26．（22-23八年级上·浙江宁波·阶段练习）在如图所示的方格中，以为边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形有 个．    【答案】4 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，即可得出第三个顶点的位置． 【详解】解：如图所示， 分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、，即为第三个顶点的位置； 故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出4个． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，解题时需要通过尺规作图，找出第三个顶点的位置．正确作图是解决问题的关键． 27．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形： (1)在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）； (2)在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）． 【答案】(1)答案见解析（答案不唯一） (2)答案见解析（答案不唯一） 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题主要考查作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）解：如图2中，即为所求（答案不唯一）． 题型十、找出图中的等腰三角形 28．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【详解】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 29．已知△ABC的三边长分别为5、5、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 【答案】6 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】根据等腰三角形的性质，得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示：满足条件的点有6个． 当CA＝CD，BA＝BG，DA＝DC，GA＝GB，BA＝NK，CA＝CH时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG，BK，CH分别为分割线）． 故答案为：6 【点睛】此题考查等腰三角形的判定，应用设计与作图，正确利用图形分类讨论得出是解题关键． 30．如图，点D在AC上，，．你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角． 【答案】见解析 【知识点】等腰三角形的定义、找出图中的等腰三角形 【分析】根据等腰三角形的定义，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， 中，腰：和，底边：，顶角为； ∵， ∴为等腰三角形， 中，腰：和，底边：，顶角为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的相关定义，解题的关键是掌握在等腰三角形中，相等的两条边为腰，另外一条边为底边，底边所对的角为顶角． 题型十一、等腰三角形的性质和判定 31．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了作图和等腰三角形的性质，根据等腰三角形两底角相等求出，再求出，然后根据计算即可得解，利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， 以为圆心，的长为半径圆弧，交于点， ， ， ． 故选：B． 32．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，直线，交于点，点是直线上的点，在直线上寻找一点，使是等腰三角形，这样的点有 个． 【答案】4 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，由条件确定出点的位置是解题的关键，注意分类讨论． 分别以、、为顶角进行讨论即可求得答案． 【详解】解：∵为等腰三角形， ∴分三种情况： （1）当以为顶角时，则有，即点在线段的垂直平分线上，可知满足点在直线上只有一个点； （2）当以为顶角时，则有，由两直线夹角为，可知此时点在直线的上，一个在直线的上方，一个点在直线的下方，一共有两个点； （3）当以为顶角时，则有，此时点在直线的上，有一两个点． 综上可知满足条件的点有4个． 故答案为：4． 33．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）（1）如图， 纸片中， ，，请你剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．请画出示意图，并标明必要的角度； （2）已知等腰中， ，D为边上一点，连接，若与都是等腰三角形，则的度数是______； （请画出示意图，并标明必要的角度） （3）现将（1）中的等腰三角形改为中， ，从点B出发引一直线可分成两个等腰三角形，则原三角形的最大内角的所有可能值是____．（直接写出答案）． 【答案】（1）见解析  （2）或  （3），，， 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】此题主要考查等腰三角形的判定和性质，掌握等角对等边作图即可解题． （1）作的角平分线，再过点作的角平分线，则均为等腰三角形； （2）分两种情况：；分别作图即可. （3）根据已知分别作图求解即可． 【详解】解：（1）如图所示： （2）如图所示： 故答案为：或； （3）如图所示： 原三角形的最大内角的所有可能值是，，，， 故答案为：，，，． 题型十二、等边三角形的判定 34．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ） A．直角三角形等边三角形直角三角形 B．等边三角形直角三角形等腰三角形 C．等边三角形等腰三角形直角三角形 D．等腰三角形直角三角形等边三角形 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定 【分析】本题考查三角形，是特殊三角形，特殊三角形只能是直角三角形，等边三角形，由此判断即可解答． 【详解】解：点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：直角三角形，等边三角形，直角三角形． 故选：． 35．（22-23八年级上·浙江绍兴·期末）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 ．（只需填上一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】等边三角形的判定 【分析】根据有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，即可求解． 【详解】解：根据有一个角等于的等腰三角形是等边三角形得： ． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握有一个角等于的等腰三角形是等边三角形是解题的关键． 36．如图，AC＝BC，AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B． （1）求证：CD＝CE； （2）若点A为CD的中点，求∠C的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60° 【知识点】等边三角形的判定 【分析】（1）证明△CAE≌△CBD（ASA），可得出结论； （2）根据题意得出△CDE为等边三角形，进而得出∠C的度数． 【详解】（1）∵AE⊥CD于点A，BD⊥CE于点B， ∴∠CAE＝∠CBD＝90°， 在△CAE和△CBD中， ， ∴△CAE≌△CBD（ASA）． ∴CD＝CE； （2）连接DE， ∵由（1）可得CE＝CD， ∵点A为CD的中点，AE⊥CD， ∴CE＝DE， ∴CE＝DE＝CD， ∴△CDE为等边三角形． ∴∠C＝60°． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定的综合问题，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法及等边三角形的判定定理． 题型十三、等边三角形的判定和性质 37．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，分别以A，B为圆心，长为半径所作弧的交点为C，连结，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，作图－复杂作图，解题的关键是掌握等边三角形的判定． 判断出是等边三角形可得结论． 【详解】解：由作图可知， 是等边三角形， 故选：C． 38．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知等腰三角形，若边上的高线与边的夹角为，则边的长为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定；分为腰和底两种情况分别讨论，即可求解． 【详解】解：当为腰时，如图所示， 依题意， ∴ ∴等腰是等边三角形， ∴ 当为底时，如图所示， 依题意，，， ∴ ∴等腰是等边三角形， ∴， 综上所述，边的长为， 故答案为：． 39．如图，在中，于点D，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】等边三角形，见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】根据已知条件证明，在根据条件得出，即可证明条件； 【详解】是等边三角形． 理由：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，准确根据条件分析是解题的关键． 分层强化 一、单选题 1．已知等边的一边长为2，则它的周长是（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据等边三角形的三条边都相等进行求解即可． 【详解】解：由等边的一边长为2，可知：该等边三角形的三条边都为2，所以它的周长为6； 故选C． 2．若等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意分类讨论． 【详解】解：当这个内角就是底角时，它的底角为； 当这个内角是顶角时，则它的底角为：； 故选C． 3．如图，在中，，是上的高，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是上的高， ∴， 故选：． 4．在中， ， 小豪作图过程如下∶ （1） 以A为圆心， 长为半径作弧交于点 D，连结∶ （2）分别以C，D为圆心，大于 作弧交于点 E： （3） 作射线 交 于点 F． 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查作图，作等腰三角形和垂直平分线，根据作图可知，结合垂直即可知射线垂直平分线段，其余选项均无法确定． 【详解】解：∵以A为圆心， 长为半径作弧交于点 D，连结， ∴， 由作图知，点E在线段的垂直平分线上，则射线垂直平分线段， 故D正确； ∵无法确定和的关系， ∴A和D无法确定； 只能确定和的关系，无法确定和的关系，则C无法确定； 故选D． 5．如图，为等边三角形，为延长线上的一点，作，交的延长线于点．若，，则的长为（   ）    A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【分析】先根据等边三角形性质得，，再根据得，由此可判定为等边三角形，进而可得的长． 此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形，且， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④ 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定是解决问题的关键． 根据等边三角形的判定定理，对题目中给出的四个三角形逐一进行甄别即可得出答案． 【详解】解：根据等边三角形的判定可知：有两个角等于的三角形是等边三角形，故①可以判定为等边三角形； 根据等边三角形的判定可知：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故②可以判定为等边三角形； ∵三角形的外角和等于， 又∵三角形的三个外角都相等， ∴这个三角形的三个外角都等于， ∴这个三角形的三个内角都等于， ∴这个三角形是等边三角形， ∴三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形是等边三角形，故③可以判定为等边三角形； ∵一腰上的中线也是这条腰上的高， ∴这条线是腰的垂直平分线， ∴腰与底相等， 又∵腰与底相等的等腰三角形是等边三角形， ∴一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形，故④可以判定为等边三角形． 综上所述：①②③④都能判定为等边三角形，共有4个． 故选：A． 7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 【详解】解：当为等腰三角形时有两种情况︰为腰和为底． 当为腰时，符合条件的点C有4个即黑点； 当为底时，符合条件的点C也有4个即红点， 所以满足题意的点C的个数为8． 故选：C． 8．如图，是等腰三角形，，点是底边上任意一点，于点，于点，若该等腰三角形的面积为，则的值为（    ）    A．10 B．9 C．6 D．5 【答案】D 【分析】分别计算和的面积，再根据等腰三角形的面积直接可求出的值． 【详解】解：连接，    由题可知：， ， ， ， ， ， ， ， 故选D． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分割法求面积，再利用等面积转化是解决问本题的关键． 9．如图所示，点D是的边上一点（不含端点），，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，由得到，所以，则对各C、D选项进行判断；根据大边对大角可对A、B进行判断． 【详解】解：， ， ，所以C选项和D选项错误； ，所以A选项正确；B选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 10．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等边对等角、三线合一的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵中，，是中点， ∴，，平分，， 故选项B、C、D正确，不符合题意， 不能证明，故选项A不一定正确，符合题意， 故选：A． 二、填空题 11．已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】12 【分析】先证明这个等腰三角形是等边三角形，再求周长即可． 【详解】解：∵有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4， ∴这个等腰三角形是等边三角形，边长为4， 它的周长为3×4=12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题关键是熟记有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 12．等腰三角形中有一个内角为，则其底角的度数是 ． 【答案】或/或 【分析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： 当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数=； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键． 13．如图，在等边三角形中，点是边的中点，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得出，，可得出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴是的平分线， ∴， 故答案为：． 14．在等腰三角形ABC中，∠A＝3∠B，则∠C的度数为 . 【答案】或 【分析】设∠B＝x°，则∠A＝3x°，根据∠A是顶角或底角两种情况分类讨论，列出方程求解即可． 【详解】解：设∠B＝x°，则∠A＝3x°， ①当∠A是顶角时，∠A＋2∠B＝180°， 即：5x＝180， 解得：x＝36， 此时∠C＝∠B＝36°； ②当∠A是底角时，2∠A＋∠B＝180°， 即7x＝180， 解得：x＝， 此时∠C＝3∠B＝， 综上所述，∠C的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，能够根据这个角是底角还是顶角进行分类讨论是解答本题的关键． 15．小夏在2024年国庆假期期间去太原市大熊猫繁育研究基地参观．如图，为熊猫基地的围栏，点R处有一只熊猫，小夏想知道他与熊猫的距离，他在P处测得，然后从点P处沿着的方向走了15米到达点Q，测得，则的长为 米． 【答案】15 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 证明为等边三角形，则． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：15． 16．如图，，点B的对应点点D落在边上，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质；根据全等三角形的性质得出，，进而得到，由即可求解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 17．等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成6cm和15cm两部分，求这个等腰三角形各边的长． 【答案】这个等腰三角形各边的长为10，10，1． 【分析】根据题意，分两种情况进行分析，从而得到腰和底边的长，注意运用三角形的三边关系对其进行检验． 【详解】解：①如图，AB+AD=6cm，BC+CD=15cm ∵AD=DC，AB=AC ∴2AD+AD=6cm ∴AD=2cm ∴AB=4cm，BC=13cm ∵AB+AC＜BC ∴不能构成三角形，故舍去 ②如图，AB+AD=15cm，BC+CD=6cm 同理得：AB=10cm，BC=1cm ∵AB+AC＞BC，AB-AC＜BC ∴能构成三角形 ∴腰长为10cm，底边为1cm 故这个等腰三角形各边的长为10，10，1． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键． 18．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F. 求证：CE＝CF． 【答案】见解析. 【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，根据等腰三角形的判定推出即可． 【详解】证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， 即∠CEF=∠CFE ∴CE=CF． 【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，关键是推出∠CEF=∠CFE． 19．如图，在中，为边上的中线，E为上一点，且，试求的度数．    【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．由可得，由可得，从而得出，最后根据等腰三角形三线合一的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴． 20．如图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．如图，线段的两端点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画等腰，使点在格点上． (1)在图1中，画以为腰的三角形； (2)在图2中，画以为底的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了在网格中画等腰三角形， （1）根据题意画出以为腰的三角形； （2）根据题意画出以为底的三角形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， 21．如图，在中，，，为中点，点在线段上，交于点，． (1)求度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由为的中点，可得平分，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， 又∵为的中点， ∴平分， ∴， 故度数为． （2）解∶∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 22．如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，延长，交的延长线于点． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)等腰三角形；理由见详解 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和求三角形的周长，等边三角形的判定和性质，解题关键是利用等腰三角形两腰相等的特点进行边长转换． （1）通过角度转化，证明来证明等腰三角形； （2）根据和是等腰三角形的特点，可推导出，然后再中，可求得的长，从而得出的周长． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ，， ， ， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：， ． ， 是等边三角形． 是等腰三角形， ， 在中，， ， ， 的周长为； 23．如图，已知等边的边长为，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点M的速度，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．    (1)当点N第一次到达B点时，点M的位置在______；当M、N运动______秒时，点N追上点M； (2)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【答案】(1)中点，6 (2)存在，运动的时间是时．得到以为底边的等腰三角形 【分析】（1）求出运动的路程即可判断的位置，由题意得：，求出的值即可； （2）列出关于的方程，求出的值，即可解决问题． 【详解】（1）当点第一次到达点时， ， 运动了， 点的位置在中点； 当点追上点时， 由题意得：， ， 当、运动6秒时，点追上点， 故答案为：中点，6． （2）如图，， 作于， ，， ， ， ，   、运动的时间是时．得到以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，关键是由题意得到关于的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$