1.4一元二次方程根与系数的关系（分层作业练题型）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 本同步练以“一元二次方程根与系数的关系”为核心，通过A/B/C组及中考拓展的分层设计，构建从基础概念到综合应用的巩固路径，培养运算能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|根的符号判断、两根和积计算及代数式求值|基础选择填空为主，强化概念理解与基本运算| |B组|字母取值范围、几何结合（矩形边长等）|综合解答题，发展逻辑推理与知识迁移能力| |C组|最值问题、新定义探究|开放探究题，提升创新意识与问题解决能力| |拓展|中考真题|对接中考考点，强化应用意识与应试能力|

分层作业 1.4一元二次方程根与系数的关系 目 录 A组 巩固过关 题型01 不解方程，判断一元二次方程根的符号 题型02求一元二次方程根的两根之和与两根之积 题型03求与一元二次方程根的两根之和与两根之积有关的代数式的值 题型04根据一元二次方程根与系数的关系求字母的值或取值范围 题型05已知一元二次方程根的一根，求另一根及字母的值 题型06 一元二次方程根与系数的关系与几何结合题 题型07已知一元二次方程两根之和与两根之积，求作一元二次方程 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )不解方程，判断一元二次方程根的符号 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 ( 题型0 2 )求一元二次方程根的两根之和与两根之积 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东威海·期末）下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程的两个根是和，则_________． ( 题型0 3 )求与一元二次方程根的两根之和与两根之积有关的代数式的值 5．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 6．（25-26八年级下·山东日照·期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山东青岛·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 ( 题型0 4 )根据一元二次方程根与系数的关系求字母的值或取值范围 9．（2024·广东清远·二模）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 10．（25-26九年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 11．（2026·河北唐山·模拟预测）一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·吉林长春·期末）在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 13．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． ( 题型0 5 )已知一元二次方程根的一根，求另一根及字母的值 14．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 15.关于 的一元二次方程 有一个根是 ，求 的值及方程的另一个根． ( 题型0 6 )一元二次方程根与系数的关系与几何结合题 16．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 17．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 18．（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 19．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． ( 题型0 7 )已知一元二次方程两根之和与两根之积，求作一元二次方程 20．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 21．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是__________． 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 3．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 6．（2026·福建福州·模拟预测）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 1．（最值问题）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 2．（新定义问题）对于代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于常数，则称为这个代数式的常定数．例如，对于代数式，当时，代数式的值为1，当时，代数式的值为1，所以0和2是这个代数式的常定数，当时，代数式的值为，不是恒定的常数，所以1不是这个代数式的常定数． (1)判断：__________（是或不是）代数式的常定数． (2)代数式是否有常定数，若有，请求出该代数式的常定数；若没有，请说明理由． (3)已知代数式，当分别为0和1时，代数式的值均为4，若存在两个常定数和，求的值． 1． （2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 2．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.4一元二次方程根与系数的关系 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 不解方程，判断一元二次方程根的符号 1.D 题型02 求一元二次方程根的两根之和与两根之积 2.A3.C 4.3 题型03 求与一元二次方程根的两根之和与两根之积有关的代数式的值 5.c 6.B 7.B 8.B 题型04 根据一元二次方程根与系数的关系求字母的值或取值范围 9.c 10.A 11.c 12. 【详解】(1)解：~一元二次方程2-2x+k=0有两个不相等的实数根， 判别式△=(-2)}2-4×1×k>0, 解得：k<1, .k的取值范围为k<1: (2)解：①根据题意得：方程x2-2x-1=0, 白限与系数的关系得：+=子-2，《-1， ②(x-1)(x2-1) =Xx2-X1-x2+1 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =xx32-(x+x2)+1 =-1-2+1 =-2； (3)解：方程x2-2x+k+1=0有两个实数根， :判别式△=(-2}-4k+1)≥0， 解得：k≤0， 由根与系数的关系得：5+无-子-2、5 1 k+1=k+1≠0， 1 k≠-1， :1+1-5+五=k-1 x x2 xx2 2 ∴.k-1= k+1: 整理得：(k+k-1)=2, 解得：k=V3或k=-√5， k≤0. 13. 【详解】(1)解：，该一元二次方程有两个不相等的实数根， .△=[-2(k+1)]-4k2+2)>0, 架翔： (2)解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 a+B=2(k+1),B=k2+2 ~(a+1)(B+1)=B+(a+B)+1=13. ∴.(k2+2)+2(k+1)+1=13, 整理，得k2+2k-8=0. 解得k=-4或k=2 又：kJ 2 k=2 题型05 已知一元二次方程根的一根，求另一根及字母的值 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.B 15. 【详解】解：设方程的另一个根为x=n, 由根与系数的关系可得-2+n=-, -2n=m 解得 m=-2,n=1, ∴.m的值为-2，方程的另一个根为x=1. 题型0k 一元二次方程根与系数的关系与几何结合题 16.C 17.9 18.V3 19.3 题型07 已知一元二次方程两根之和与两根之积，求作一元二次方程 20.x2-4x+3=0 21.x2=1(答案不唯一) B组 能力进阶 1.c 2.c 3.D 42 5. 【详解】(1)解：：一元二次方程x2-4x-m+5=0有两个实数根， .△=16-4(5-m)≥0 解得m≥1： (2)解：x,x2是该方程的两个根， x+x2=4,xx2=5-m, .x2+x号=(x+x2)2-2x52=42-25-m)=m2-2, 解得m=4,m2=-2, 由(1)可知：m≥1， .m=4 317 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 【详解】(1)解：将m=1代入x2+x-m=0,得x2+x-1=0, △=1P-4×1×(-)=5>0, x=1±5 2 ax=1505=15<0, 2 2 “黄金分割数”为 -1+V5 2； (2)解：.a2+a-m=0,b2+3b-9m=0, ( 将公+3动-9m=0两边同时除以g得+兮m=0, .3a≠b, b a≠ 3 b a'3是一元二次方程x2+x-m=0的两个不相等的实数根， a+3-, 3a+b=-3; (3) 证明： ,p+p-m=mq①，q+9-m=mp②， ①-②得：p-9+p-9=m(q-p), 整理得：(p-9(p+9)+(p-9)=-m(p-q), p≠9， ∴.p-9≠0， 等式两边同时除以p-9得：p+9+1=-m,即p+9=-m-1, ∴.9=-m-1-p 将9=-m-1-p代入①得：p2+p-m=m(-m-1-p), 整理得：p2+p-m=-m2-m-mp, 移项整理得：p2+(1+m)p+m2=0, 4/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理，将p=-m-1-9代入②，整理得q+(1+m)q+m2=0, p≠9 ∴p,9是一元二次方程x2+1+m)x+m=0的两个不相等的实数根， .pq=m2 2 【详解】(1)证明：：x2+(a-2)x-2=0, ax2+ax-2x-2=0, (ax2+ax)-(2x+2)=0. ax(x+1)-2(x+1)=0, (x+1)(ax-2)=0, 解得：：-1=2 ∴.无论a取何值，-1是方程①的一个根： (2):关于x的一元二次方程ar2+(a-2)x-2=00(a为常数，且a≠0)的两个根分别为，， 一根据根与系数的关系，：+5=-a-2.飞 2 a,=-3 _a .1+1=x+五=a-2 心xxx2’ x<0,x3>0, 2 5=-。<0,即a>0 .a>1,a>0, a>1, .a-2>-1, 、a-2>-1 :.2 2 1,1、1 (3)由(1)得无论a取何值，-1是方程①的一个根， 又x<0,x2>0」 =-1, 517 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设a2+(a-2)x-2=a3-4a+c的一个根为5， axr2+(a-2)x-2=a3-4a+c的一个根比方程①的根x大a, .3=a-1. 把x=a-1代入ar2+(a-2)x-2=a3-4a+c中， a(a-l)+(a-2)(a-l)-2=a3-4a+c, 整理得：c=-a2+2a=-(a2-2a+1)+1=-(a-1+1, -(a-1)≤0，则-(a-1)+1≤1， ∴.c的最大值为l. .x+x2=7 C组 思维拔高 1.C 2. 【详解】(1)解：当x=2时，代数式的值为mx2-3mx+4=4m-6m+4=-2m+4,不是恒定的常数， 所以x=2不是这个代数式的常定数； (2)解：有常定数，常定数为0和5 理由：若mr2-5mr+4=m(r2-5r)+4有常定数， 则x2-5x=0, 解得x=0或x=5 故代数式mx2-5mx+4有常定数，常定数为0和5： (3)解：当x=1时，代数式mx2-2x+4的值为4， ∴，m-2n+4=4, .m=2n t-旷-nt-6m ×2ax-3-a6x-3)-6m =n(x-3}2-n(x-3)-6n =n[(x-3y-(x-3)-6], 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :2mx-3》-mx-3)-6m存在两个常定数x和5 .(x-3-(x-3)-6=0,即x2-7x+6=0, 拓展 链接中考 1 2. 【详解】(1)证明：原方程为x2-(2k+1)x+2+k-2=0, .△=[-(2k+1)]-4×1×(k2+k-2) =4k2+4k+1-4k2-4k+8 =9>0, ∴方程有两个不相等的实数根 (2)解：方程的两个实数根为，x2, .+x2=2k+1,xx2=k2+k-2, x=2x2」 .2x3+x2=2k+1 2k+1 .x3= 3, 2(2k+1) .水= 3” 代入西=2+k-2得： 22k+y=k2+k-2, 9 整理得k2+k-20=0, 解得k=4或k=-5】 717 分层作业 1.4一元二次方程根与系数的关系 目 录 A组 巩固过关 题型01 不解方程，判断一元二次方程根的符号 题型02求一元二次方程根的两根之和与两根之积 题型03求与一元二次方程根的两根之和与两根之积有关的代数式的值 题型04根据一元二次方程根与系数的关系求字母的值或取值范围 题型05已知一元二次方程根的一根，求另一根及字母的值 题型06 一元二次方程根与系数的关系与几何结合题 题型07已知一元二次方程两根之和与两根之积，求作一元二次方程 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )不解方程，判断一元二次方程根的符号 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 【答案】D 【分析】先计算根的判别式判断根的个数，再根据两根之积的符号判断根的符号，即可得到结论． 【详解】∵对于一元二次方程，，，， ∴根的判别式， ∵， ∴，方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根为，，由根与系数的关系得， ∴方程的两根异号， ∴方程有两个不相等的异号实数根． ( 题型0 2 )求一元二次方程根的两根之和与两根之积 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 3．（25-26八年级下·山东威海·期末）下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判别式判断方程是否有两个实数根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：A． ，，该方程有实根，，不符合题意； B． ，，该方程有实根，且，不符合题意； C． ，，该方程有实根，且，符合题意； D． ，，该方程无实根，不符合题意 4．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程的两个根是和，则_________． 【答案】3 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴． ( 题型0 3 )求与一元二次方程根的两根之和与两根之积有关的代数式的值 5．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 6．（25-26八年级下·山东日照·期末）已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 7．（25-26八年级下·山东青岛·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求代数式通分变形代入计算即可求解． 【详解】∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴． 8．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． ( 题型0 4 )根据一元二次方程根与系数的关系求字母的值或取值范围 9．（2024·广东清远·二模）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 【答案】C 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 10．（25-26九年级下·山东烟台·期末）若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 【详解】解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 11．（2026·河北唐山·模拟预测）一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程两根异号的性质，结合根与系数的关系和判别式列不等式组求解即可． 【详解】解：设方程的两根为， ∵两根异号， ∴，， ∴，解得：． ∴a的取值范围是． 12．（25-26八年级下·吉林长春·期末）在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2)① ，；② (3) 【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根得判别式大于0，解不等式得到k的取值范围； （2）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果； （3）先由方程有两个实数根得判别式非负，再利用根与系数关系变形已知等式得到关于的方程，求解后舍去不符合条件的解得到的值． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 的取值范围为； （2）解：①根据题意得：方程， 由根与系数的关系得：，， ② ； （3）解：方程有两个实数根， 判别式， 解得：， 由根与系数的关系得：、， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ． 13．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【详解】（1）解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； （2）解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． ( 题型0 5 )已知一元二次方程根的一根，求另一根及字母的值 14．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）若关于的一元二次方程的一个实数根为1，则另一实数根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原方程的另一个实数根为，由根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：设原方程的另一个实数根为， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个实数根为． 15.关于 的一元二次方程 有一个根是 ，求 的值及方程的另一个根． 【答案】m的值为，方程的另一个根为; 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，设方程的另一个根为 ，由根与系数的关系可得 ，解方程即可得到答案． 【详解】 解：设方程的另一个根为 ， 由根与系数的关系可得 ， 解得 ， ∴m的值为，方程的另一个根为． ( 题型0 6 )一元二次方程根与系数的关系与几何结合题 16．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 17．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之积，长方形面积为相邻两边长的乘积，即可得到结果． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别为和． 根据根与系数的关系可得：． 长方形相邻两边长是该一元二次方程的两个根， 这个长方形的面积为． 18．（25-26八年级下·浙江金华·期末）已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 【答案】 【分析】设矩形两条边长分别为，，由题意得，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理表示出矩形对角线长，利用完全平方公式变形计算即可得到结果． 【详解】解：设矩形的两条边长分别为，． 由题意得，，是一元二次方程的两个根， ∴，． ∵矩形的对角线长为， ∴． 19．（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 【答案】 3 【分析】利用根与系数的关系得到菱形两条对角线的乘积，结合菱形面积公式计算结果即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根， ∴菱形两条对角线的乘积为， ∵菱形的面积等于对角线乘积的， ∴菱形的面积为． ( 题型0 7 )已知一元二次方程两根之和与两根之积，求作一元二次方程 20．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一元二次方程的两个根为，，且，，那么这个一元二次方程是_____. 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵，， ∴， ∴这个一元二次方程是． 21．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算得到方程的系数，即可写出符合要求的方程． 【详解】解：∵两根分别为和， ∴两根之和为：， 两根之积为：， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系得：，， 代入得：，，即，， ∴这个方程可以是：． 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴， 将，代入得：． 2．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】由题意可知，两个不相等的实数，都满足同一个二次关系式，因此，是一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ， 将代入所求代数式得： ． 3．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）已知，是方程的两个根，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，结合根与系数的关系代入求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∵， 同理可得， ∴． 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 【答案】 【详解】解：当时，方程左边， ． 将方程的两边同时，得． ，即， 为一元二次方程的两个不相等的解， ∴由韦达定理得． 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 6．（2026·福建福州·模拟预测）学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展探究． (1)当时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”； (2)若实数a，b满足，，且，求的值； (3)若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明： ∵①，②， ①②得：， 整理得：， ∵， ∴， 等式两边同时除以得：，即， ∴ 将代入①得：， 整理得：， 移项整理得：， 同理，将代入②，整理得， ∵， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴. 【分析】（1）代入，利用求根公式求出方程的正根即可； （2）将已知等式变形，得到和是原一元二次方程的两个不相等根，利用根与系数的关系求出的值； （3）对两个已知等式作差，结合得到的关系式，再推导出，是新一元二次方程的两个根，利用根与系数关系证明结论. 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴“黄金分割数”为； （2）解：∵，， 将两边同时除以，得， ∵， ∴， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； （3）略 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，，且，． (1)求证：无论取何值，是方程①的一个根． (2)当时，求的取值范围． (3)若关于的一元二次方程（为常数，且）的一个根比方程①的根大，求的最大值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， ， ， 解得：，， ∴无论取何值，是方程①的一个根； (2) (3)的最大值为 【分析】（1）运用提公因式解一元二次方程，即可证明； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，再根据，，推出，可得的取值范围，结合题意求出最后的取值范围，再化简代入，求解即可； （3）先根据题意求出，设的一个根为，再根据题意推出，将代入求出，最后根据配方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵关于的一元二次方程①（为常数，且）的两个根分别为，， ∴根据根与系数的关系，，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）∵由（1）得无论取何值，是方程①的一个根， 又∵，， ∴， 设的一个根为， ∵的一个根比方程①的根大， ∴， 把代入中， ， 整理得：， ∵，则， ∴的最大值为． ∴. 1．（最值问题）已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 2．（新定义问题）对于代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于常数，则称为这个代数式的常定数．例如，对于代数式，当时，代数式的值为1，当时，代数式的值为1，所以0和2是这个代数式的常定数，当时，代数式的值为，不是恒定的常数，所以1不是这个代数式的常定数． (1)判断：__________（是或不是）代数式的常定数． (2)代数式是否有常定数，若有，请求出该代数式的常定数；若没有，请说明理由． (3)已知代数式，当分别为0和1时，代数式的值均为4，若存在两个常定数和，求的值． 【答案】(1) 不是 (2) 有常定数，常定数为和 (3) 【分析】（1）根据常定数的定义判断即可； （2）原式变形为，根据常定数的定义得出，解方程即可； （3）先根据当时，代数式的值为4，求出，代入并化简得，根据常定数的定义得出，化简后根据根与系数的关系求解即可. 【详解】（1）解：当时，代数式的值为，不是恒定的常数， 所以不是这个代数式的常定数； （2）解：有常定数，常定数为和 理由：若有常定数， 则， 解得或 故代数式有常定数，常定数为和； （3）解：当时，代数式的值为4， ∴， ∴， ∴ ， ∵存在两个常定数和， ∴，即， 1．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取代入最大值时，取得最小值，最小值为． 2．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $