1.4一元二次方程根与系数关系—对标课时练 2026--2027学年青岛版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础应用、参数求解到综合拓展的三层设计，实现从概念理解到运算推理再到实际应用的知识巩固，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|根与系数关系直接应用|选择、填空题（1-6题），直接求两根和、积及简单变形，强化概念理解| |提升层|含参数方程的根的性质|解答题（7-15题），结合判别式求字母值（如第9题），培养推理意识| |综合层|跨情境综合应用|几何结合（14题等腰三角形面积）、阅读理解（18题），发展应用意识|

1.6 一元二次方程根与系数关系 册对点练 知识点1利用根与系数的关系求两根之间的关系 1.若一元二次方程x2-5x+2=0的两个根为，七，则+() A.-2 B.2 C.-5 D.5 2.若一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是，七，则x的值是() A.3 B.-3 C.-4 D.4 3.若一元二次方程2x2-3x-8=0的两个根为m,n,则m2n+mn2的值是 n m 4.己知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m,n,则mn的值为 5.已知方程x2-3x-4=0的两根为x,3,则(x+2)(:+2)的值为 6.已知，x是一元二次方程x一3x-1=0的两根，不解方程求下列各式的值： 1+1 )-1x3-D:(②：2 知识点2利用根与系数的关系求方程中待定字母的值 7.若关于x的一元二次方程x2+bx+C=0的两个实数根分别为=-2，名=4，则b+c的值是() A.-10 B.10 C.-6 D.-4 8.若关于x的方程x2+mx-12=0的一个根是3，则此方程的另一个根是」 9.已知本是方程2x2+c-2=0的两个实数根，且G-2(名-2)=10，则k的值为 10.已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的实数根是，X2满足3xx2-:-x>2,则m的取值范 围是 能力达标练 11.已知m,n是关于x的方程x2+3x-1=0的两个根，则m2+4m+n的值为() A.-2 B.2 c.-4 D.4 12.已知名是方程x2-x-2026=0的两个实数根，则代数式x-2026x+x的值是() A.4052 B.4053 C.2026 D.1 13.如果m,n是两个不相等的实数，且满足m2+m=3,n+n=3,那么代数式3m2-mn-3m的值 是() A.16 B.15 C.12 D.9 14.若等腰△4ABC的一边长6，另两边长恰好是关于x的方程x-10x+m=0的两个实数根，则△4BC 的面积为 15.(易错)已知是一元二次方程x+2(m+)x+m-1=0的两个实数根，且满足 (x-x2)2=16-Xx2,实数m的值为一 16.甲、乙两同学解方程x+px+9=0,甲看错了一次项系数，得根为2和7，乙看错了常数项，得根 为1和-10，则原方程为 23 17.已知关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0 (1)若方程有实数根，求a的取值范围. (②是否存在这样的实数a,使方程的两根，七满足士+x+x·书，=3若存在，求出实数Q的值：若不 存在，请说明理由， 拔高提升练 18.阅读材料： 村料1：关于x的一元=次方程r+c+C=0的两个实数根，和系数4,6，C有如下关系： +5=- a’出6=C a a 材料2：已知一元二次方程x-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求mn+mn2的值 解：m,n是一元二次方程X-x-1=0的两个实数根， :.m+n=l,mn=-1 m'n+mn'=mn(m+n)=-1x1=-1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题 ①)应用：一元二次方程2x+3x-1=0的两个实数根为，名，则×+名=一，6= 3 ②类比：已知一元二次方程2r+3x-1=0的两个实数根为m,”,求m2+m的值： 11 (6)提升：已知实数S,t满足2s2+3s-1=0,21+3-1=0,且s≠t,求sf的值 解析： 里部对点练 知识点1利用根与系数的关系求两根之间的关系 1.若一元二次方程x2-5x+2=0的两个根为，2，则+() A.-2 B.2 c.-5 D.5 答案：D 解析：”一元二次方程r-5x+2=0的两个根为，名 4 b-5 x+X2=-一=- =5 a 1 故选D选项 2.若一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是，，则2的值是() A.3 B.-3 C.-4 D.4 答案：A 解析：“一元二次方程X-4x+3=0的两个根为，方 c 3 X1X2=二==3 a I 故选A选项 3.若一元二次方程2x2-3x-8=0的两个根为m,n,则m2n+mn2的值是 答案：6 解析：“”一元二次方程2r-3x-8=0的两个根为m,n m+n=-二33 2m:n=,8-4 21 6 mn+m2=mm(m+m）=-4x3 ”+m 4.已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m,n,则mn的值为 答案：-13/2 解析：”一元二次方程2x-3x-1=0的两个根为m,n n+n=-二33 22mn=1 22 m2+n2=(m+m)2-2mn= 3 13 n,m_m2+n2_4 13 m n mn 41=-2 2 5.已知方程x2-3x-4=0的两根为，名，则：+2)：(：，+2)的值为 答案：6 解析；：方程r-3x-4=0的两根为，与 -3-1=0+6=月35%44 .(x+2)(x2+2)=x2+2(x+x2)+4=-4+2×3+4=6 6.已知，x是一元二次方程-3x-1=0的两根，不解方程求下列各式的值： L+1 x-13-0；②： 解析：“方程x-3x-1=0的两根为，七 x+5=-3-3,6=-1 1 1 @6-05-=4-(G+)+1=3-(←0+1=5 上+L=+8=3=3 2名61 6 知识点2利用根与系数的关系求方程中待定字母的值 7.若关于x的一元二次方程x2+bx+C=0的两个实数根分别为=-2，七=4，则b+C的值是() A.-10 B.10 C.-6 D.-4 答案：A 解析：：一元二次方程X+bx+c=0的两个根为，书 x+5=。名b5%=99=c a 1 a 1 =-2,32=4 +名=2.xx=-8 :-b=2.c=-8 :b=-2.c=-8 :6+c=-2+(-8)=-10 故选A选项。 8.若关于x的方程x2+mx-12=0的一个根是3，则此方程的另一个根是 答案：4 解析：·由题知一元二次方程t+m心-12=0的有两个根，设这两根为，3 5为=￡=-12 -12 a I ·其中一个根是3，不妨设为=3 .另一个根=为2÷X=-12÷3=-4 9.已知本是方程2x2+x-2=0的两个实数根，且（化-2x,-2)=10,则k的值为一 答案：7 解析：一元二次方程2r+c-2=0的两个根为，x k x1+X2=- 2= 2 2 .(:-2)05-2)=10 :3-2(+5)+4=10 -1-2× +4=10 2 即 解得，k-7 10.已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的实数根是满足3xx2-,->2,则m的取值范 围是 答案：2<m≤4 解析：一元二次方程x2-4x+m=0有两个根 :△=62-4ac=(-42-4x1xm=16-4m≥0 解得，m≤4 :一元二次方程r-4x+m=0的两个根为，名 5+为s-4 1 =4xx2= m二m 1 36-x->2 :3m-4>2 解得，m>2 .2<m≤4 能力达标练 11. 已知m,”是关于x的方程x2+3x-1=0的两个根，则m2+4m+n的值为() A.-2 B.2 C.-4 D.4 答案：A 解析：：m,”是关于x的方程x2+3x-1=0的两个根 3 m+n=- 2=-3 将x=m代入方程x2+3x-1=0,得m2+3m-1=0 m2=-3m+1 :m+4m+n=-3m+l+4m+n=m+n+1=-3+1=-2 故选A选项 12.已知是方程2-x-2026=0的两个实数根，则代数式-2026x+名的值是() A.4052 B.4053 C.2026 D.1 答案：B 解析：，是方程x2-x-2026=0的两个实数根 x+%=-=1,53= -2026=-2026 1 1 将=代入方程2-x-2026=0,得x2-x-2026=0 移项，得七=x+2026 方程两边同乘x,得x=x+2026x x3-2026x+x32=x2+2026x-2026x+x2=x2+x2=(G+x)2-2xx2 =(1①)2-2×(-2026=4053 故选B选项. 13.如果，”是两个不相等的实数，且满足m+m=3,n+n=3,那么代数式32-mm-3m的值 是() A.16 B.15S c.12 D.9 答案：B 解析：m,n满足m2+m=3,n2+n=3 .m,n是方程x2+x=3的两个根 x2+x-3=0 移项，得 将=”代入方程x+x-3=0,得2+m-3=0 2=-n+3 移项，得 3n2-mn-3m=3(-n+3)-mn-3m=-3(m+m)-mn+9=-3×(-1)-(-3)+9=15 故选B选项. 10 14.若等腰△4BC的一边长6，另两边长恰好是关于x的方程x-10x+m=0的两个实数根，则△4BC 的面积为 答案：B 解析：当等腰△ABC的腰长为6时，则方程x-10x+m=0的一个解为x=6 将x=6代入x2-10x+m=0,得62-10×6+m=0 解得，m=24 “原方程为-10x+24=0 :x-4x-6)=0 解得，=4，x2=6 :等腰△4BC的三边分别为6,6,4 如图，AB=AC=6,BC-4,过A点作AH⊥BC交BC于点H 1 ∴.CH=2BC=2 在R△ACH中，AC=6,CH2,AH=VAC2-Cf=V62-2=42 S度8c4H-4x42=8D A 6 B H 4 当等腰△4BC的底长为6时，则方程x2-10x+m=0有两个相等根 11 :4=b2-4ac=102-4m=0 解得，m=25 “原方程为2-10x+25=0 :x-5y2=0 解得，=七2=5 :等腰A4BC的三边分别为5,5,6 如图，AB=AC-5,BC=6,过A点作AH⊥BC交BC于点H 1 ∴.CH=2BC=3 在Rt△4CH中，AC5,CH,AH=V√AC2-CH2=V52-32=4 S号8cH=6x4=12 A 5 6 Hh B 6 C 综上，△1BC的面积为82或12 15.(易错)已知，是一元二次方程x+2(m+1)x+m-1=0的两个实数根，且满足，实数m的值 为 答案：1 解析：：2是一元二次方程r+2(m+)x+m2-1=0的两个实数根 x+x2=-2(m+1),mn=m2-1 12 .压-6P=16-5 x2-2.x52+x22+x52=16 (x+x2)2-3xx2=16 [2(m+1)]2-3(m2-1)=16 m2+8m-9=0 整理得， (m+9)(m-1)=0 解得，m=-9,m2=1 :方程x+2(m+1)x+m-1=0有两个实数根 b2-4ac=[2(m+1)]2-4(m2-1)≥0 8m+8≥0 整理得， 解得’ m≥2-1 m=-9舍去 .m=1 16.甲、乙两同学解方程x+p心+q=0,甲看错了一次项系数，得根为2和7，乙看错了常数项，得根 为1和-10，则原方程为 答案：x2+9x+14=0 解析：，甲看错了一次项系数，得根为2和7 2x7-9=9 13 :914 :乙看错了常数项，得根为1和-10 1+(-10)=-号 P=9 ∴.原方程为x2+9x+14=0 17.己知关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0 (1)若方程有实数根，求a的取值范围. (②是否存在这样的实数0，使方程的两根，x满足+戈+，·x,=3?若存在，求出实数a的值；若不 存在，请说明理由. 解析： (1)解：.方程有实数根 b2-4ac=(-4)2-4(a-5)×(-1)=4a-4≥0 解得，a之1 ∴.a的取值范围是a≥1 2)解：？是方程(a-5)x2-4x-1=0的两根 :+4 -5’5=- 1 a-5 4 :a-5a-5=3 解得a=6 14 存在这样的实数Q=6,使方程的两根七满足+为+x3=3 拔高提升练 18.阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程a心+br+C=0的两个实数根，女和系数0，b,C有如下关系： x+为=-名，x=C b a a 材料2：已知一元二次方程x-x-l=0的两个实数根分别为m,”,求mn+mn2的值 解：：m,n是一元二次方程x-x-1=0的两个实数根， ..m+n=1,mn=-1 m'n+mn=mn(m+n)=-1x1=-1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： ⑩应用：一元二次方程2r+3x-1=0的两个实数根为，为，则4+名=一， XX2= (②类比：已知一元二次方程2x+3x-1=0的两个实数根为m,n,求m2+n2的值： 11 )提升：已知实数5，t满足2s2+3-1=0,21+3-1=0,且s≠t,求s1的值 解析： 1)解：，名是方程2r+3x-1=0的两根 3 .+为3= 261 2 (2解：：m,n是方程2x+3x-1=0的两根 15 m+n=- 2 mn=-1 m2+n2=(m+n）2-2mn= (3)解：实数9，【满足2s2+38-1=0,22+3t-1=0 实数S,t可看作方程2x2+3x-1=0的两根 +ts3 --a*0--号 1-s=t7 2 V7 I-s=/7 1_1-s=2=-17 s t st 1 2时， 2 当 7 11_t-s 。7 = t-s=- s t st 子 2时， 当 11 综上，s1的值为7或√⑦ 16 L