专题01 空间向量及其运算（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以13类题型为载体，系统整合空间向量概念、运算及应用，通过"解题贴士"提炼可迁移方法，构建从基础到综合的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与运算|5题型+多变式|概念类比平面向量，运算技巧含平移与相反向量转化|从向量概念生成到加减、数乘运算，奠定工具基础| |位置关系判断|2题型+多变式|共线用λ倍表示、共面用线性组合证明|衔接运算，建立空间点线面位置关系的向量判断体系| |数量积应用|6题型+多变式|求夹角、模长及垂直的数量积公式应用步骤|深化向量工具性，实现几何问题代数化，发展空间观念与逻辑推理|

专题01 空间向量坐标运算 常考题型·精准突破 题型1 空间向量的有关概念 题型2 空间向量的加、减运算 题型3 空间向量的数乘运算 题型4 共线向量 题型5 共面向量 题型6 三点共线问题 题型7 四点共面问题 题型8 空间向量的夹角 题型9 空间向量的数量积 题型10 投影向量 题型11 利用数量积求夹角 题型12 利用数量积求模 题型13利用数量积证明垂直问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 空间向量的有关概念 ( 解题贴士 ： 空间向量的概念与平面向量的概念类似 ， 平面向量的其他相关概念 ， 如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念 . ) 【例1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【变式1】（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【变式2】（24-25高二上·全国·单元测试）已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 ◆题型2 空间向量的加、减运算 ( 解题贴士 ： 空间向量加、减运算的两个技巧 （ 1 ） 巧用相反向量 ： 灵活运用相反向量实现向量加、减运算的相互转化 ； （ 2 ） 巧用平移 ： 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时 ， 务必注意和向量、差向量的方向 ， 必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果 . ) 【例2】（25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． ◆题型3 空间向量的数乘运算 ( 解题贴士 ： 利用数乘运算进行向量表示的技巧 （ 1 ） 明确目标 ： 在化简过程中要有目标意识 ， 巧妙运用中点性质 ； （ 2 ） 数形结合 ： 利用数乘运算解题时 ， 要结合具体图形 ， 利用三角形法则、平行四边形法则 ， 将目标向量转化为已知向量 . ) 【例3】（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． ◆题型4 共线向量 ( 解题贴士 ： 判断两个非零向量共线的方法 判断或证明两个向量 a ， b （ b ≠ 0 ） 共线 ， 就是寻找实数 λ ， 使 a ＝ λ b 成立 ， 为此常结合题目图形 ， 运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表示 . ) 【例4】（25-26高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） 【变式2】（25-26高二上·贵州黔东南·期中）在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）若空间向量不共线，且，则xy＝（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 ◆题型5 共面向量 ( 解题贴士 ： 向量共面的判定方法 充分利用题目条件将其中一个向量表示成另两个不共线向量的线性组合 ， 即若 p ＝ x a ＋ y b （ a ， b 不共线 ）， 则向量 p ， a ， b 共面 . ) 【例5】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）若构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 【变式1】（25-26高二下·浙江·阶段检测）三个非零向量则“共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（25-26高二上·山东·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ◆题型6 三点共线问题 ( 解题贴士 ： 证明空间三点 P ， A ， B 共线的方法 （ 1 ） ＝ λ （ λ ∈ R ）； （ 2 ） 对空间任一点 O ， ＝ ＋ t （ t ∈ R ）； （ 3 ） 对空间任一点 O ， ＝ x ＋ y （ x ＋ y ＝ 1 ）. ) 【例6】（25-26高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． ◆题型7 四点共面问题 ( 解题贴士 ： 四点共面的证明方法 （ 1 ） 先证三向量共面 ， 即 ＝ x ＋ y ， 又三向量过同一点 P ， 则 P ， A ， B ， C 四点共面 ； （ 2 ） 若对空间任意一点 O ， 有 ＝ ＋ x ＋ y ， 则 P ， A ， B ， C 四点共面 ； （ 3 ） 若对空间任意一点 O ， 有 ＝ x ＋ y ＋ z （ 其中 x ＋ y ＋ z ＝ 1 ）， 则 P ， A ， B ， C 四点共面 ； （ 4 ） 若 ∥ （ 或 ∥ 或 ∥ ）， 则 P ， A ， B ， C 四点共面 . ) 【例7】（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【变式2】（25-26高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数的值是（   ）. A． B．1 C． D．6 【变式3】（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． ◆题型8 空间向量的夹角 ( 解题贴士 ： 对两个空间向量夹角的理解 （ 1 ） 求两个空间向量的夹角时 ， 要结合夹角的定义和图形 ， 以防出错 ； （ 2 ） 两个非零向量才有夹角 ， 当两个非零向量同向时 ， 夹角为 0 ； 反向时 ， 夹角为 π . ) 【例8】在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【变式1】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（　　） A.与 B.与 C.与 D.与 【变式2】如图在正三棱锥中，，则________；________． 【变式3】如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求向量分别与向量，，，，的夹角. ◆题型9 空间向量的数量积 ( 解题贴士 ： 求空间向量数量积的步骤 （ 1 ） 将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清 ； （ 2 ） 利用向量的运算律将数量积展开 ， 转化为已知模和夹角余弦值的乘积 ； （ 3 ） 代入 a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜ cos ＜ a ， b ＞ 求解 . ) 【例9】（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【变式1】（25-26高二上·重庆黔江·期中）在平行六面体中，,,则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．8 【变式2】（25-26高二上·湖南·阶段检测）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【变式3】（25-26高二上·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 ◆题型10 投影向量 ( 解题贴士 ： 投影向量中的两点注意 （ 1 ） 在投影向量公式中 ， 是向量 b 的单位向量 ， 不可以省去 ； （ 2 ） 向量 a 在向量 b 上的投影向量也可以表示为 · . ) 【例10】（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（    ） A．2 B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·北京朝阳·期中）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． ◆题型11 利用数量积求夹角 ( 解题贴士 ： 利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 ) 【例11】空间四边形中，，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【变式1】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，则向量与的夹角是（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 【变式2】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＜，＞＝（　B　） A.30° B.60° C.90° D.120° 【变式3】已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为 ◆题型12 利用数量积求模 ( 解题贴士 ： 利用数量积求两点间的距离或线段的长度的步骤 （ 1 ） 将此线段用向量表示 ； （ 2 ） 用其他已知夹角和模的向量表示该向量 ； （ 3 ） 利用 ｜ a ｜＝ ， 计算出 ｜ a ｜， 即得所求距离 ) 【例12】（25-26高二上·云南·期中）已知空间单位向量两两垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式1】（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B．2 C． D．2 【变式2】（25-26高二上·河南三门峡·期末）在平行六面体中，，，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，点是PC的中点，，，则（    ） A． B． C． D．4 ◆题型13 利用数量积证明垂直问题 ( 解题贴士 ： . 利用数量积证明垂直问题的步骤 （ 1 ） 把几何问题转化为向量问题 ； （ 2 ） 用已知向量表示所证向量 ； （ 3 ） 结合数量积公式和运算律证明数量积为 0 ； （ 4 ） 将向量问题回归到几何问题 . ) 【例13】已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【变式1】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，M，N分别是AB，CD的中点.证明：MN⊥AB. 【变式2】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.求证：⊥. 【变式3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC＝4，∠ABC＝∠BCP＝∠DCP＝120°. （1）利用空间向量证明PA⊥BD； （2）求AP的长. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）在空间四边形中，等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·甘肃武威·课后作业）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（  ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，点在线段上，且，为线段的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 8（25-26高二下·上海·阶段检测）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 9．（25-26高二上·浙江温州·期中）在平行六面体中，，，，，则（   ） A． B．3 C． D． 10．（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 14．（25-26高二上·广东清远·期中）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三上·江苏常州·期末）在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 17．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，是一个单位的正交基底，且向量，，则与夹角的余弦值为______． 18．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 19．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）如图，在空间四边形OABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 20．（25-26高二上·陕西西安·期中）如图，在空间四边形中，点、分别为、的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 21．（25-26高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量坐标运算 常考题型·精准突破 题型1 空间向量的有关概念 题型2 空间向量的加、减运算 题型3 空间向量的数乘运算 题型4 共线向量 题型5 共面向量 题型6 三点共线问题 题型7 四点共面问题 题型8 空间向量的夹角 题型9 空间向量的数量积 题型10 投影向量 题型11 利用数量积求夹角 题型12 利用数量积求模 题型13利用数量积证明垂直问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 空间向量的有关概念 ( 解题贴士 ： 空间向量的概念与平面向量的概念类似 ， 平面向量的其他相关概念 ， 如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念 . ) 【例1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【解析】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误.故选：C 【变式1】（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【解析】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量， 但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误.故选：B. 【变式2】（24-25高二上·全国·单元测试）已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 【答案】C 【解析】 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误.故选：C ◆题型2 空间向量的加、减运算 ( 解题贴士 ： 空间向量加、减运算的两个技巧 （ 1 ） 巧用相反向量 ： 灵活运用相反向量实现向量加、减运算的相互转化 ； （ 2 ） 巧用平移 ： 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时 ， 务必注意和向量、差向量的方向 ， 必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果 . ) 【例2】（25-26高二下·甘肃白银·期末）在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，所以. 【变式1】（25-26高二下·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【变式2】（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 【变式3】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. ◆题型3 空间向量的数乘运算 ( 解题贴士 ： 利用数乘运算进行向量表示的技巧 （ 1 ） 明确目标 ： 在化简过程中要有目标意识 ， 巧妙运用中点性质 ； （ 2 ） 数形结合 ： 利用数乘运算解题时 ， 要结合具体图形 ， 利用三角形法则、平行四边形法则 ， 将目标向量转化为已知向量 . ) 【例3】（25-26高一下·湖南长沙·期末）如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是的中点，则． 【变式1】（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，是的中点，故， 故． 【变式2】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在梯形中，，所以， 所以. 【变式3】（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】G是的中点，所以. ◆题型4 共线向量 ( 解题贴士 ： 判断两个非零向量共线的方法 判断或证明两个向量 a ， b （ b ≠ 0 ） 共线 ， 就是寻找实数 λ ， 使 a ＝ λ b 成立 ， 为此常结合题目图形 ， 运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表示 . ) 【例4】（25-26高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 【变式1】（25-26高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【解析】，，若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3.故选：C 【变式2】（25-26高二上·贵州黔东南·期中）在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，在正方体中，.故选：A. 【变式3】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）若空间向量不共线，且，则xy＝（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【解析】因为空间向量不共线，要使， 则，故选：D. ◆题型5 共面向量 ( 解题贴士 ： 向量共面的判定方法 充分利用题目条件将其中一个向量表示成另两个不共线向量的线性组合 ， 即若 p ＝ x a ＋ y b （ a ， b 不共线 ）， 则向量 p ， a ， b 共面 . ) 【例5】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）若构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 【答案】A 【解析】对于A，假设，，共面，则存在不全为零的实数，使， 即，则共面与构成空间的一组基底矛盾， 因此，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B不正确； 对于C，因为，所以，，共面，故C不正确； 对于D，因为，所以，，共面，故D不正确； 故选：A． 【变式1】（25-26高二下·浙江·阶段检测）三个非零向量则“共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由共面向量的基本定理可知，若三个非零向量满足，则共面， 反之，若三个非零向量共面，当共线，与不共线时，就不存在实数使得， 故共面是的必要不充分条件， 故选：B 【变式2】（25-26高二上·山东·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项，，共面； B选项，，共面； C选项，若存在，使得，则共面，与已知矛盾，所以假设错，不共面．D选项，，共面．故选：C． 【变式3】（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】充分性证明：由不平行，则可作为所在平面内的一组基底， 由，则必定共面，所以充分性成立； 必要性证明：由共面，且不平行，当共线时，， 则不存在两个非零常数，使得，所以必要性不成立. 综上，该条件是充分非必要条件.故选：A. ◆题型6 三点共线问题 ( 解题贴士 ： 证明空间三点 P ， A ， B 共线的方法 （ 1 ） ＝ λ （ λ ∈ R ）； （ 2 ） 对空间任一点 O ， ＝ ＋ t （ t ∈ R ）； （ 3 ） 对空间任一点 O ， ＝ x ＋ y （ x ＋ y ＝ 1 ）. ) 【例6】（25-26高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得，所以.故选：C. 【变式1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为. 因为、、三点共线，所以.所以.故选：D 【变式2】（25-26高二下·甘肃白银·期中）设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【解析】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面，所以，解得，所以.故选：C ◆题型7 四点共面问题 ( 解题贴士 ： 四点共面的证明方法 （ 1 ） 先证三向量共面 ， 即 ＝ x ＋ y ， 又三向量过同一点 P ， 则 P ， A ， B ， C 四点共面 ； （ 2 ） 若对空间任意一点 O ， 有 ＝ ＋ x ＋ y ， 则 P ， A ， B ， C 四点共面 ； （ 3 ） 若对空间任意一点 O ， 有 ＝ x ＋ y ＋ z （ 其中 x ＋ y ＋ z ＝ 1 ）， 则 P ， A ， B ， C 四点共面 ； （ 4 ） 若 ∥ （ 或 ∥ 或 ∥ ）， 则 P ， A ， B ， C 四点共面 . ) 【例7】（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 【变式1】（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【解析】因为，所以， 即，故，所以P，B，C，D四点共面，故选C． 【变式2】（25-26高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数的值是（   ）. A． B．1 C． D．6 【答案】C 【解析】由四点共面，则存在实数，使得， 可得，即，可得， 因为，即，所以，解得.故选：C. 【变式3】（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，，四点共面，且， 所以，解得.故选：A ◆题型8 空间向量的夹角 ( 解题贴士 ： 对两个空间向量夹角的理解 （ 1 ） 求两个空间向量的夹角时 ， 要结合夹角的定义和图形 ， 以防出错 ； （ 2 ） 两个非零向量才有夹角 ， 当两个非零向量同向时 ， 夹角为 0 ； 反向时 ， 夹角为 π . ) 【例8】在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】D 【解析】由正四面体每个面都是正三角形可知， 故选：D 【变式1】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（　　） A.与 B.与 C.与 D.与 【答案】A 【解析】选项A中向量的夹角为45°，选项B、C、D中的向量的夹角为135°. 【变式2】如图在正三棱锥中，，则________；________． 【答案】 【解析】取的中点，连接、， 因为为正三棱锥且，所以三棱锥为正四面体， 所以、，又，平面，所以平面， 又平面，所以，所以，所以， 又为等边三角形，所以， 所以. 【变式3】如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求向量分别与向量，，，，的夹角. 【解】连接BD（图略）， 则在正方体ABCD-A'B'C'D'中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD'＝CD'， 所以＜，＞＝＜，＞＝45°， ＜，＞＝180°－＜，＞＝135°， ＜，＞＝∠D'AC＝60°， ＜，＞＝180°－＜，＞＝180°－60°＝120°， ＜，＞＝＜，＞＝90°. ◆题型9 空间向量的数量积 ( 解题贴士 ： 求空间向量数量积的步骤 （ 1 ） 将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清 ； （ 2 ） 利用向量的运算律将数量积展开 ， 转化为已知模和夹角余弦值的乘积 ； （ 3 ） 代入 a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜ cos ＜ a ， b ＞ 求解 . ) 【例9】（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【解析】  由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 【变式1】（25-26高二上·重庆黔江·期中）在平行六面体中，,,则的值为（    ） A． B．3 C．6 D．8 【答案】D 【解析】 故选：D. 【变式2】（25-26高二上·湖南·阶段检测）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【解析】在棱长为2的正方体中，易知， 因为与的夹角为， 所以与的夹角为.故选：B 【变式3】（25-26高二上·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】依题意可知, .故选：B ◆题型10 投影向量 ( 解题贴士 ： 投影向量中的两点注意 （ 1 ） 在投影向量公式中 ， 是向量 b 的单位向量 ， 不可以省去 ； （ 2 ） 向量 a 在向量 b 上的投影向量也可以表示为 · . ) 【例10】（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为，故选B 【变式1】（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】空间向量在向量方向上的投影向量为，故选：B. 【变式2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影为.故选B. 【变式3】（25-26高二上·北京朝阳·期中）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】四棱锥如图所示，底面是矩形，∴，= 底面，底面，∴， 过向量的始点作直线的垂线，垂足为点，过向量的终点作直线的垂线，垂足为点，在向量上的投影向量为，由底面是矩形,，故选：B ◆题型11 利用数量积求夹角 ( 解题贴士 ： 利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 ) 【例11】空间四边形中，，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【解析】，故 所以，故选D． 【变式1】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，则向量与的夹角是（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】C 【解析】∵A1A⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.∵AC＝AB＝，BC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC，又BC＝2AE＝2，∴E为BC的中点，∴＝（＋）.∵AC＝AA1＝，∴A1C＝2.∵·＝（＋）·（－）＝＝1，∴cos＜，＞＝＝，又0°≤＜，＞≤180°，∴＜，＞＝60°.故选C. 【变式2】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＜，＞＝（　B　） A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】B 【解析】不妨设正方体的棱长为1，则·＝（＋）·（＋）＝（＋）·（＋）＝·＋＋·＋·＝0＋＋0＋0＝＝1，又∵｜｜＝，｜｜＝，∴cos＜，＞＝＝＝，∴＜，＞＝60°. 【变式3】已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为 【答案】. 【解析】由已知得＝（＋），＝－＝－，因此｜｜＝｜＋｜＝＝，｜｜＝｜－｜ ＝＝.又因为·＝（＋）·（ －）＝×2－×2＋×2－2＝－2，所以cos＜，＞＝＝＝－.故异面直线OE与BF所成角的余弦值为. ◆题型12 利用数量积求模 ( 解题贴士 ： 利用数量积求两点间的距离或线段的长度的步骤 （ 1 ） 将此线段用向量表示 ； （ 2 ） 用其他已知夹角和模的向量表示该向量 ； （ 3 ） 利用 ｜ a ｜＝ ， 计算出 ｜ a ｜， 即得所求距离 ) 【例12】（25-26高二上·云南·期中）已知空间单位向量两两垂直，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】因为空间单位向量两两垂直，所以， 因此， 故选：D 【变式1】（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中，是的中点，则（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】C 【解析】由于， 所以 ，故选：C 【变式2】（25-26高二上·河南三门峡·期末）在平行六面体中，，，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，由，则， 由， 则，， 所以 .故选：B. 【变式3】（25-26高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，点是PC的中点，，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】根据题意，， ， 所以 ， 所以.故选：A ◆题型13 利用数量积证明垂直问题 ( 解题贴士 ： . 利用数量积证明垂直问题的步骤 （ 1 ） 把几何问题转化为向量问题 ； （ 2 ） 用已知向量表示所证向量 ； （ 3 ） 结合数量积公式和运算律证明数量积为 0 ； （ 4 ） 将向量问题回归到几何问题 . ) 【例13】已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【解析】由于，所以，即， 所以，解得. 【变式1】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，M，N分别是AB，CD的中点.证明：MN⊥AB. 证明：由题意可知，｜｜＝｜｜＝｜｜＝a，且向量，，两两的夹角均为60°，连接AN（图略）， 则＝－＝（＋）－， 所以·＝（·＋·－）＝（a2cos 60°＋a2cos 60°－a2）＝0， 所以⊥，即MN⊥AB. 【变式2】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.求证：⊥. 证明：＝＋＝－＋， ＝＋＝－（＋）， 所以·＝－（·＋·－－·＋·＋）＝－×（0＋0－1－0＋0＋1）＝0， 所以⊥. 【变式3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC＝4，∠ABC＝∠BCP＝∠DCP＝120°. （1）利用空间向量证明PA⊥BD； （2）求AP的长. 【解】（1）证明：设＝a，＝b，＝c，则＝－＝b－a，＝＋＋＝a＋b＋c， 所以·＝（b－a）·（a＋b＋c）＝b2－a2＋b·c－a·c＝32－32＋3×4×cos 60°－3×4×cos 60°＝0， 所以⊥，故PA⊥BD. （2）由（1）知＝a＋b＋c， 所以＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c ＝32＋32＋42＋2×3×3×cos 60°＋2×3×4×cos 60°＋2×3×4×cos 60°＝9＋9＋16＋9＋12＋12＝67. 所以AP＝｜｜＝. 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高一上·陕西商洛·阶段检测）在空间四边形中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量的加减运算法则可得：.故选C 2．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为底面是平行四边形，，所以是、的中点. 由向量的平行四边形法则可得，，， 所以.故选：D. 3．（25-26高二·甘肃武威·课后作业）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误； 若，则，而，据此可知，即两点重合，B错误； ，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，C错误；，则A、B、C三点共线，D正确；故选D. 4．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在四面体中，为棱的中点，则， 则. 5．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且. 对于A，由，得，点不共面，故A不合题意； 对于B，由，得，点不共面，故B不合题意； 对于C，由，得，点不共面，故C不合题意； 对于D，由，得，点共面，故D符合题意. 故选：D. 6．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，点在线段上，且，为线段的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 7．（25-26高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，， 若与共线，设，即， 可得，解得，故.故选：D. 8（25-26高二下·上海·阶段检测）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【解析】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为， 由数量积的几何意义可知，.故选：A 9．（25-26高二上·浙江温州·期中）在平行六面体中，，，，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】在平行六面体中，， 因为，，，， 所以 ，故选：C 10．（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 11．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 【答案】AC 【解析】A：因为，，，所以， 即，所以由共面向量定理可以判断向量，，共面，A正确； B：假设，所以存在，使得成立， 即， 因为空间向量，，不共面，所以，显然不成立，假设不成立，B不正确； C：因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D共面，C正确； D：， 因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D不共面，D不正确. 故选：AC 14．（25-26高二上·广东清远·期中）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为E，F分别是AB，AD的中点，所以， 所以，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：ABC. 15．（25-26高三上·江苏常州·期末）在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于选项A，，正确； 对于选项B，，错误； 对于选项C，，错误； 对于选项D，易得为正三角形， 故，正确；故选：AD． 16．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【答案】 【解析】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ，所以. 17．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，是一个单位的正交基底，且向量，，则与夹角的余弦值为______． 【答案】 【解析】由题意得， 所以， ， ， 所以. 18．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 【解】（1）证明：因为，，空间向量为单位向量，所以. . 所以在上的投影向量为. 故在上的投影向量为. （2）因为空间向量，均为单位向量，所以，，又， 所以，同理可得，又， 所以 .故. 19．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）如图，在空间四边形OABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 【解】（1）由题可得向量； （2）由题，， 由（1）得， 所以． 20．（25-26高二上·陕西西安·期中）如图，在空间四边形中，点、分别为、的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 【解】（1）由题可得向量； （2）由题， 由（1）得，又向量， 所以 . 21．（25-26高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）由（1）得， 所以，则； （3）由（1）， 所以 ， 所以，即的长为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $