1.3一元二次方程根的判别式（分层作业练题型）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 分层递进设计，覆盖根的判别式基础应用、综合探究及中考衔接，通过基础巩固、能力提升、思维拓展三阶路径，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|根的情况判断、证明及参数取值|基础题型，对应核心素养抽象能力| |B组能力进阶|参数综合、几何结合|综合应用，体现推理能力| |C组思维拔高|新定义、分类讨论|思维拔高，培养创新意识| |拓展链接中考|中考真题|对接测评，增强应用意识|

分层作业 1.3一元二次方程根的判别式 目 录 A组 巩固过关 题型01 不解方程，判断一元二次方程根的情况 题型02证明一元二次方程根的情况 题型03根据一元二次方程根的情况求字母的取值范围 题型04 一元二次方程根的判别式与几何结合题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )不解方程，判断一元二次方程根的情况 1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 2．（25-26八年级下·广西百色·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 4．（2022·河南信阳·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 2 )证明一元二次方程根的情况 5．（江苏南京市2025-2026学年第二学期期末试卷八年级数学）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 6．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 7．（22-23九年级上·云南昭通·阶段检测）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． ( 题型0 3 )根据一元二次方程根的情况求字母的取值范围 8．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2026·浙江杭州·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则最小整数________． 10．（2026·安徽蚌埠·三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 11．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若，解此方程； (2)若方程没有实数根，求的最小整数值． ( 题型0 4 )一元二次方程根的判别式与几何结合题 12．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 13．（25-26八年级下·山东烟台·期末）等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 14．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）（1）解方程： （2）已知：的两邻边，的长是关于x的方程的两个实数根． ①当m为何值时，是菱形？ ②若的长为3，求的周长． 1．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 2．（江苏南京市2025-2026学年第二学期期末试卷八年级数学）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 3．对于实数，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若有两个不相等的实数，满足，则的值可以是（    ） A． B．20 C．202 D．2025 4．（2022·河南郑州·三模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 5．（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 6．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是_____． 7．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 8．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 9．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 1．（发散思维能力）定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（分类讨论思想）关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 3．（程序问题）按照如图所示的计算程序，若，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．方程有两个相等实数根 B．方程没有实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．无法判断 4．（新定义问题）在平面直角坐标系中，定义：横坐标是纵坐标的2倍的点称为“倍横点”． 由此回答下列问题： (1)点________（填“是”或“不是”）“倍横点”；点_______（填“是”或“不是”）“倍横点”； (2)求函数的图象上的“倍横点”坐标； (3)函数的图象上有没有“倍横点”若有，请求出“倍横点”的坐标；若没有，请说明理由． 5．（代数与几何）如图，中，，，，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)判断的形状； (2)若平分，且，、为方程的两根，求的值． 6．（新定义问题）如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 1．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 3．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.3一元二次方程根的判别式 参考答案 ( 题型0 1 )不解方程，判断一元二次方程根的情况 1．C 2．B 3.D 4.C ( 题型0 2 )证明一元二次方程根的情况 5. 【详解】1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； （2）解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 6. 【详解】（1）证明：， ， 不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：， ， ， 则或， 解得：，， 方程有一个根小于3， ， ． 7. 【详解】(1)证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． （2）解：由（1）得：， ∴， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， 为正整数， ∴为4的正约数， 或或． ( 题型0 3 )根据一元二次方程根的情况求字母的取值范围 8.A 9.-2 10. 11. 【详解】（1）解：若，则方程为：， ， ∴或， 解得：，； （2）解：∵方程没有实数根， ∴， 即， 解得：， ∴的最小整数值为2． ( 题型0 4 )一元二次方程根的判别式与几何结合题 12.C 13.B 14. 【详解】（1） 解： 或， ，； （2）解：①是菱形， ，即方程有两个相等的实数根， ，即，解得，（不符合题意，舍去）， 当时，是菱形； ②由题可得，是方程的一个实数根， ，解得， 则原方程为，解得，， ， 的周长为：． 1. A 2. C 3. A 4. C 5. D 6. 没有实数根 7. 1 8. 【详解】(1)证明：∵， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）解：对于一元二次方程， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 即，的长分别为，1． 分两种情况讨论： ①若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为2，2，1，满足三角形三边关系，符合题意． ②若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为1，1，2， 由于，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去． 9. 【详解】(1) 证明：∵， ， 该方程总有两个实数根； （2）解： ， 解得，， 方程的一个根是另一个根的倍， 分两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的值为或. 1.C 2．A 3． C 4. 【详解】（1）解：∵是1的2倍，不是的2倍， ∴点是 “倍横点”； 点不是 “倍横点”； 故答案为：是，不是； （2）解：设函数图象上的“倍横点”坐标为， 把点代入得：，解得， ， 所以函数图象上的“倍横点”坐标为； （3）解：没有，理由如下： 假设函数图象上有“倍横点”， 把点代入得，， 整理得： ， 方程没有实数根，所以图象上没有“倍横点”． 5. 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 关于的方程有两个相等的实数根， ∴方程化为一般式为： ∴，整理得，， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图所示，过点作于点，作延长线于点， ∵平分， ∴，且， 由（1）可得，， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∵、为方程的两根， ∴，整理得，， 解得，， 当时，原方程为， 解得，，不符合题意，舍去； 当时，原方程为， 解得，，即，符合题意； ∴的值为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程判别式，勾股定理逆定理判定直角三角形性质，角平分线的定义和性质定理，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用，理解并掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，合理作出辅助线是解题的关键． 6. 【详解】（(1)（答案不唯一） (2)证明：由题意可知：， ， ， ∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． （3）解：把代入中得：，即，    ∵四边形的周长是， ， ∴， ，解之得：，     ， ， ，即， ， ， ． 1． D 2． 3. -1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.3一元二次方程根的判别式 目 录 A组 巩固过关 题型01 不解方程，判断一元二次方程根的情况 题型02证明一元二次方程根的情况 题型03根据一元二次方程根的情况求字母的取值范围 题型04 一元二次方程根的判别式与几何结合题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )不解方程，判断一元二次方程根的情况 1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，． ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 2．（25-26八年级下·广西百色·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A 选项：对于方程 ，， 方程有两个相等的实数根，不符合要求； B 选项：对于方程 ，， 方程有两个不相等的实数根，符合要求； C 选项：对于方程 ，， 方程没有实数根，不符合要求； D 选项：对于方程 ，， 方程有两个相等的实数根，不符合要求． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程， 根的判别式为， 当时方程有两个相等的实数根，依次计算各选项： A选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； B选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； C选项：方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合要求； D选项：方程中，， ， 4．（2022·河南信阳·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：方程整理为，，有实数根． B选项：方程整理为，，有实数根． C选项：，，没有实数根． D选项：，，有实数根． ( 题型0 2 )证明一元二次方程根的情况 5．（江苏南京市2025-2026学年第二学期期末试卷八年级数学）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； (2)的值为，方程的另一个实数根为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 6．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 【答案】(1)证明：， ， 不论m取何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）利用因式分解法解方程得，，再结合“有一个根小于3”列不等式求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：， ， ， 则或， 解得：，， 方程有一个根小于3， ， ． 7．（22-23九年级上·云南昭通·阶段检测）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】(1)证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． (2)或或 【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据平方的非负性判断方程总有两个实数根； （2）利用公式法求出，，再根据方程的两个实数根都是整数，即可求出正整数的值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， 为正整数， ∴为4的正约数， 或或． ( 题型0 3 )根据一元二次方程根的情况求字母的取值范围 8．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，先求出的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 对比选项，只有，因此的值可能是． 9．（2026·浙江杭州·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则最小整数________． 【答案】 【分析】一元二次方程有实数根的条件：一元二次方程根的判别式大于或等于0． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∴最小整数． 10．（2026·安徽蚌埠·三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，求出，再根据判别式与根的关系进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，且， 即且， ∴． ∴原一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． ∴． 11．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若，解此方程； (2)若方程没有实数根，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． （1）若，则方程为：，利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由方程没有实数根得，得到关于k的一元一次不等式，解之，然后取最小整数值即可． 【详解】（1）解：若，则方程为：， ， ∴或， 解得：，； （2）解：∵方程没有实数根， ∴， 即， 解得：， ∴的最小整数值为2． ( 题型0 4 )一元二次方程根的判别式与几何结合题 12．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 13．（25-26八年级下·山东烟台·期末）等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：已知边长2为等腰三角形的腰长，或已知边长2为等腰三角形的底边长，分别计算k的值，再用三角形三边关系验证，得到符合条件的结果． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 14．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）（1）解方程： （2）已知：的两邻边，的长是关于x的方程的两个实数根． ①当m为何值时，是菱形？ ②若的长为3，求的周长． 【答案】（1）， （2）①；②18 【分析】本题考查一元二次方程的解法和根的判别式，正确掌握一元二次方程的解法和根的判别式是解题的关键． （1）利用配方法即可求解； （2）①根据菱形的性质“邻边相等”，可得方程有两个相等的实数根，即，即可求解；②根据题意，可得是方程的一个实数根，从而求出m的值，再通过解方程求出，即可求出的周长． 【详解】（1） 解： 或， ，； （2）解：①是菱形， ，即方程有两个相等的实数根， ，即，解得，（不符合题意，舍去）， 当时，是菱形； ②由题可得，是方程的一个实数根， ，解得， 则原方程为，解得，， ， 的周长为：． 1．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于或等于0，求解两个条件后取交集即可得到结果． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得； ∵原方程有实数根 ∴， 展开化简得， 解得， 综上，的取值范围是且． 2．（江苏南京市2025-2026学年第二学期期末试卷八年级数学）已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（     ） ①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根； ③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式为， ①当时，， 若，则，此时方程无实数根，故①错误； ②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确； ③当时，， ∵， ∴， ∴，此时方程无实数根，故③正确； ④当时，， 此时方程总有实数根，故④正确； 综上所述，正确的个数有个． 3．对于实数，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若有两个不相等的实数，满足，则的值可以是（    ） A． B．20 C．202 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算和一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．根据题意得到关于的一元二次方程，然后求得根的判别式的值，再根据有两个不相等的实数，满足，求出的取值范围，再选择即可． 【详解】解：， ， 整理得， 有两个不相等的实数，满足， ，且， ，且， 只有选项A符合， 故选：A ． 4．（2022·河南郑州·三模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】需同时满足二次项系数非零、二次根式被开方数非负、判别式大于0三个条件，取公共部分求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即． ∵二次根式有意义， ∴，即． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得． 综上，的取值范围是且． 5．（25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 6．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是_____． 【答案】没有实数根 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入求出的值，最后计算一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴． ∴一元二次方程为， ∵． ∴该一元二次方程没有实数根． 7．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 【答案】 【分析】将用含和的代数式表示，代入得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程有实根时判别式非负，结合求出的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：由得 ， 将代入得 ， 整理得 ， 两边同除以得 ， 因为为实数，所以关于的一元二次方程有实数根，判别式， 即 ， 因式分解得 ， 因为已知， 所以， 即 故的最小值为． 8．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）计算方程根的判别式，证明判别式恒大于等于0即可证明结论； （2）先因式分解求出方程的两个根，再分和两种情况讨论，结合三角形三边关系舍去不合题意的解，得到m的值． 【详解】（1）略 （2）解：对于一元二次方程， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 即，的长分别为，1． 分两种情况讨论： ①若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为2，2，1，满足三角形三边关系，符合题意． ②若，则，解得， 此时三角形的三边长分别为1，1，2， 由于，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去． 综上所述，． 9．（25-26八年级下·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ， 该方程总有两个实数根； (2) 的值为或 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于0，即可证明方程总有两个实数根； （2）先对方程因式分解得到两个根，再根据一个根是另一个根的2倍分两种情况列方程求解，即可得到的值. 【详解】（1）略 （2）解： ， 解得，， 方程的一个根是另一个根的倍， 分两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，的值为或. 1．（发散思维能力）定义：关于的方程是方程的“倒方程”．有下列五个结论：①的“倒方程”是；②如果是的“倒方程”的解，则；③若一元二次方程没有实数根，则它的“倒方程”也没有实数根；④如果是一元二次方程的根，则是其“倒方程”的根；⑤若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为2026．其中，正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据“倒方程”的定义，逐个验证五个结论，结合一元二次方程解的定义和判别式判断正误，统计正确结论个数得到结果． 【详解】根据定义，原方程的“倒方程”为． ① 原方程为，则，“倒方程”为，与结论给出的不符，故①错误； ② 原方程为，其“倒方程”为，将代入得：，即，解得，符合条件，故②正确； ③ 原一元二次方程没有实数根，则判别式，得， 其“倒方程”为，判别式，故“倒方程”也没有实数根，故③正确； ④ 若是的根，则， ， ，两边同时除以得：，整理，得，即是“倒方程”的根，故④正确； ⑤ 原的“倒方程”为， 是“倒方程”的根， ， 对所求式变形：，故⑤正确． 综上，正确结论共4个，故选C． 2．（分类讨论思想）关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】分为和两类讨论，结合根的判别式求出的取值范围． 【详解】解：①当时，该方程为关于的一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且； ②当时，该方程为关于的一元一次方程， 原方程为，有实数根，符合题意； 综上所述，的取值范围为． 3．（程序问题）按照如图所示的计算程序，若，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．方程有两个相等实数根 B．方程没有实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】先根据如图所示的程序计算出时，输出的b值，再代入方程，然后根据根的判别式解答即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴方程为，即， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 4．（新定义问题）在平面直角坐标系中，定义：横坐标是纵坐标的2倍的点称为“倍横点”． 由此回答下列问题： (1)点________（填“是”或“不是”）“倍横点”；点_______（填“是”或“不是”）“倍横点”； (2)求函数的图象上的“倍横点”坐标； (3)函数的图象上有没有“倍横点”若有，请求出“倍横点”的坐标；若没有，请说明理由． 【答案】(1)是；不是； (2)； (3)没有，理由见解析． 【分析】此题考查了新定义，根据新定义、一次函数和二次函数的图象和性质、一元二次方程根的判别式进行解答即可． （1）根据“倍横点”的定义进行判断即可； （2）设函数图象上的“倍横点”坐标为，把坐标代入函数解析式，即可求出答案； （3）假设函数图象上有“倍横点”，代入二次函数解析式，判断一元二次方程有无实数根即可． 【详解】（1）解：∵是1的2倍，不是的2倍， ∴点是 “倍横点”； 点不是 “倍横点”； 故答案为：是，不是； （2）解：设函数图象上的“倍横点”坐标为， 把点代入得：，解得， ， 所以函数图象上的“倍横点”坐标为； （3）解：没有，理由如下： 假设函数图象上有“倍横点”， 把点代入得，， 整理得： ， 方程没有实数根，所以图象上没有“倍横点”． 5．（代数与几何）如图，中，，，，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)判断的形状； (2)若平分，且，、为方程的两根，求的值． 【答案】(1)直角三角形 (2)6 【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根，运用根的判别式可得，由此可得，由勾股定理逆定理即可求解； （2）如图所示，过点作于点，作延长线于点，根据角平分线的定义和性质可得，，，可证，可得，即一元二次方程两个根相等，再根据根的判别式进行计算，最后根据图形的性质检验根的情况，即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 关于的方程有两个相等的实数根， ∴方程化为一般式为： ∴，整理得，， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图所示，过点作于点，作延长线于点， ∵平分， ∴，且， 由（1）可得，， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∵、为方程的两根， ∴，整理得，， 解得，， 当时，原方程为， 解得，，不符合题意，舍去； 当时，原方程为， 解得，，即，符合题意； ∴的值为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程判别式，勾股定理逆定理判定直角三角形性质，角平分线的定义和性质定理，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用，理解并掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，合理作出辅助线是解题的关键． 6．（新定义问题）如图．四边形是证明勾股定理时用到的一个图形．是和的边长，易知．这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”______________（一个即可）； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明：由题意可知：， ， ， ∴关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． (3) 【分析】（1）直接根据“勾系一元二次方程”的定义写出方程即可； （2）利用勾股定理以及根的判别式进行证明即可； （3）先说明，再结合四边形的周长是可得，进而求得，可得；再利用完全平方公式求得，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由“勾系一元二次方程”的定义可知：是“勾系一元二次方程”． （2）略 （3）解：把代入中得：，即，    ∵四边形的周长是， ， ∴， ，解之得：，     ， ， ，即， ， ， ． 1．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 2．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $