1.3 一元二次方程的根与系数的关系（题型专练）数学苏科版九年级上册

1.3 一元二次方程的根与系数的关系 题型一 根与系数的关系的简单套用 1．（2025·仪征市·一模）已知x1，x2是方程x2﹣8x+6＝0的两个实数根，则x1+x2的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 2．（2025·亭湖区·三模）若x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝﹣2 B．x1+x2＝2 C．x1x2＝3 D． 3．（2024·秦淮区·模拟）若x1，x2是方程x2﹣ax﹣2＝0的两个根，则（　　） A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0 4．（2024·秦淮区·期末）下列一元二次方程中，两根之和是6的是（　　） A．x2+6x﹣1＝0 B．x2﹣6x﹣1＝0 C．x2﹣x+6＝0 D．x2﹣x﹣6＝0 题型二 已知方程的一个根，求另一个根 1．（2025·崇川区·期末）方程﹣2x2+kx﹣3＝0的一个根为2，则另一个根为（　　） A． B．1 C． D． 2．（2023·广陵区·期末）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是﹣7，则另一个根是（　　） A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3 3．（2025·宿城区·二模）已知关于y的方程y2﹣ky+2025＝0的一个根1，则方程的另一个根为　　． 4．（2025·海陵区·期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣5＝0． （1）若方程有两个相等的实数根，求m的值； （2）若方程有一个根是﹣1，求另一个根． 题型三 求关于根的代数式的值——对称型 1．（2025·扬州·模拟）已知x1、x2是方程x2﹣6x﹣3＝0的两个实数根，则（　　） A．﹣2 B． C．2 D． 2．（2025·沛县·三模）已知方程x2﹣5x﹣2＝0的两个解分别为x1，x2，则的值为　　． 3．关于方程x2+2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．两实数根的和为﹣2 C．两实数根的差为2 D．两实数根的积为﹣4 4．（2025·淮安·期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当m＝1时，方程的两个根是x1，x2，求x1+x2+3x1x2的值． 题型四 求关于根的代数式的值——非对称型 1．（2025·如皋市·期末）设m，n分别为方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣3m﹣5n＝　　． 2．（2025·崇川区·月考）已知方程x2﹣2025x+1＝0的两根分别为m、n，则的值为　　． 3．（2024·太仓市·期末）已知a，b（a≠b）是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式a2﹣2025+b的值为　　． 4．（2024·锡山区·月考）若α，β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为　　． 题型五 已知方程的两根或两根的关系式，求参数 1．（2025·南京·二模）若关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根分别为1和﹣2，则b＝　　，c＝　　． 2．（2022·江阴市·期末）已知关于x的一元二次方程x2+10x+2a+6＝0，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（　　） A．或5 B．或﹣5 C． D．5 3．（2025·玄武区·一模）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根，且x1＝x2（2x1﹣1），则k的值为　　． 4．（2025·崇川区·月考）关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0的有两个实数根为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若|x1﹣x2|＝1，求m的值． 题型六 已知方程的两根，反写方程 1．（2024·新吴区·期末）请写出一个以﹣3和4为根的一元二次方程：　　． 2．（2025·高新区·月考）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（　　） A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0 题型七 结合根与系数的关系判断方程的根的情况 1．（2025·鼓楼区·模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2kx﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根且两根异号 C．有两个不相等的实数根且两根同号 D．没有实数根 2．（2023·靖江市·三模）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　） A．x1+x2＞0 B．x1•x2＜0 C．x1≠x2 D．方程必有一正根 题型一 求关于根的代数式的值（升级版） 1．（2024·鼓楼区·月考）若方程﹣x2+px+q＝0的一个根大于1，另一根小于1，则p+q的值（　　） A．不大于1 B．大于1 C．小于1 D．不小于1 2．（2024·丹阳市·期中）若m，n为方程x2+2024x﹣1＝0的两根，则（m2+2025m﹣1）（n2+2025n﹣1）的值（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣4049 D．4049 3．（2024·高邮市·期中）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是m，两根之积是n，则关于t的方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0的两根之积是（　　） A．n+m﹣1 B．n+m+1 C．n﹣m+1 D．n﹣m﹣1 4．（2025·宿城区·月考）已知实数m，n满足3m2﹣7m﹣2＝0，2n2+7n﹣3＝0，且mn≠1，求的值（　　） A． B． C．3 D． 5．（2023·昆山市·模拟）若x1，x2是方程x2＝2x+2023的两个实数根，则代数式22023x2的值为　　． 题型二 结合判别式和两根的关系式求参数——小题 1．（2025·洪泽区·一模）若关于x的方程x2+（m+1）x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．2 2．（2025·泗洪县·二模）若关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．2 3．（2025·苏州·模拟）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3 4．（2024·姜堰区·期中）已知一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝3，若方程x2+bx+c＝p（p为常数）的两根均为正数，则p的取值范围是（　　） A．﹣4＜p＜﹣3 B．﹣4＜p≤﹣3 C．﹣4≤p＜﹣3 D．﹣4≤p≤﹣3 题型三 结合判别式和两根的关系式求参数——大题 1．（2025·如皋市·月考）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2（m+1）x+m+1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣m，求实数m的值． 2．（2025·泗阳县·一模）阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2， 那么，．借助该材料完成下列各题： （1）若x1，x2是方程x2+6x﹣3＝0的两个实数根，则x1+x2＝　　，　　． （2）若x1，x2是方程的两个实数根，且，求m的值． 3．（2023·江阴市·月考）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足14，求4x2﹣10的值． 1．（2023·建湖县·模拟）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为　　． 2．（2024·海门区·模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个． ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·昆山市·模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）下列方程是三倍根方程的是　　； ①x2﹣3x+2＝0； ②x2﹣3x＝0； ③x2﹣8x+12＝0． （2）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0是“三倍根方程”，则c＝　　； （3）若x2﹣（m+n）x+mn＝0是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值． 4．（2024·宝应县·月考）若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，且满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）判断下列方程是否是“差根方程”： ①x2﹣4x+4＝0　　；②　　；（填是或否） （2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请写出a与b之间的数量关系式． 5．（2025·苏州·期中）材料1：法国数学家弗朗索瓦•韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：x1+x2； 材料2：如果实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0、n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可利用根的定义构造一元二次方程x2﹣x﹣1＝0，将m、n看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： （1）已知实数m、n满足3m2﹣m﹣2＝0、3n2﹣n﹣2＝0，求的值． （2）已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣5、ab，且c＜5，求c的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 一元二次方程的根与系数的关系 题型一 根与系数的关系的简单套用 1．（2025·仪征市·一模）已知x1，x2是方程x2﹣8x+6＝0的两个实数根，则x1+x2的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6 【详解】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝8． 故选：A． 2．（2025·亭湖区·三模）若x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝﹣2 B．x1+x2＝2 C．x1x2＝3 D． 【详解】解：由条件可知：x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣3． 故选：A． 3．（2024·秦淮区·模拟）若x1，x2是方程x2﹣ax﹣2＝0的两个根，则（　　） A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0 【详解】解：∵Δ＝（﹣a）2﹣4×（﹣2）＝a2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数解，即x1≠x2，故A符合题意； 根据根与系数的关系得x1+x2＝a，x1x2＝﹣2＜0， ∴方程的两个根异号，故C、D不合题意； ∵a的符号不能确定， ∴B不合题意． 故选：A． 4．（2024·秦淮区·期末）下列一元二次方程中，两根之和是6的是（　　） A．x2+6x﹣1＝0 B．x2﹣6x﹣1＝0 C．x2﹣x+6＝0 D．x2﹣x﹣6＝0 【详解】解：A、方程x2+6x﹣1＝0的两根之和为﹣6，故A错误； B、方程x2﹣6x﹣1＝0的两根之和为6，故B正确； C、Δ＝（﹣1）2﹣4×6＜0，方程没有实数解，故C错误； D、方程x2﹣x﹣6＝0的两根之和为1，故D错误． 故选：B． 题型二 已知方程的一个根，求另一个根 1．（2025·崇川区·期末）方程﹣2x2+kx﹣3＝0的一个根为2，则另一个根为（　　） A． B．1 C． D． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得：2t，解得：t， ∴方程的另一个根为． 故选：C． 2．（2023·广陵区·期末）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是﹣7，则另一个根是（　　） A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3 【详解】解：设另一个根为t， 根据根与系数的关系得：，解得：t＝2， ∴方程的另一个根为2． 故选：B． 3．（2025·宿城区·二模）已知关于y的方程y2﹣ky+2025＝0的一个根1，则方程的另一个根为　　． 【详解】解：设y2﹣ky+2025＝0的一个根为a， 根据根与系数的关系得：a×1＝2025，解得：a＝2025， ∴方程的另一个根为2025． 故答案为：2025． 4．（2025·海陵区·期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣5＝0． （1）若方程有两个相等的实数根，求m的值； （2）若方程有一个根是﹣1，求另一个根． 【详解】解：关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣5＝0，a＝1，b＝﹣4，c＝3m﹣5， （1）Δ＝b2﹣4ac ＝（﹣4）2﹣4×1×（3m﹣5） ＝16﹣12m+20 ＝﹣12m+36， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即﹣12m+36＝0， ∴m＝3； （2）设方程的另一个根为x2， ∵﹣1+x2，即﹣1+x2＝4， ∴x2＝5． 题型三 求关于根的代数式的值——对称型 1．（2025·扬州·模拟）已知x1、x2是方程x2﹣6x﹣3＝0的两个实数根，则（　　） A．﹣2 B． C．2 D． 【详解】解：∵x1、x2是方程x2﹣6x﹣3＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣3， ∴． 故选：A． 2．（2025·沛县·三模）已知方程x2﹣5x﹣2＝0的两个解分别为x1，x2，则的值为　　． 【详解】解：∵方程x2﹣5x﹣2＝0的两个解分别为x1，x2， ∴x1+x2＝5，x1x2＝﹣2， ∴． 故答案为：﹣10． 3．关于方程x2+2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．两实数根的和为﹣2 C．两实数根的差为2 D．两实数根的积为﹣4 【详解】解：A、Δ＝22﹣4×1×（﹣4）＝4+16＝20＞0，则该方程有两个不相等的实数根，故不合题意； B、设方程的两个为α，β，则α+β＝﹣2，故不合题意； C、设方程的两个为α，β，则α﹣β＝±±2，故符合题意； D、设方程的两个为α，β，则α•β＝﹣4，故不合题意． 故选：C． 4．（2025·淮安·期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当m＝1时，方程的两个根是x1，x2，求x1+x2+3x1x2的值． 【详解】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+4）]2﹣4×1•（2m﹣1） ＝m2+20， ∵m2≥0， ∴Δ＞0， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：当m＝1时，方程为x2﹣5x+1＝0， 由根与系数的关系可知：x1+x2＝5，x1x2＝1， ∴x1+x2+3x1x2＝5+3＝8． 题型四 求关于根的代数式的值——非对称型 1．（2025·如皋市·期末）设m，n分别为方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣3m﹣5n＝　　． 【详解】解：∵m，n分别为方程x2+2x﹣2025＝0的两个实数根， ∴m2+2m﹣2025＝0，m+n＝﹣2， ∴m2+2m＝2025， ∴m2﹣3m﹣5n＝m2+2m﹣5m﹣5n＝m2+2m﹣5（m+n）＝2025﹣5×（﹣2）＝2035． 故答案为：2035． 2．（2025·崇川区·月考）已知方程x2﹣2025x+1＝0的两根分别为m、n，则的值为　　． 【详解】解：由条件可知：x1x2＝1，， ∴， ∴． 故答案为：﹣1． 3．（2024·太仓市·期末）已知a，b（a≠b）是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式a2﹣2025+b的值为　　． 【详解】解：∵a，b（a≠b）是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根， ∴a2﹣a﹣2024＝0，a+b＝1， ∴a2﹣2024＝a， ∴a2﹣2025+b＝a+b﹣1＝1﹣1＝0． 故答案为：0． 4．（2024·锡山区·月考）若α，β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为　　． 【详解】解：∵α、β为方程2x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根， ∴2α2﹣5α﹣1＝0，α+β，αβ， ∴2α2＝5α+1， ∴2α2+3αβ+5β＝5α+1+3αβ+5β＝5（α+β）+3αβ+1＝53×（）+1＝12． 故答案为：12． 题型五 已知方程的两根或两根的关系式，求参数 1．（2025·南京·二模）若关于x的方程x2+bx+c＝0的两个根分别为1和﹣2，则b＝　　，c＝　　． 【详解】解：由题意可得：1+（﹣2）＝﹣b，1×（﹣2）＝c，解得：b＝1，c＝﹣2． 故答案为：1，﹣2． 2．（2022·江阴市·期末）已知关于x的一元二次方程x2+10x+2a+6＝0，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（　　） A．或5 B．或﹣5 C． D．5 【详解】解：设x1、x2关于x的一元二次方程x2+10x+2a+6＝0，x1＝m，x2＝4m， ∴，解得：a＝5． ∴a的值为5． 故选：D． 3．（2025·玄武区·一模）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根，且x1＝x2（2x1﹣1），则k的值为　　． 【详解】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣3kx﹣k﹣1＝0的根， ∴x1+x2＝3k，x1x2＝﹣k﹣1， ∵x1＝x2（2x1﹣1）， ∴x1+x2＝2x1x2， ∴3k＝2（﹣k﹣1），解得：k． 故答案为：． 4．（2025·崇川区·月考）关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0的有两个实数根为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若|x1﹣x2|＝1，求m的值． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0的有两个实数根， ∴Δ＝（﹣2m）2﹣4m（m﹣2）≥0，且m≠0，解得：m＞0， ∴m的取值范围是m＞0； （2）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1，x2， ∴． 又因为|x1﹣x2|＝1， ∴（x1﹣x2）2＝1，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝1， ∴221，解得：m＝8， 经检验m＝8是原方程的解，且符合题意， 所以m的值为8． 题型六 已知方程的两根，反写方程 1．（2024·新吴区·期末）请写出一个以﹣3和4为根的一元二次方程：　　． 【详解】解：设x2+mx+n＝0的两根分别是﹣3和4， ∴﹣m＝﹣3+4，n＝﹣3×4＝﹣12， ∴m＝﹣1，n＝﹣12， ∴方程为x2﹣x﹣12＝0． 故答案为：x2﹣x﹣12＝0． 2．（2025·高新区·月考）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2和﹣5．则原来的方程是（　　） A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0 C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0 【详解】解：设原来的方程为ax2+bx+c＝0（a≠0）， 由题意可知：，， ∴b＝﹣7a，c＝10a， ∴原来的方程为ax2﹣7ax+10a＝0， ∴x2﹣7x+10＝0． 故选：B． 题型七 结合根与系数的关系判断方程的根的情况 1．（2025·鼓楼区·模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2kx﹣1＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根且两根异号 C．有两个不相等的实数根且两根同号 D．没有实数根 【详解】解：∵Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（﹣1）＝4k2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根分别为x1，x2， ∵x1x2＝﹣1＜0， ∴方程的两根异号． 故选：B． 2．（2023·靖江市·三模）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　） A．x1+x2＞0 B．x1•x2＜0 C．x1≠x2 D．方程必有一正根 【详解】解：A、根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2＞0，A正确； B、根据根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣m2≤0，B不一定正确，； C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，C正确； D、由x1•x2＝﹣m2≤0，结合判别式可得出方程必有一正根，D正确． 故选：B． 题型一 求关于根的代数式的值（升级版） 1．（2024·鼓楼区·月考）若方程﹣x2+px+q＝0的一个根大于1，另一根小于1，则p+q的值（　　） A．不大于1 B．大于1 C．小于1 D．不小于1 【详解】解：设﹣x2+px+q＝0的两个根分别为x1，x2， 由题意可知：x1+x2＝p，x1x2＝﹣q， 结合题意设x1＞1，x2＜1， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0， ∴﹣q﹣p+1＜0， ∴p+q＞1． 故选：B． 2．（2024·丹阳市·期中）若m，n为方程x2+2024x﹣1＝0的两根，则（m2+2025m﹣1）（n2+2025n﹣1）的值（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣4049 D．4049 【详解】解：∵m，n为方程x2+2024x﹣1＝0的两根， ∴m2+2024m﹣1＝0，n2+2024n﹣1＝0， 即m2+2024m＝1，n2+2024n＝1， 由根与系数的关系可得mn＝﹣1， ∴（m2+2025m﹣1）（n2+2025n﹣1） ＝（m2+2024m+m﹣1）（n2+2024n+n﹣1） ＝（1+m﹣1）（1+n﹣1） ＝mn ＝﹣1． 故选：B． 3．（2024·高邮市·期中）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是m，两根之积是n，则关于t的方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0的两根之积是（　　） A．n+m﹣1 B．n+m+1 C．n﹣m+1 D．n﹣m﹣1 【详解】解：把方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0看作关于t+1的一元二次方程， 设关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2， 则方程a（t+1）2+b（t+1）+c＝0的两根为t1＝x1﹣1，t2＝x2﹣1， ∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和是m，两根之积是n， ∴x1+x2＝m，x1x2＝n， ∴t1t2＝（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝n﹣m+1． 故选：C． 4．（2025·宿城区·月考）已知实数m，n满足3m2﹣7m﹣2＝0，2n2+7n﹣3＝0，且mn≠1，求的值（　　） A． B． C．3 D． 【详解】解：原方程转化为， 由条件可知：实数m，是方程3x2﹣7x﹣2＝0的两个根， ∴，， ∴． 故选：A． 5．（2023·昆山市·模拟）若x1，x2是方程x2＝2x+2023的两个实数根，则代数式22023x2的值为　　． 【详解】解：x2＝2x+2023整理得：x2﹣2x﹣2023＝0， ∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣2023＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2，2x1＝2023， ∴22023x2 ＝x1（2x1）+2023x2 ＝2023x1+2023x2 ＝2023（x1+x2） ＝2023×2 ＝4046． 故答案为：4046． 题型二 结合判别式和两根的关系式求参数——小题 1．（2025·洪泽区·一模）若关于x的方程x2+（m+1）x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1或﹣1 C．1 D．2 【详解】解：由题意可知：Δ＝（m+1）2﹣4m2＝﹣3m2+2m+1， 由题意可知：m2＝1， ∴m＝±1， 当m＝1时，Δ＝﹣3+2+1＝0， 当m＝﹣1时，Δ＝﹣3﹣2+1＝﹣4＜0，不满足题意． 故选：C． 2．（2025·泗洪县·二模）若关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．2 【详解】解：由题意可得：Δ＞0， ∴（3a+1）2﹣8a（a+1）＞0，a2﹣2a+1＞0，（a﹣1）2＞0， ∴a≠1， ∵关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a， ∴1﹣a，解得：a＝±1， 又a≠1， ∴a＝﹣1． 故选：A． 3．（2025·苏州·模拟）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3 【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝1﹣4m≥0， ∴， ∴， ∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝3， ∴m2+2m﹣1+1＝3，解得：m＝1（舍）或m＝﹣3； 故选：A． 4．（2024·姜堰区·期中）已知一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝3，若方程x2+bx+c＝p（p为常数）的两根均为正数，则p的取值范围是（　　） A．﹣4＜p＜﹣3 B．﹣4＜p≤﹣3 C．﹣4≤p＜﹣3 D．﹣4≤p≤﹣3 【详解】解：∵一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝3， ∴b＝﹣（﹣1+3）＝﹣2，c＝﹣1×3＝﹣3， ∵方程x2+bx+c＝p（p为常数）的两根均为正数， ∴x2﹣2x﹣3﹣p＝0的两根为正数， ∴Δ≥0且﹣3﹣p＞0， ∴4﹣4（﹣3﹣p）≥0，p＜﹣3， ∴﹣4≤p＜﹣3． 故选：C． 题型三 结合判别式和两根的关系式求参数——大题 1．（2025·如皋市·月考）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2（m+1）x+m+1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣m，求实数m的值． 【详解】解：（1）由条件可知：b2﹣4ac≥0且m﹣1≠0 ∴[2（m+1）]2﹣4（m﹣1）（m+1）≥0且m﹣1≠0，解得：m≥﹣1且m≠1， ∴m的取值范围是m≥﹣1且m≠1； （2）∵，， ∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣m， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣x1﹣x2+1＝﹣m， ∴， 化简得到：m2+3m+2＝0， ∴（m+2）（m+1）＝0，解得：m＝﹣2或m＝﹣1， ∵m≥﹣1且m≠1， ∴m＝﹣1． 2．（2025·泗阳县·一模）阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2， 那么，．借助该材料完成下列各题： （1）若x1，x2是方程x2+6x﹣3＝0的两个实数根，则x1+x2＝　　，　　． （2）若x1，x2是方程的两个实数根，且，求m的值． 【详解】解：（1）由题意可知：x1+x2，x1•x2， ∴， 故答案为：﹣6，； （2），解得：， ∵x1、x2是关于x的方程的两个实数根， ∴x1+x2＝m﹣3，， 又∵， ∴， ∴，解得：m＝﹣2或m＝14， 又∵， ∴m的值是﹣2． 3．（2023·江阴市·月考）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足14，求4x2﹣10的值． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0，解得：m， ∴实数m的取值范围为m； （2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两实数根， ∴x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1•x2＝m2． ∵14， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝14， ∴[﹣2（m﹣1）]2﹣2m2＝14， ∴4m2﹣8m+4﹣2m2＝14， ∴m＝5或﹣1， 由（1）可知：m， ∴m＝﹣1时，方程变为x2﹣4x+1＝0， ∴x1+x2＝4，， ∴x1﹣1， ∴4x2﹣10＝4x1﹣1+4x2﹣10＝4（x1+x2）﹣11＝16﹣11＝5． 1．（2023·建湖县·模拟）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为　　． 【详解】解：由题意可得：（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0， 化简看得：x2+10x+7＝0， ∵m，n是该方程的两根， ∴m+n＝﹣10，mn＝7， ∴． 故答案为：． 2．（2024·海门区·模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个． ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得：x1＝2，x2＝﹣1， ∴x1≠2x2， ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程，故①不正确； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2， 则x2＝1或x2＝4， 当x2＝1时，m+n＝0， 当x2＝4时，4m+n＝0， ∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，故②正确； ③∵pq＝2，则px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0， ∴，x2＝﹣q， ∴， ∴关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程，故③正确； ④方程ax2+bx+c＝0的根为：，， 若x1＝2x2，则， ∴， ∴， ∴， ∴9（b2﹣4ac）＝b2， ∴2b2＝9ac， 若2x1＝x2时，则， 则， ∴， ∴， ∴， ∴b2＝9（b2﹣4ac）， ∴2b2＝9ac，故④正确； 综上，正确的有：②③④共3个． 故选：C． 3．（2025·昆山市·模拟）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程x2﹣4x+3＝0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）下列方程是三倍根方程的是　　； ①x2﹣3x+2＝0； ②x2﹣3x＝0； ③x2﹣8x+12＝0． （2）若关于x的方程x2﹣6x+c＝0是“三倍根方程”，则c＝　　； （3）若x2﹣（m+n）x+mn＝0是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值． 【详解】解：（1）解方程x2﹣3x+2＝0得：x1＝1，x2＝2， ∴x2﹣3x+2＝0不是“三倍根方程”； 解方程x2﹣3x＝0得：x1＝0，x2＝3， ∴x2﹣3x＝0不是“三倍根方程”； 解方程x2﹣8x+12＝0得：x1＝2，x2＝6， ∴x2﹣8x+12＝0是“三倍根方程”； 故答案为：③； （2）设方程x2﹣6x+c＝0的两根为t，3t， 根据根与系数的关系得：t+3t＝6，t•3t＝c，解得：t， ∴c＝3×（）2， 故答案为：； （3）设方程的两根为a，3a， 根据根与系数的关系得：a+3a＝m+n，a•3a＝mn，即m+n＝4a，mn＝3a2， ∴． 4．（2024·宝应县·月考）若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，且满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）判断下列方程是否是“差根方程”： ①x2﹣4x+4＝0　　；②　　；（填是或否） （2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请写出a与b之间的数量关系式． 【详解】解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+4＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝4， ∴， ∴方程x2﹣4x+4＝0不是差根方程， 故答案为：否； ②设x1，x2是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴方程是差根方程， 故答案为：是； （2）x2+2ax＝0， 因式分解得：x（x+2a）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2a， ∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”， ∴2a＝±1，即； （3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根， ∴，， ∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”， ∴|x1﹣x2|＝1， ∴1，即， ∴b2＝a2+4a． 5．（2025·苏州·期中）材料1：法国数学家弗朗索瓦•韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：x1+x2； 材料2：如果实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0、n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可利用根的定义构造一元二次方程x2﹣x﹣1＝0，将m、n看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： （1）已知实数m、n满足3m2﹣m﹣2＝0、3n2﹣n﹣2＝0，求的值． （2）已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣5、ab，且c＜5，求c的最大值． 【详解】解：（1）实数m、n满足3m2﹣m﹣2＝0、3n2﹣n﹣2＝0， 当m＝n时，1+1＝2； 当m≠n时，m、n可看作方程3x2﹣x﹣2＝0的两根， ∴m+n，mn， ∴； 综上，的值为2或； （2）把a、b看作关于x的一元二次方程x2﹣（c﹣5）x0的两根， ∵Δ＝（c﹣5）2﹣40， ∵c＜5， ∴（5﹣c）3﹣64≥0， 即（5﹣c）3≥64，5﹣c≥4，解得：c≤1， ∴c的最大值为1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$