1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以分层设计为核心，通过基础巩固、能力进阶、思维拔高及高考链接四级梯度，实现从单一向量概念到空间位置关系综合证明的知识深化，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|直线方向向量、平面法向量及空间平行垂直关系基础|知识点速记+选择填空题，强化概念理解与基本运算| |B组能力进阶|空间位置关系综合应用|含探究型问题与动点轨迹题，提升逻辑推理能力| |C组思维拔高|跨知识融合与开放题|结合翻折问题与数学建模，发展创新意识| |拓展链接高考|高考真题与模拟题|对接高考题型，培养数学语言表达与问题解决能力|

分层作业 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 参考答案 直线的方向向量知识点01 1．B； 2．A； 3．C； 平面的法向量知识点02 4. B； 5．D； 6．A； 7．B； 线线平行知识点03 8． D 9.【答案】证明见解析 【详解】依题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，，，分别是棱，，，的中点，． 所以，，，． 所以，， 则，而点直线，所以． 线面平行知识点04 10．C； 11．D； 12．2； 13. 14.【答案】证明见解析 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明； 【详解】因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 15．【答案】证明见解析 【分析】利用向量的线性运算表示，根据垂直，利用数量积求得为的中点，再由中位线定理和平行传递性结合线面平行的判定求证. 【详解】 连接，设， 则，， 由可知，， 又因为，， 则， 解得，则为的中点， 因为分别为的中点， 所以且，所以， 又平面平面， 所以平面. 面面平行知识点05 16． B； 17.平行； 18.【答案】证明见解析 【分析】先根据题设建立适当空间直角坐标系，求证出为的中点时，进而得，再利用线面平行判定定理和面面平行判定定理即可证明结论． 【详解】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 线线垂直知识点06 19.D； 20.B； 21．C； 22．ACD； 23.【答案】证明见解析 【详解】由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为， 所以，即． 24.【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）先判断出是等边三角形，则有，在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用向量的线性运算和数量积运算证明即可. 【详解】（1）因为，， 所以是等边三角形， 所以， 又因为N是的中点， 所以, 在中，. （2）由已知 ， 所以， 所以. 线面垂直知识点07 25． C； 26．； 27.； 28. 29.【答案】证明见解析 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由已知：，得． 在上且，故，. 为中点，则．计算向量：． ， . 又，平面，故平面． 面面垂直知识点08 30. C； 31.B 32.【答案】证明见解析 【详解】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 空间平行关系的向量证明（解答题）知识点09 33.【答案】证明：因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 34.【答案】证明见解析 【分析】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 35.【答案】(1)证明见解析；(2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 36.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，为线段的中点 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【详解】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 37.【答案】证明见解析 【分析】建系并标点，可证平面，所以为面的法向量，利用空间向量证明线面平行. 【详解】因为侧棱平面，底面为长方形， 以A为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 又因为E为的中点，F为上的点，，即F为的中点， 则，可得， 又因为侧棱平面，平面，所以， 又因为底面为长方形，有， 平面，，所以平面， 所以为面的法向量. 又因为，所以， 又平面，所以平面． 空间向量（坐标表示）共面求参数知识点10 38.【详解】（1）平行六面体中，，. . ， 所以. (2) ，，， 所以 ， 所以，所以. ， 所以，所以. 又，，平面， 所以平面. 39.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． （2）取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 40.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答. （2）设，，，作为一组基底，分别表示向量，证明，即可. （3）建立坐标系，结合空间向量分别求出法向量，再根据面面垂直空间向量证法可证结论； 【详解】（1）在正方体中，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令正方体棱长为1，则， 于是， 有， 因此，所以. （2）设，，，则.则. ∴. ∴，即. 同理.∵，平面， ∴平面. （3）在正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1， 则，，，，， 设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，，设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，即， 所以平面平面． 41.【答案】(1)证明见解析；(2)，证明见解析 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律证明即可； （2）首先利用线面垂直的性质定理证明，若 平面 ，只需满足 ，然后利用空间向量数量积的运算律即可证明. 【详解】（1）设，，， 因为底面 是菱形， 所以，且， . 由题知 ，且 ，因此 ， 即，故. （2）当时， 平面 ，证明如下： 设 ，，则 ，， ， ， 因为底面是菱形，所以， 又因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以 . 若 平面 ，需满足 ， ，，令 ，即 ， 展开整理： ，代入 ，得 ： ， 由于 ，，因此 ，即 . 此时 且 ，，平面 ， 故 平面 . 一、单选题 1．B； 2．A； 3．B； 4．D； 5．B； 6．C ； 7.D ； 8.C 二、多选题 9．AC； 10．AC； 11.ABD； 12.BC； 三、填空题 13．1； 14．； 15. 四、解答题 16．【答案】(1) 如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. (2) 方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 17．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 18.【答案】(1)证明：以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； (2)证明：由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 19.【答案】(1) 证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面； (2) 证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面． 20.【答案】(1) 因为平面平面，平面平面， 在矩形中，平面，所以平面. 又因为平面平面，所以. 以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系， 则，. 所以， 所以， 所以. （2）. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，得， 所以平面的一个法向量为. 若平面平面，则， 得，解得， 因为，所以. （3）设，则，所以. 由（2）可知，平面的一个法向量，所以， 得，解得. 所以，所以， 所以. 21.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在，为PC的中点 【详解】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，连接，交于点，连接， 依题意得，，，，，. 设平面的法向量为， 又， 则有，即， 令，则，，可得， 且，可知， 平面. （2）设平面的法向量为, 因为， ，， 令，则，，， 又， ，， 又平面EDB，平面. （3）如图，， 设平面PDM的法向量为， 则，即 令，则，， 设，则，， 得， ，， 又， 又平面PDM， ，即， 即在棱PC上存在一点，且当为PC的中点时，使得平面PDM. 1． B； 2．B； 3.（答案不唯一，只要与向量共线即可）； 4.(答案不唯一).； 5.； 6.； 7. 8.【答案】(1)证明见解析；(2)存在点使得平面， 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则，， ，， 设平面的法向量为， 则， 设，则，， 故为平面的一个法向量. 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. 9.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，；(3)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论； （2）假设存在使得平面，设，根据线面垂直可得，求出参数的值，即可得结论； （3）由为的重心，可得，利用向量的运算推出，再根据、、、四点共面，则存在，使得，继而得，结合空间向量基本定理即可证明结论. 【详解】（1）证明：以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， ，，， 则、、、、， 是的中点，则，，， ，，即. （2）假设存在使得平面， 由（1）得，， 设，其中， 则，， 因为平面，平面， 故，平面， 若平面，则只需，解得，， 故存在点，使得平面，此时. （3）证明：因为为的重心，则， 即，可得， 因为为上一点，且，则， 因为、、、四点共面，则存在，使得， 即， 所以， 又因为，且、、不共面， 由空间向量基本定理可得， 因此为定值. 10.【答案】存在Q，点Q是CD的中点 【分析】根据题意线面垂直的判定可得平面，然后建立空间直角坐标系，进而求出平面CEF的法向量，根据线面平行得直线的方向向量与平面的法向量垂直， 即求解即可 【详解】存在Q，点Q是CD的中点，其理由如下： 因为是梯形，所以且, 所以四边形是正方形， 所以, 而，，所以，所以， 因为是梯形的高，所以 由，，在平面内相交于点， 所以平面， 如图，以O为坐标原点，OB，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. ，，，， 因为E为PB的中点，所以， 设平面的法向量为，所以， 所以， 令，则，所以， 由三点共线，设， ， 又PQ//平面CEF，所以， 即在棱CD上是存在一点Q，使得PQ//平面CEF，此时Q 是CD的中点.    1． A； 2．A； 3.BD； 4.【详解】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有，且两两所成角相等，设为， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 目 录 A组 巩固过关 知识点01 直线的方向向量 知识点02 平面的法向量 知识点03 线线平行（重点） 知识点04 线面平行（重点） 知识点05 面面平行（重点） 知识点06 线线垂直（重点） 知识点07 线面垂直（重点） 知识点08 面面垂直（重点） 知识点09 空间平行关系的向量证明（解答题）（常考点） 知识点10 空间垂直关系的向量证明（解答题）（常考点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 直线的方向向量知识点01 知识点速记： 直线的方向向量 （1）定义：一般地，如果是空间中一条直线，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在直线与平行或重合，则称是直线的一个方向向量，此时，也称向量与直线平行，记作. ①如果是直线上两个不同的点，则就是直线的一个方向向量 例：在直线l上，则直线l的一个方向向量为. ②如果是直线的一个方向向量，则对任意实数，空间向量也是直线的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量都平行； ③如果是直线的一个方向向量，A为直线上一个已知的点，则对于直线上任意一点B，向量一定与非零向量平行，从而可知存在唯一的实数，使得，这就是说，空间中直线的位置可由和点A唯一确定. ④如果是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则或与重合。 题型巩固练： 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 2．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，且直线经过两点，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 平面的法向量知识点02 知识点速记： 平面的法向量 如果是空间中的一个平面，是空间中的一个非零向量，且表示向量的有向线段所在的直线与平面垂直，则称为平面的一个法向量.此时,也称与平面垂直,记作. ①如果直线l垂直平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量； ②如果是平面的一个法向量，则对任意实数，空间向量也是平面的一个法向量，而且平面的任意两个法向量都平行. 例：已知是平面的一个法向量，那么是平面的一个法向量.（填“是”或“不是”） ③如果是平面的一个法向量，A为平面上一个已知的点，则对于平面内任意一点B，向量一定与向量垂直，即，从而可知平面的位置可由和A唯一确定. 题型巩固练： 4．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 线线平行知识点03 知识点速记： 线线平行： ⑴设分别是不重合的直线的方向向量，则，使得. ⑵若两条不重合的直线的方向向量分别为，则. 题型巩固练： 8．已知分别是直线的方向向量．若，则（ ） A． B． C． D． 9．如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：； 线面平行知识点04 知识点速记： 线面平行： 方法一：设为直线的方向向量，是平面的法向量，，则∥. 方法二：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 方法三：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则。 题型巩固练： 10．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 11．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 12．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 13．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知（）是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则_________. 14．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 15．如图，在三棱锥中，， 的中点分别为，点在上，．求证：平面. 连接，设， 则，， 由可知，， 又因为，， 则， 解得，则为的中点， 面面平行知识点05 知识点速记： 平面与平面平行 设分别是平面，的法向量，则，使得． 题型巩固练： 16．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B．4 C． D．10 17．（25-26高二上·天津·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是___________． 18．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 线线垂直知识点06 知识点速记： 直线与直线垂直 设直线的方向向量分别为，则． 题型巩固练： 19．（24-25高二下·福建漳州·阶段检测）如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（    ） A． B．与相交 C．与异面 D． 20．（2025高二上·安徽·竞赛）在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 21．如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 22．（2026·四川绵阳·模拟预测）在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（    ） A．若 B．若 C．若 D．若 23．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 24．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 线面垂直知识点07 知识点速记： 直线与平面垂直 设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则，使得． 题型巩固练： 25．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（   ） A． B．或在平面内 C． D．或 26．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_____. 27．（25-26高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____. 28．（25-26高三下·河南·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______. 29．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点．证明：平面； 面面垂直知识点08 知识点速记： 平面与平面垂直 设分别是平面，的法向量，则． 题型巩固练： 30．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知向量分别是平面与平面的一个法向量，若，则实数（   ） A．4 B．2 C． D． 31．（25-26高二下·海南儋州·开学考试）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 空间平行关系的向量证明（解答题）知识点09 知识点速记： 解题依托向量共线、垂直性质判定空间平行关系，线线平行只需两直线方向向量共线，线面平行需直线方向向量与平面法向量垂直且直线不在平面内，面面平行只需两平面法向量共线，解题时需注意区分向量平行与空间直线、平面重合的特殊情况。 题型巩固练： 33．（24-25高二下·江苏镇江·阶段检测）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 34．如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 35．如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 36．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 37．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，．当时，证明：平面． 空间垂直关系的向量证明知识点10 知识点速记： 以向量数量积为0为核心判定依据，线线垂直即两直线方向向量数量积为0，线面垂直可通过直线方向向量与平面内两条不共线向量分别垂直或与平面法向量共线判定，面面垂直即两平面法向量数量积为0，将空间垂直证明转化为简易坐标运算求解。 题型巩固练： 38．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 39．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． 40．（25-26高二下·全国·课堂例题）在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 41．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 一、单选题 1．（24-25高二上·四川眉山·阶段检测）已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），有下列说法： ①； ②； ③； ④. 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖南永州·期末）在直三棱柱中，，，，是侧棱的中点，则下列直线中与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·广东广州·期中）直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 7．（25-26高一下·重庆·期中）四棱锥的底面为正方形，且平面，若，为的中点，，平面，且，则（     ） A． B． C． D． 8．（2026·山东·一模）如图所示，已知三棱锥的各棱长均相等，分别是所在棱，，的中点，有下列说法： ①；②平面； ③平面；④平面平面． 其中，说法正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26高二下·福建龙岩·期末）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知向量，，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．是平面的一个法向量 D． 11．（25-26高二上·重庆·阶段检测）设直线的方向向量为，平面的法向量为，为空间中的三个点，若为直线与平面的公共点，且存在实数，使得，则下列说法正确的是（   ） A．点在直线上 B．若，则 C．若，则 D．若，则直线 12．（25-26高二下·浙江·开学考试）如图，已知平行六面体，若空间中一点P满足，其中，则（   ） A．存在x，y，使得P在直线上 B．当时，P在平面内 C．当时，平面 D．存在x，y，使得平面 13．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 14．（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知向量，平面的法向量，则在平面上的投影向量坐标为______． 15．（第一章空间向量与立体几何第二练数学思想训练）在长方体中，为长方体表面上的动点，且，则点的轨迹的长度为___________. 16．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 17．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 18．（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 19．（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 20．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，设，点分别在线段上，且. (1)证明：； (2)若平面平面，求的值； (3)设直线与平面相交于点，求线段的长度（用表示）. 21．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）在四棱锥中，四边形是正方形，侧棱垂直于底面，．    (1)证明：平面． (2)若是的中点.证明：平面. (3)若点为线段的中点，问：在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 1．【动点轨迹问题】（25-26高二上·四川内江·阶段检测）在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（ ） A． B．2 C． D．3 2．【直观想象】（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 3．【开放题】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 4．【开放题】（25-26高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是______． 5．【知识融合】（25-26高二下·江苏盐城·期中）在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 6．【数学运算】（25-26高二下·上海松江·期中）在空间直角坐标系中，平面平面，的一个法向量，为上的不同四点，满足．设，与的夹角为．若，则______． 7．【动点轨迹问题】（25-26高二下·四川南充·阶段检测）在棱长为10的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为_______. 8．【探究型问题】如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 9．【探究型问题】（25-26高二上·广东·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点. (1)求证：； (2)为线段上的动点，则是否存在使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证：为定值. 10．【翻折问题】（24-25高二上·山东枣庄·阶段检测）如图所示，是梯形的高，OA=OB=BC=1，OD=3OA=3OF，E为AB的中点，将梯形沿折起得到如图所示的四棱锥，使得． 在棱CD上是否存在一点Q，使得PQ//平面CEF？若存在，指出点Q的位置，若不存在，请说明理由.    1．（2026·上海·高考真题）已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与轴、轴、轴重合，顶点与坐标原点重合，点是正方体底面中与相对的对角顶点，点在点的正上方．将正方体绕直线旋转一周，试问点的运动轨迹会经过几个空间卦限（     ）．    A． B． C． D． 2．（2022·全国乙卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 选项BCD解法二： 3．（多选）（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 4．（2000·全国·高考真题）如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 目 录 A组 巩固过关 知识点01 直线的方向向量 知识点02 平面的法向量 知识点03 线线平行（重点） 知识点04 线面平行（重点） 知识点05 面面平行（重点） 知识点06 线线垂直（重点） 知识点07 线面垂直（重点） 知识点08 面面垂直（重点） 知识点09 空间平行关系的向量证明（解答题）（常考点） 知识点10 空间垂直关系的向量证明（解答题）（常考点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 直线的方向向量知识点01 知识点速记： 直线的方向向量 （1）定义：一般地，如果是空间中一条直线，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在直线与平行或重合，则称是直线的一个方向向量，此时，也称向量与直线平行，记作. （2）性质： ①如果是直线上两个不同的点，则就是直线的一个方向向量 例：在直线l上，则直线l的一个方向向量为. ②如果是直线的一个方向向量，则对任意实数，空间向量也是直线的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量都平行； ③如果是直线的一个方向向量，A为直线上一个已知的点，则对于直线上任意一点B，向量一定与非零向量平行，从而可知存在唯一的实数，使得，这就是说，空间中直线的位置可由和点A唯一确定. ④如果是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则或与重合。 题型巩固练： 1．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 2．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 3．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，且直线经过两点，则（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为直线的一个方向向量为，所以， 即，所以， 解得，则. 故选：C. 平面的法向量知识点02 知识点速记： 平面的法向量 （1）定义： 如果是空间中的一个平面，是空间中的一个非零向量，且表示向量的有向线段所在的直线与平面垂直，则称为平面的一个法向量.此时,也称与平面垂直,记作. （2）性质： ①如果直线l垂直平面，则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量； ②如果是平面的一个法向量，则对任意实数，空间向量也是平面的一个法向量，而且平面的任意两个法向量都平行. 例：已知是平面的一个法向量，那么是平面的一个法向量.（填“是”或“不是”） ③如果是平面的一个法向量，A为平面上一个已知的点，则对于平面内任意一点B，向量一定与向量垂直，即，从而可知平面的位置可由和A唯一确定. 题型巩固练： 4．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 5．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 6．（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】建立坐标系并确定点坐标，如图 以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，， ， 设平面的法向量为，则 且， 即 化简得，， 令，则，，即法向量为. 故选：A. 7．（25-26高三上·河北·阶段检测）如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，，是中点，则， 因此， 对于A选项，，不是法向量，A错； 对于B选项，，是法向量，B正确； 对于C选项，，不是法向量，C错； 对于D选项，，不是法向量，D错； 故选：B． 线线平行知识点03 知识点速记： 线线平行： ⑴设分别是不重合的直线的方向向量，则，使得. ⑵若两条不重合的直线的方向向量分别为，则. 题型巩固练： 8．已知分别是直线的方向向量．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，可得， 所以， 故选：D 9．如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：； 【答案】证明见解析 【详解】依题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，，，分别是棱，，，的中点，． 所以，，，． 所以，， 则，而点直线，所以． 线面平行知识点04 知识点速记： 线面平行： 方法一：设为直线的方向向量，是平面的法向量，，则∥. 方法二：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 方法三：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则。 题型巩固练： 10．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 【答案】C 【详解】因为，所以， 则，解得. 11．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，，若平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】通过直线的方向向量与平面的法向量的关系，判断直线与平面的位置关系 【详解】因为，， 所以，所以或． 故选：D． 12．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知是平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，且，则__________． 【答案】2 【详解】由题得，，解得． 13．（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知（）是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则_________. 【答案】 ，利用数量积的坐标表示列式求解，即得答案. 【详解】由，可知，即 ，解得， 故答案为： 14．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【答案】证明见解析 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明； 【详解】因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 15．如图，在三棱锥中，， 的中点分别为，点在上，．求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量的线性运算表示，根据垂直，利用数量积求得为的中点，再由中位线定理和平行传递性结合线面平行的判定求证. 【详解】 连接，设， 则，， 由可知，， 又因为，， 则， 解得，则为的中点， 因为分别为的中点， 所以且，所以， 又平面平面， 所以平面. 面面平行知识点05 知识点速记： 平面与平面平行 设分别是平面，的法向量，则，使得． 题型巩固练： 16．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B．4 C． D．10 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，解得， 故选：B． 17．（25-26高二上·天津·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是___________． 【答案】平行 【详解】由题意, 因，即平面和平面的法向量是共线向量，故两平面互相平行. 故答案为：平行. 18．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】证明见解析 【分析】先根据题设建立适当空间直角坐标系，求证出为的中点时，进而得，再利用线面平行判定定理和面面平行判定定理即可证明结论． 【详解】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 线线垂直知识点06 知识点速记： 直线与直线垂直 设直线的方向向量分别为，则． 题型巩固练： 19．（24-25高二下·福建漳州·阶段检测）如果直线的方向向量是，直线方向向量是，那么（    ） A． B．与相交 C．与异面 D． 【答案】D 【详解】因为， 故，所以， 故选：D 20．（2025高二上·安徽·竞赛）在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【答案】B 【详解】由于，故，故， ， 故的竖坐标为. 21．如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 【答案】C 【详解】如图建立空间直角坐标系：以为原点，分别以为轴， 根据已知边长，，，写出各点坐标： ，是中点，得； 是中点，得, 求向量： , 计算向量的数量积可得：， 由数量积为0可判断两向量垂直，即与垂直. 22．（2026·四川绵阳·模拟预测）在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（    ） A．若 B．若 C．若 D．若 【答案】ACD 【详解】依题意，向量是平面的法向量， 对于A，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，A正确； 对于B，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，假设， 而平面，则，而不在平面内，则平面， 平面平面，平面，则必有，当时，由， 得，由选项A知，此时不一定平行，因此不一定平行，B错误； 对于C，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，C正确； 对于D，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，而平面， 是平面，又平面，则，D正确. 23．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 【答案】证明见解析 【详解】由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为， 所以，即． 24．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）先判断出是等边三角形，则有，在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用向量的线性运算和数量积运算证明即可. 【详解】（1）因为，， 所以是等边三角形， 所以， 又因为N是的中点， 所以, 在中，. （2）由已知 ， 所以， 所以. 线面垂直知识点07 知识点速记： 直线与平面垂直 设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则，使得． 题型巩固练： 25．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（   ） A． B．或在平面内 C． D．或 【答案】C 【详解】∵，∴. 又因直线在平面外，∴. 26．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_____. 【答案】 【详解】由有，即，即， 故答案为：. 27．（25-26高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知向量是平面的一个法向量，向量为直线的一个方向向量，若，则的值为____. 【答案】 【详解】已知，， 若，则与平行， 所以，则，即. 28．（25-26高三下·河南·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，______. 【答案】 【详解】如图，以点为原点，为轴的正方向，过点作轴，建立空间直角坐标系， ，，，， 设，，, 因为，所以，得， 此时，，所以 29．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点．证明：平面； 【答案】证明见解析 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由已知：，得． 在上且，故，. 为中点，则．计算向量：． ， . 又，平面，故平面． 面面垂直知识点08 知识点速记： 平面与平面垂直 设分别是平面，的法向量，则． 题型巩固练： 30．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知向量分别是平面与平面的一个法向量，若，则实数（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由于，则，解得， 故选：C 31．（25-26高二下·海南儋州·开学考试）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设平面的法向量为，因为平面平面，所以， 因为， ， ， . 所以平面的法向量的坐标可以是. 故选：B 32．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 空间平行关系的向量证明（解答题）知识点09 知识点速记： 解题依托向量共线、垂直性质判定空间平行关系，线线平行只需两直线方向向量共线，线面平行需直线方向向量与平面法向量垂直且直线不在平面内，面面平行只需两平面法向量共线，解题时需注意区分向量平行与空间直线、平面重合的特殊情况。 题型巩固练： 33．（24-25高二下·江苏镇江·阶段检测）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明：因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 34．如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 35．如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 36．（24-25高二上·山东烟台·开学考试）如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，为线段的中点 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【详解】（1）证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 37．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，．当时，证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建系并标点，可证平面，所以为面的法向量，利用空间向量证明线面平行. 【详解】因为侧棱平面，底面为长方形， 以A为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 又因为E为的中点，F为上的点，，即F为的中点， 则，可得， 又因为侧棱平面，平面，所以， 又因为底面为长方形，有， 平面，，所以平面， 所以为面的法向量. 又因为，所以， 又平面，所以平面． 空间垂直关系的向量证明知识点10 知识点速记： 以向量数量积为0为核心判定依据，线线垂直即两直线方向向量数量积为0，线面垂直可通过直线方向向量与平面内两条不共线向量分别垂直或与平面法向量共线判定，面面垂直即两平面法向量数量积为0，将空间垂直证明转化为简易坐标运算求解。 题型巩固练： 38．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 【详解】（1）平行六面体中，，. . ， 所以. (2) ，，， 所以 ， 所以，所以. ， 所以，所以. 又，，平面， 所以平面. 39．（25-26高二下·甘肃平凉·阶段检测）如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． （2）取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 40．（25-26高二下·全国·课堂例题）在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答. （2）设，，，作为一组基底，分别表示向量，证明，即可. （3）建立坐标系，结合空间向量分别求出法向量，再根据面面垂直空间向量证法可证结论； 【详解】（1）在正方体中，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令正方体棱长为1，则， 于是， 有， 因此，所以. （2）设，，，则.则. ∴. ∴，即. 同理.∵，平面， ∴平面. （3）在正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1， 则，，，，， 设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，，设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，即， 所以平面平面． 41．（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)，证明见解析 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律证明即可； （2）首先利用线面垂直的性质定理证明，若 平面 ，只需满足 ，然后利用空间向量数量积的运算律即可证明. 【详解】（1）设，，， 因为底面 是菱形， 所以，且， . 由题知 ，且 ，因此 ， 即，故. （2）当时， 平面 ，证明如下： 设 ，，则 ，， ， ， 因为底面是菱形，所以， 又因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以 . 若 平面 ，需满足 ， ，，令 ，即 ， 展开整理： ，代入 ，得 ： ， 由于 ，，因此 ，即 . 此时 且 ，，平面 ， 故 平面 . 一、单选题 1．（24-25高二上·四川眉山·阶段检测）已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），有下列说法： ①； ②； ③； ④. 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】因为法向量与平面垂直，所以成立，①正确； 因为法向量与平面垂直，所以，②正确； 因为，所以，③不正确； 因为，所以或者，④不正确. 故选：B 2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A， ，则 ， 则此点在平面 内，故正确； 对于B， ，则 ， 则此点不在平面 内吗，故错误； 对于C， ，则 ， 则此点不在平面 内，故错误； 对于D， ，则 ， 则此点在不平面 内，故错误. 故选：A. 3．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点位于平面内,则,因为平面的一个法向量，， 所以, 即若点位于平面内,满足， 对于A，若，代入，不为，故A不正确； 对于B，若，代入，故B正确； 对于C，若，代入，不为，故C不正确； 对于D，若，代入，不为，故D不正确； 4．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 5．（25-26高二上·湖南永州·期末）在直三棱柱中，，，，是侧棱的中点，则下列直线中与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，，由平面，得，， 以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 则, . 对于A，由 ,得，故不垂直； 对于B，由，得，故垂直； 对于C，由，得,故不垂直； 对于D，由，得，故不垂直， 故选：B. 6．（25-26高一下·广东广州·期中）直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】 因为三棱柱为直三棱柱，所以可以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 为中点，故， 在上，且，向量， ， 因此的坐标为：， 在上，设，则：. 接着求平面的法向量，设法向量为， ，，， 令，则，. 因为平面，所以， 化简得：， 所以. 7．（25-26高一下·重庆·期中）四棱锥的底面为正方形，且平面，若，为的中点，，平面，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为底面，底面为正方形，设，以为原点，分别为轴， 得各点坐标： ，是中点，得. 由，所以，，. 设，由，所以，， 所以. 因为平面，所以共面，因此共面，且不共线， 由平面向量基本定理，设，则， 所以，解得. 8．（2026·山东·一模）如图所示，已知三棱锥的各棱长均相等，分别是所在棱，，的中点，有下列说法： ①；②平面； ③平面；④平面平面． 其中，说法正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】如图，将三棱锥放入正方体中，以棱作为面对角线， 以为原点，建立空间直角坐标系，    不妨设正方体的边长为，由题意得，，，， 由中点坐标公式得，，， 对于①，由题意得，， 则，得到，故①正确， 对于②，由题意得，， 设面的法向量为， 则，令，解得，， 可得，而， 因为平面， 所以平面，故②正确， 对于③，由题意得，， 若平面，则， 可得，而不存在这样的使得方程组成立， 则平面不成立，故③错误， 对于④，由题意得，， 设面的法向量为， 则，令，解得，， 可得，由已知得， 而，可得平面平面，故④正确， 综上可得，说法正确的个数是3个，故C正确. 故选：C 二、多选题 9．（25-26高二下·福建龙岩·期末）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】由题意可知若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 若，则，所以，选项C正确. 若，则，所以，所以或者，选项D错误. 10．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知向量，，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．是平面的一个法向量 D． 【答案】AC 【详解】由题意得，， ， ， 则，故A正确； 因，故B错误； ，， 则，，故是平面的一个法向量，C正确； ，故D错误. 故选：AC 11．（25-26高二上·重庆·阶段检测）设直线的方向向量为，平面的法向量为，为空间中的三个点，若为直线与平面的公共点，且存在实数，使得，则下列说法正确的是（   ） A．点在直线上 B．若，则 C．若，则 D．若，则直线 【答案】ABD 【详解】对于A，由得，即，因为为直线的方向向量，且点在直线上，所以点也在直线上，故A正确； 对于B，因为，则，又因为，则，则，故B正确； 对于C，因为，所以，即，根据，无法得到与一定平行， 故直线不一定垂直于平面，例如点在平面内，满足，此时，故C错误； 对于D，因为，则，因为且为平面的法向量，则，同理，因为， 则，则，故D正确. 故选：ABD. 12．（25-26高二下·浙江·开学考试）如图，已知平行六面体，若空间中一点P满足，其中，则（   ） A．存在x，y，使得P在直线上 B．当时，P在平面内 C．当时，平面 D．存在x，y，使得平面 【答案】BC 【详解】 设， 则， 所以， 要使得P在直线上，则， 则满足，解得， 这与已知条件相矛盾，故A错误； 当时，，则， 要使得P在平面内，则满足， 因为则， 所以，解得，即存在满足，故B正确； 当时，， 所以共面，且它们有公共点，即可得平面， 又因为平面平面，所以平面，故C正确； 要使得平面，则只需要证明平面， 即假设存在使得：， 又因为，所以， 因为，即不存在x，y，使得平面，故D错误. 三、填空题 13．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 【答案】1 【详解】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 故答案为：. 14．（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知向量，平面的法向量，则在平面上的投影向量坐标为______． 【答案】 【详解】向量在平面的法向量上的投影向量为， 即， 设在平面上的投影向量是， 则， 所以， 故答案为： 15．（第一章空间向量与立体几何第二练数学思想训练）在长方体中，为长方体表面上的动点，且，则点的轨迹的长度为___________. 【答案】 【详解】    如图，连接，，且以为原点建立空间直角坐标系， 故，，，， 设，且已知，， 故，， 即是的中点，是的三等分点， ，，，， ，的轨迹方程为平面， 故轨迹长度即为该平面与长方体六个平面的交线长度之和， 联立方程组，得， 当时，，令，则， 故此时在面内轨迹长度为， 联立方程组，得到， 当，时该方程无解， 则交线不在面内， 此时轨迹长度为，故排除， 联立方程组，可得， 当时，当时， 故此时轨迹长度为， 联立方程组，可得， 当，时该方程无解， 则交线不在面内， 此时轨迹长度为，故排除， 联立方程组，可得， 当，时该方程无解， 则交线不在面内， 此时轨迹长度为，故排除， 联立方程组，， 可得， 当时，当时， 故此时轨迹长度为， 综上，轨迹长度为. 四、解答题 16．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1) 如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. (2) 方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 17．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 18．（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明：以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； (2)证明：由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 19．（25-26高二上·河北·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1) 证明：因为底面，平面，所以， 因为，所以两两垂直， 如图，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以，，即，， 又因为，平面， 所以平面； (2) 证明：由可得， 则， ，， 设平面的法向量为， 则，即 令，得，， 则是平面的一个法向量， 因为，所以， 因为平面，所以平面． 20．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，设，点分别在线段上，且. (1)证明：； (2)若平面平面，求的值； (3)设直线与平面相交于点，求线段的长度（用表示）. 【答案】(1) 因为平面平面，平面平面， 在矩形中，平面，所以平面. 又因为平面平面，所以. 以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系， 则，. 所以， 所以， 所以. （2）. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，得， 所以平面的一个法向量为. 若平面平面，则， 得，解得， 因为，所以. （3）设，则，所以. 由（2）可知，平面的一个法向量，所以， 得，解得. 所以，所以， 所以. 21．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）在四棱锥中，四边形是正方形，侧棱垂直于底面，．    (1)证明：平面． (2)若是的中点.证明：平面. (3)若点为线段的中点，问：在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在，为PC的中点 【详解】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，连接，交于点，连接， 依题意得，，，，，. 设平面的法向量为， 又， 则有，即， 令，则，，可得， 且，可知， 平面. （2）设平面的法向量为, 因为， ，， 令，则，，， 又， ，， 又平面EDB，平面. （3）如图，， 设平面PDM的法向量为， 则，即 令，则，， 设，则，， 得， ，， 又， 又平面PDM， ，即， 即在棱PC上存在一点，且当为PC的中点时，使得平面PDM. 1．【动点轨迹问题】（25-26高二上·四川内江·阶段检测）在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，设平面的法向量为，利用可得，继而即可求解. 【详解】 以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设， ， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 因为平面， 所以，所以， 所以点P的轨迹长度为. 故选：. 2．【直观想象】（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法分别判断，对命题①转化为方程（）的解个数可得；对②则转化为（）的解的个数可得；对③则根据向量共线条件直接可得；对④只需判断三点的坐标都为即可判断正确. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，，设（），（）， 因为是中点，故. 命题①：，所以​​， ，所以， 令，得（） 该方程在平面内表示一段四分之一圆弧，因此方程有无数组解，即存在无数条线段满足条件，故①错误； 命题②：若，则，即（）， 该方程在平面内表示一条线段，因此方程有无数组解，即存在无数条直线满足条件，故②错误； 命题③：若，则，则，因为第三个方程无解， 所以方程组无解，因此不存在直线满足条件，故③错误； 命题④ ：三点的坐标都为，即三点都在平面上， 该平面与底面（）平行，故平面平面，④正确. 综上，正确命题只有1个. 3．【开放题】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 【答案】（答案不唯一，只要与向量共线即可） 【详解】因为，在直线上， 所以可以是直线的一个方向向量. 4．【开放题】（25-26高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是______． 【详解】因为，，，所以， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因为平面，所以， 因为，所以，所以， 故点的坐标满足即可，可取， 故答案为：(答案不唯一). 5．【知识融合】（25-26高二下·江苏盐城·期中）在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设点，其中，由平面，利用空间向量法可得出，利用空间向量的模长公式结合二次函数的性质可求得线段的最小值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设点，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ， 因为平面，则，即， 所以， 因为，则当时，取最小值， 即的最小值为. 6．【数学运算】（25-26高二下·上海松江·期中）在空间直角坐标系中，平面平面，的一个法向量，为上的不同四点，满足．设，与的夹角为．若，则______． 【答案】 【分析】设平面的法向量为，由，，求得，令的方向向量为，通过，，求得，再由夹角公式即可求解. 【详解】因为，的法向量为， 设平面的法向量为，则，即，① 又都在上，则,即，② ①②联立，令，得， 即 又在上，令的方向向量为， 则，即 又，则，则， 即 令，解得，得， 又与的夹角即为与的夹角， ， ， ​， 因此： . 7．【动点轨迹问题】（25-26高二下·四川南充·阶段检测）在棱长为10的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为_______. 【答案】 【详解】以为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则，，， ，设，， 由，得，即，化简得. 正方体内切球球心为正方体中心，半径， 点满足. 设球心在平面的投影为， 则在平面上到直线的距离. 即球心到轨迹所在平面距离为,则轨迹圆半径. 轨迹长度为. 8．【探究型问题】如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在点使得平面， 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则，， ，， 设平面的法向量为， 则， 设，则，， 故为平面的一个法向量. 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. 9．【探究型问题】（25-26高二上·广东·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点. (1)求证：； (2)为线段上的动点，则是否存在使得平面？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若为中点，为的重心，为上一点，且，过作任一平面分别交、、于、、，若，，，求证：为定值. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，；(3)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论； （2）假设存在使得平面，设，根据线面垂直可得，求出参数的值，即可得结论； （3）由为的重心，可得，利用向量的运算推出，再根据、、、四点共面，则存在，使得，继而得，结合空间向量基本定理即可证明结论. 【详解】（1）证明：以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， ，，， 则、、、、， 是的中点，则，，， ，，即. （2）假设存在使得平面， 由（1）得，， 设，其中， 则，， 因为平面，平面， 故，平面， 若平面，则只需，解得，， 故存在点，使得平面，此时. （3）证明：因为为的重心，则， 即，可得， 因为为上一点，且，则， 因为、、、四点共面，则存在，使得， 即， 所以， 又因为，且、、不共面， 由空间向量基本定理可得， 因此为定值. 10．【翻折问题】（24-25高二上·山东枣庄·阶段检测）如图所示，是梯形的高，OA=OB=BC=1，OD=3OA=3OF，E为AB的中点，将梯形沿折起得到如图所示的四棱锥，使得． 在棱CD上是否存在一点Q，使得PQ//平面CEF？若存在，指出点Q的位置，若不存在，请说明理由.    【答案】存在Q，点Q是CD的中点 【分析】根据题意线面垂直的判定可得平面，然后建立空间直角坐标系，进而求出平面CEF的法向量，根据线面平行得直线的方向向量与平面的法向量垂直， 即求解即可 【详解】存在Q，点Q是CD的中点，其理由如下： 因为是梯形，所以且, 所以四边形是正方形， 所以, 而，，所以，所以， 因为是梯形的高，所以 由，，在平面内相交于点， 所以平面， 如图，以O为坐标原点，OB，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. ，，，， 因为E为PB的中点，所以， 设平面的法向量为，所以， 所以， 令，则，所以， 由三点共线，设， ， 又PQ//平面CEF，所以， 即在棱CD上是存在一点Q，使得PQ//平面CEF，此时Q 是CD的中点.    1．（2026·上海·高考真题）已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与轴、轴、轴重合，顶点与坐标原点重合，点是正方体底面中与相对的对角顶点，点在点的正上方．将正方体绕直线旋转一周，试问点的运动轨迹会经过几个空间卦限（     ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设正方体的棱长为3，分析可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，解法一：设，列方程分析点的轨迹与各坐标面的交点即可判断；解法二：利用补形法，可知点的轨迹即为的内切圆，即可判断结果. 【详解】不妨设正方体的棱长为3， 则，，， 可得，， 设点在体对角线上的投影为，，，    则， 可得，解得， 则，即，且， 可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆， 解法一：在点的轨迹任取一点，则， 则，整理可得， 令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切， 令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切， 令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切， 所以点的轨迹经过空间中的1个卦限； 解法二：将正方体补成边长为6的正方体，如图所示：    则，，， 可知为边长为的正三角形，且其中心为，且内切圆半径， 即可知点的轨迹即为的内切圆，所以点的轨迹经过空间中的1个卦限. 2．（2022·全国乙卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD. 【详解】解：在正方体中， 且平面， 又平面，所以， 因为分别为的中点， 所以，所以， 又， 所以平面， 又平面， 所以平面平面，故A正确； 选项BCD解法一： 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， 则， ， 则，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 同理可得平面的法向量为， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 则， 所以平面与平面不垂直，故B错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故C错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故D错误， 故选：A. 选项BCD解法二： 解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线， 在内，作于点，在内，作，交于点，连结， 则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角， 由勾股定理可知：，， 底面正方形中，为中点，则， 由勾股定理可得， 从而有：， 据此可得，即， 据此可得平面平面不成立，选项B错误； 对于选项C，取的中点，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误； 对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误； 故选：A. 3．（多选）（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 4．（2000·全国·高考真题）如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【详解】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有，且两两所成角相等，设为， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $