1.2.3 直线与平面的夹角（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习以“直线与平面的夹角”为核心，通过A、B、C三层设计，构建从基础运算到综合探究的知识巩固路径，培养数学思维与空间观念，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|线面角向量求法及逆用（已知角求量）|基础证明与计算结合，如三棱柱、正方体模型题，巩固向量法核心步骤| |B组|含动点/参数的线面角问题|多面体情境与方程思想结合，如四棱锥中动线段比值计算，提升推理能力| |C组|复杂情境下的综合探究|跨立体几何与代数综合题，如二面角与线面角关联证明，发展创新意识|

分层作业 1.2.3　直线与平面的夹角 目 录 A组 巩固过关 题型01   线面角的向量求法 题型02   已知线面角求其他量 B组 能力进阶 C组 思维拔高     线面角的向量求法题型01 1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱中，平面，点到平面的距离为1． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为，所以． 又因为平面，且平面， 所以,, 因为，且平面， 所以平面． 过作，垂足为，则平面， 所以． 又，且平面， 所以平面． 则， 即到的距离为1， 所以到的距离也为1， 在中，由勾股定理可得①， 由面积公式可得, 即②， 由①②解得， 所以； (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，过作，垂足为，从而得平面，且有，即可得证； （2）结合（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略； （2）由（1）得 又因为平面，且平面，所以． 在直角三角形中，， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 由于， 所以, 所以， 即, 设平面的一个法向量为， 则，解得， 则． 设直线与平面所成角为，则． 又， 因此． 2．（25-26高二下·四川自贡·期末）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以. 又，平面，因此平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2） 取中点为，中点为，则，. 由（1）知，平面，平面，则. 又，故，，平面， 则平面，即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 设直线与平面所成角为， 则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 3．（25-26高二下·山西·期末）如图，正方体的棱长为分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：取的中点为，连接. 因为分别是的中点，所以. 在正方体中，，又为的中点， 所以，四边形是平行四边形，. 又平面平面，所以平面． (2) 【分析】（1）取棱的中点，使目标直线与平面 内的一条直线平行，从而由线面平行的判定定理直接得证； （2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得直线 的方向向量和平面 的法向量；利用线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，通过向量数量积公式计算即得结果． 【详解】（1）略． （2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为分别为的中点， 所以 所以， 设是平面的法向量，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 已知线面角求其他量题型02 4．（25-26高二下·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)点在侧面内，且到直线的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)取的中点F，连接， 因为E为的中点，故， 又为的中点，,得, 故四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. (2)以点B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故，即， 故平面； (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，利用向量法即可证明； （3）取的中点G，连接，确定P点在上，设，根据直线与平面所成角的正弦值为，求出m的值，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点G，连接，则,且， 结合题意可知四边形为矩形，此时， 即得上任一点到的距离均为，故P点在上， 设，， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， 直线与平面所成角的正弦值为， 则，解得，（舍去）， 故. 5．（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是分别以为斜边的等腰直角三角形，是棱上的动点. (1)证明：； (2)若与平面所成角的大小为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为先证明线面垂直，即先证明平面； （2）根据几何关系，建立坐标系，代入线面角的向量公式，求得的值. 【详解】（1）证明：因为，是分别以，为斜边的等腰直角三角形， 所以，，且平面，平面，， 所以平面，所以. 因为四边形是菱形，所以. 因为平面，，所以平面，所以. （2）由（1）可知平面，且，所以和是等边三角形， 取棱的中点，连接，易证两两垂直， 故以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，，，则，，，， 则，，， 所以. 设平面的法向量为，则 令x=，得. 所以==， 整理得，解得或(舍去)，所以=2. 6．（25-26高二上·山东菏泽·期末）如图，在斜三棱柱中，为的中点，且平面. (1)证明：四边形为矩形； (2)若点在线段上（异于点），直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，连接OA，由AB=AC=√2,O为BC的中点，得OA⊥BC， 又，则，而平面，则直线两两垂直， 如图，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由，得， 又四边形为平行四边形，所以四边形为矩形. (2)或. 【分析】（1）以O为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面的法向量，利用线面角的向量求法列式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，， 则， 设， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成的角为， 则 ， 即，解得或， 所以的值为或. 1．（25-26高二上·湖北孝感·期末）在平行六面体中中，，为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设作为基底，利用向量数量积求出，再利用基底表示向量，利用向量法说明为平面的法向量，最后利用向量法求出线面角的正弦值即可. 【详解】由题意如图所示： 设两两夹角都是， 故，同理， ， 因为， ， 所以为平面的法向量， 由 ， ， ， 设直线与平面所成角为， 则， 故选：D. 2（25-26高二上·浙江宁波·期末）在三棱锥中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设中点为，连接， 先证平面，再以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角即可． 【详解】设中点为，连接， 不妨设， ，， ， ，， ，则， 又， ， 平面， 平面， 故以为原点建立空间直接坐标系， 则， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则， ， 设直线与平面所成角为， ． 故选：D． 3．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）如图，在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值. 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且， 所以以B为原点、AB所在直线为x轴、BC所在直线为y轴、所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．    因为，所以， 故． 设为平面的一个法向量， 则， 令，得． 设直线与平面，所成的角为， 则， 故选：A． 4．（25-26高二上·四川达州·期末）在直三棱柱中，，，，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可. 【详解】在直三棱柱中，可得平面， 因为，所以， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，， 因为E为的中点，所以由中点坐标公式得， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，解得，， 故，设与平面所成角为， 则，故D正确. 故选：D 5．（25-26高二上·天津·期末）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据向量夹角的余弦公式计算线面夹角的正弦值即可. 【详解】设直线与平面所成角为，因为直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 所以. 所以，即直线与平面所成角为. 故选：A. 6．（16-17高二上·河北衡水·期末）已知向量，分别是直线的方向向量和平面的法向量，若，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用线面角与方向向量、平面法向量夹角的关系即可求解. 【详解】设直线与平面所成的角为， 则， 又，所以. 故选：A. 7．（24-25高二上·湖南常德·期中）是分别以点为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，分别为轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】因为是分别以点为端点的三条相等线段，且两两垂直， 以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系，    设，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，令得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为， 故选：D 8．（25-26高二上·北京·期末）如图，在长方体中，，，那么直线与平面所成的角的余弦值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    由，得， 则，设平面的法向量， 则，取，得，设直线与平面所成角为， 因此，， 所以直线与平面所成的角的余弦值是. 故选：A 9．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意，l与所成角的正弦值为， 于是，即，解得. 故选：B. 10．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，用向量的方法直接计算线面角的正弦值. 【详解】因为平面，平面，所以. 又因为，所以， 故以A点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则， 又因为分别是棱的中点，所以. 设平面的法向量为，. 由，得，令，则，即. 因为，所以直线与平面所成角的正弦值为 . 故选：C. 11．（25-26高二上·山西·期中）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用空间向量法求得直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数关系即得解. 【详解】记，， 则直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值为 故选：D. 12．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知二面角的平面角为，在平面内有一条射线与棱所成的锐角为，与平面所成的角为，则必有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面垂直性质与线段之间的关系建立等式. 【详解】设点为点在平面上的射影，作垂直棱于C，连接， 由三垂线定理可知垂直棱， 可得是平面的平面角，是与平面所成的角，是与棱所成的角， 可得：，， 则 故选:A 13．（25-26高二上·湖北·阶段检测）在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面的方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设定义得平面的法向量为，结合直线方向向量，求线面角的正弦值. 【详解】由过，可化为， 所以平面的法向量为，而直线的方向向量为， 所以直线与平面的所成角的正弦值. 故选：D 1．（24-25高二下·河南漯河·期末）在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点O，连接，可得平面，建立如图所示的直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解. 【详解】取的中点O，连接， 因为为正三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 建立如图所示的直角坐标系， 则，，，，，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为. 又，设与平面所成角为， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·江西九江·期末）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，． (1)求证：平面ABC； (2)若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)由题可知，，． 在中，， 所以， 在三棱柱中，所以， 因为平面平面 且平面平面， 所以平面 (2) 【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得，进而利用面面垂直的性质可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和直线的一个方向向量，利用向量法可求得与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）略. （2）因为，所以 ，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意，得，， ， ，且D为的中点，即 ， 则 ， ， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以 ， 设与平面所成角为 ，则， 所以与平面所成角的正弦值. 3．（25-26高二下·河南许昌·期末）如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，BC的中点，点H在棱上，且． (1)证明：； (2)当平面CEF时，求直线EH与平面CEF所成角的正弦值． 【答案】(1) 连接AG，，． 在正方体中，底面ABCD，底面ABCD，所以． 因为G，F分别是BC，AB的中点，所以， 即，进而. 因为，所以，所以． 又平面，所以平面， 又平面，所以． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）在正方体中，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， . 设为平面CEF的法向量， 因为，， 所以令，则． 因为平面CEF，所以，解得， 所以． 设直线EH与平面CEF所成的角为θ， 则， 即直线EH与平面CEF所成角的正弦值为． 4．（25-26高二下·四川宜宾·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)证明：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为底面是正方形，所以， 又因为平面平面，且平面底面，底面， 所以平面， 因为平面，所以． 又因为是正三角形，是的中点，所以． 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以． (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明； （2）解法1：根据线面角的定义作出线面角的平面角，计算即可求解；解法2：建立空间直角坐标系，根据线面角空间向量法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）解法1：作，垂足为，连接． 因为平面平面，平面平面，且平面，， 则平面． 所以为在平面上的射影，为直线与平面所成的角． 因为平面，平面，所以． 因为，，所以， 因为，所以． 在中，． 所以直线与平面所成角的正弦值为．   解法2：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系．已知底面边长为，是正三角形， 所以，，，，则， 因为是的中点，故，所以，， 设平面的法向量为， 所以，即，令， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 5．（25-26高二下·浙江温州·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且，，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：在四棱锥中， ∵，，∴三角形为等腰直角三角形． 如图取中点，连接．则，且 ∵四边形为正方形，∴， 又∵， ∴．∴． 又∵，且，平面， ∴平面． 又∵平面， ∴平面平面． (2) 【分析】（1）取中点，连接，可证明平面，从而可证明平面平面. （2）建立恰当空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【详解】（1）略. （2）如图，在平面内过点作，交于点. 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则，，， ，， 设平面PCD的一个法向量为， ，令，则，，故， 设直线与平面所成的角为，则 ∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. 6．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)解法1：连接，， 因为在直三棱柱中，四边形为平行四边形， 所以M为中点，又N为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面．    解法2：证明：取中点P，连结，，由M，N分别是与的中点， 所以, 又因为平面，平面， 所以平面． 同理，平面． 又，平面， 所以面面． 而平面，所以平面． (2)． 【分析】（1）方法1，通过线面平行判定定理证明，方法2，通过面面平行证明线面平行； （2）利用空间向量法求解线面角的正弦值. 【详解】（1）略. （2）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，    设，则． 则，，，，，， 所以，，． 设平面MNC的一个法向量为， 则，． 即 ，令，则． 所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为，又， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 7．（25-26高二下·四川成都·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱中点， ，，． (1)求证： ； (2)若中点为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为平面，所以，， 在矩形中：，则、、两两互相垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：、、，设， 故，，， 所以，即. (2). 【详解】（1）略. （2）因为、、、、， 故，，， 设平面的一个法向量为，则，即， 化简得，令，得，所以，， ，， ， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 8．（2026·河南周口·三模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，为棱上靠近点的三等分点，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合勾股定理，由面面垂直的性质定理可证. （2）先切换顶点，再通过线面垂直求出棱锥的高，最后体积公式可得结果. （3）建立空间直角坐标系，求出平面法向量，法向量与直线向量夹角的余弦值绝对值为所成角的正弦值. 【详解】（1）由条件得，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，因为，所以平面， ，垂足为，平面，所以， ，平面，所以平面， ， ， 所以. （3）由（1）（2）可知，两两垂直， 以为原点，分别以、、为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ， 设平面的法向量，则：， 令，则，所以， 设直线MN与平面的所成角为，直线MN与平面的法向量所成的角为， 则 . 9．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，，是棱的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)连接交于点，因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，则平面． (2) 【分析】（1）连接交于点，求证即可求证； （2）以为原点建系，计算平面的法向量为，计算即可. 【详解】（1）略 （2）以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 由，得，令，得， 所以， 则直线与平面夹角的正弦值为． 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2.3　直线与平面的夹角 目 录 A组 巩固过关 题型01   线面角的向量求法 题型02   已知线面角求其他量 B组 能力进阶 C组 思维拔高     线面角的向量求法题型01 1．（25-26高二下·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱中，平面，点到平面的距离为1． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 2．（25-26高二下·四川自贡·期末）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的余弦值． 3．（25-26高二下·山西·期末）如图，正方体的棱长为分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. A． B． C． D． 已知线面角求其他量题型02 4．（25-26高二下·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)点在侧面内，且到直线的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 5．（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是分别以为斜边的等腰直角三角形，是棱上的动点. (1)证明：； (2)若与平面所成角的大小为，求的值. 6．（25-26高二上·山东菏泽·期末）如图，在斜三棱柱中，为的中点，且平面. (1)证明：四边形为矩形； (2)若点在线段上（异于点），直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 1．（25-26高二上·湖北孝感·期末）在平行六面体中中，，为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）在三棱锥中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）如图，在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·四川达州·期末）在直三棱柱中，，，，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·天津·期末）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（16-17高二上·河北衡水·期末）已知向量，分别是直线的方向向量和平面的法向量，若，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·湖南常德·期中）是分别以点为端点的三条相等线段，且每两条线段所在直线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·北京·期末）如图，在长方体中，，，那么直线与平面所成的角的余弦值是（　　）    A． B． C． D． 9．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．4 10．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·山西·期中）在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知二面角的平面角为，在平面内有一条射线与棱所成的锐角为，与平面所成的角为，则必有（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·湖北·阶段检测）在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面的方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·河南漯河·期末）在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江西九江·期末）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，． (1)求证：平面ABC； (2)若，D为的中点，求与平面所成角的正弦值． 3．（25-26高二下·河南许昌·期末）如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，BC的中点，点H在棱上，且． (1)证明：； (2)当平面CEF时，求直线EH与平面CEF所成角的正弦值． 4．（25-26高二下·四川宜宾·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)证明：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 5．（25-26高二下·浙江温州·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且，，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 6．（25-26高二下·江苏宿迁·期末）如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 7．（25-26高二下·四川成都·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱中点， ，，． (1)求证： ； (2)若中点为，求直线与平面所成角的正弦值． 8．（2026·河南周口·三模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，为棱上靠近点的三等分点，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 9．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，，是棱的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2.3　直线与平面的夹角     线面角的向量求法题型01 1．(1)证明：因为，所以． 又因为平面，且平面， 所以,, 因为，且平面， 所以平面． 过作，垂足为，则平面， 所以． 又，且平面， 所以平面． 则， 即到的距离为1， 所以到的距离也为1， 在中，由勾股定理可得①， 由面积公式可得, 即②， 由①②解得， 所以； (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，过作，垂足为，从而得平面，且有，即可得证； （2）结合（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略； （2）由（1）得 又因为平面，且平面，所以． 在直角三角形中，， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 由于， 所以, 所以， 即, 设平面的一个法向量为， 则，解得， 则． 设直线与平面所成角为，则． 又， 因此． 2．(1)在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以. 又，平面，因此平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量为，利用向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2） 取中点为，中点为，则，. 由（1）知，平面，平面，则. 又，故，，平面， 则平面，即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 设直线与平面所成角为， 则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 3．(1)证明：取的中点为，连接. 因为分别是的中点，所以. 在正方体中，，又为的中点， 所以，四边形是平行四边形，. 又平面平面，所以平面． (2) 【分析】（1）取棱的中点，使目标直线与平面 内的一条直线平行，从而由线面平行的判定定理直接得证； （2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得直线 的方向向量和平面 的法向量；利用线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，通过向量数量积公式计算即得结果． 【详解】（1）略． （2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为分别为的中点， 所以 所以， 设是平面的法向量，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 已知线面角求其他量题型02 4．(1)取的中点F，连接， 因为E为的中点，故， 又为的中点，,得, 故四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. (2)以点B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故，即， 故平面； (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，利用向量法即可证明； （3）取的中点G，连接，确定P点在上，设，根据直线与平面所成角的正弦值为，求出m的值，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点G，连接，则,且， 结合题意可知四边形为矩形，此时， 即得上任一点到的距离均为，故P点在上， 设，， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， 直线与平面所成角的正弦值为， 则，解得，（舍去）， 故. 5．(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为先证明线面垂直，即先证明平面； （2）根据几何关系，建立坐标系，代入线面角的向量公式，求得的值. 【详解】（1）证明：因为，是分别以，为斜边的等腰直角三角形， 所以，，且平面，平面，， 所以平面，所以. 因为四边形是菱形，所以. 因为平面，，所以平面，所以. （2）由（1）可知平面，且，所以和是等边三角形， 取棱的中点，连接，易证两两垂直， 故以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，，，则，，，， 则，，， 所以. 设平面的法向量为，则 令x=，得. 所以==， 整理得，解得或(舍去)，所以=2. 6．(1)在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，连接OA，由AB=AC=√2,O为BC的中点，得OA⊥BC， 又，则，而平面，则直线两两垂直， 如图，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由，得， 又四边形为平行四边形，所以四边形为矩形. (2)或. 【分析】（1）以O为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面的法向量，利用线面角的向量求法列式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，， 则， 设， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成的角为， 则 ， 即，解得或， 所以的值为或. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D D A D A A D A B C D A D 1．B 2．(1)由题可知，，． 在中，， 所以， 在三棱柱中，所以， 因为平面平面 且平面平面， 所以平面 (2) 【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得，进而利用面面垂直的性质可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和直线的一个方向向量，利用向量法可求得与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）略. （2）因为，所以 ，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意，得，， ， ，且D为的中点，即 ， 则 ， ， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以 ， 设与平面所成角为 ，则， 所以与平面所成角的正弦值. 3．(1) 连接AG，，． 在正方体中，底面ABCD，底面ABCD，所以． 因为G，F分别是BC，AB的中点，所以， 即，进而. 因为，所以，所以． 又平面，所以平面， 又平面，所以． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）在正方体中，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， . 设为平面CEF的法向量， 因为，， 所以令，则． 因为平面CEF，所以，解得， 所以． 设直线EH与平面CEF所成的角为θ， 则， 即直线EH与平面CEF所成角的正弦值为． 4．(1)因为底面是正方形，所以， 又因为平面平面，且平面底面，底面， 所以平面， 因为平面，所以． 又因为是正三角形，是的中点，所以． 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以． (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明； （2）解法1：根据线面角的定义作出线面角的平面角，计算即可求解；解法2：建立空间直角坐标系，根据线面角空间向量法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）解法1：作，垂足为，连接． 因为平面平面，平面平面，且平面，， 则平面． 所以为在平面上的射影，为直线与平面所成的角． 因为平面，平面，所以． 因为，，所以， 因为，所以． 在中，． 所以直线与平面所成角的正弦值为．   解法2：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系．已知底面边长为，是正三角形， 所以，，，，则， 因为是的中点，故，所以，， 设平面的法向量为， 所以，即，令， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 5．(1)证明：在四棱锥中， ∵，，∴三角形为等腰直角三角形． 如图取中点，连接．则，且 ∵四边形为正方形，∴， 又∵， ∴．∴． 又∵，且，平面， ∴平面． 又∵平面， ∴平面平面． (2) 【分析】（1）取中点，连接，可证明平面，从而可证明平面平面. （2）建立恰当空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【详解】（1）略. （2）如图，在平面内过点作，交于点. 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则，，， ，， 设平面PCD的一个法向量为， ，令，则，，故， 设直线与平面所成的角为，则 ∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. 6．(1)解法1：连接，， 因为在直三棱柱中，四边形为平行四边形， 所以M为中点，又N为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面．    解法2：证明：取中点P，连结，，由M，N分别是与的中点， 所以, 又因为平面，平面， 所以平面． 同理，平面． 又，平面， 所以面面． 而平面，所以平面． (2)． 【分析】（1）方法1，通过线面平行判定定理证明，方法2，通过面面平行证明线面平行； （2）利用空间向量法求解线面角的正弦值. 【详解】（1）略. （2）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，    设，则． 则，，，，，， 所以，，． 设平面MNC的一个法向量为， 则，． 即 ，令，则． 所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为，又， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 7．(1)因为平面，所以，， 在矩形中：，则、、两两互相垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：、、，设， 故，，， 所以，即. (2). 【详解】（1）略. （2）因为、、、、， 故，，， 设平面的一个法向量为，则，即， 化简得，令，得，所以，， ，， ， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 8．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合勾股定理，由面面垂直的性质定理可证. （2）先切换顶点，再通过线面垂直求出棱锥的高，最后体积公式可得结果. （3）建立空间直角坐标系，求出平面法向量，法向量与直线向量夹角的余弦值绝对值为所成角的正弦值. 【详解】（1）由条件得，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，因为，所以平面， ，垂足为，平面，所以， ，平面，所以平面， ， ， 所以. （3）由（1）（2）可知，两两垂直， 以为原点，分别以、、为轴建立空间直角坐标系， ，，，， ， 设平面的法向量，则：， 令，则，所以， 设直线MN与平面的所成角为，直线MN与平面的法向量所成的角为， 则 . 9．(1)连接交于点，因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，则平面． (2) 【分析】（1）连接交于点，求证即可求证； （2）以为原点建系，计算平面的法向量为，计算即可. 【详解】（1）略 （2）以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 由，得，令，得， 所以， 则直线与平面夹角的正弦值为． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $