1.1.1 空间向量及其运算（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学同步练，聚焦空间向量及其线性运算新授课，分层科学且梯度合理，知识巩固路径从概念到综合应用递进，适配日常教学与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|空间向量概念、加减/数乘运算、共线/共面判断及参数求解|标注易错点，基础题型对应单一知识点，衔接教材例题，强化空间观念| |B组能力进阶|多面体中向量表示、共面参数综合计算|多选题与解答题结合，整合多个知识点，培养推理能力与模型观念| |C组思维拔高|数学文化（堑堵模型）、逻辑推理（截面问题）|设置探究性问题，发展直观想象与创新意识，提升综合思维| |拓展链接高考|高考真题及模拟题（如平行六面体向量表示）|对接高考考点，强化数学语言表达与应用意识，助力阶段测评|

分层作业 1.1.1空间向量及其线性运算 目 录 A组 巩固过关 知识点01 空间向量的有关概念（易错） 知识点02 空间向量的加减运算 知识点03 空间向量的数乘运算 知识点04 空间向量共线的判断 知识点05 由空间向量共线求参数 知识点06 判定空间向量共面 知识点07 由空间向量共面求参数（重点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 空间向量的有关概念知识点01 知识点速记： (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 题型巩固练： 1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 2．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 空间向量的加减运算知识点02 知识点速记：空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言表述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形表示 平行四边形法则 语言表述 以共起点的两边为邻边作平行四边形， 共起点对角线为和 图形表示 减法运算 三角形法则 语言表述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形表示 运算律 交换律 结合律 题型巩固练： 4．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 5．（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【详解】. 故选：B 6．（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 7．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中，； B中，； C中，； D中，. 空间向量的数乘运算知识点03 知识点速记： 定义 任何一个向量都可看作某平面上的向量，它与实数相乘可类比平面向量数乘的法则进行，因而有 几何意义 与方向相同 的长度是的长度的倍 与方向相反 ，其方向是任意的 运算律 对实数加法的分配律 对向量加法的分配律 题型巩固练： 8．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 9．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． 10．（25-26高二下·江苏·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则. 11．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 空间向量共线的判断知识点04 知识点速记：空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量、，的充要条件是存在实数λ，使得． 题型巩固练： 12．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 13．（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 14．（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 由空间向量共线求参数知识点05 知识点速记：三点共线判定结论 空间中三点共线，具体结论如下： ⑴向量比例法：存在实数，使得； ⑵定点表示法：对于空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在唯一实数，使得； ⑶系数和性质：若，则三点共线的充要条件是. 题型巩固练： 15．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 16．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【详解】因为，所以，即，， 所以. 17．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 判断空间向量共面知识点06 知识点速记：1.直线的方向向量 （1）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上的任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得，把与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量． （2）直线可以由其上一点和它的 方向向量确定． 2. 空间向量共面的充要条件 （1）共面向量：平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （2）空间向量共面的充要条件：向量与不共线向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 3. 空间四点共面推论（重点） 设是空间中不共面的四点，对应空间任意一点， ⑴若，且系数满足，则四点共面；反之，若四点共面，则存在唯一的实数满足； ⑵点位于平面内的充要条件是存在实数对使得. 题型巩固练： 18．（多选）（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 19．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 20．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故A不符合； 对于B，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故B不符合； 对于C，假设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 则，故，所以，，共面，故C符合题意； 对于D，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故D不符合. 故选：C. 由空间向量共面求参数知识点07 21．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 22．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 23．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于点P与共面, 三点不共线, 故存在实数，使得， 则, 即， 而，故，解得， 故选：A 1、 单选题 1．（25-26高二上·云南曲靖·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 故选：B. 2．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. 3．（25-26高二上·福建福州·期末）在三棱锥中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    由是的中点，可知， 故选：B 4．（25-26高二上·河南开封·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，点在线段OA上，且，为线段BC的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B 5．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为正八面体，四边形为正方形； ； 是的中点，，则， 为的中点，四边形为平行四边形， ， . 6．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】连接交于点，连接， 在正四棱锥中，且为的中点， 则，，即， 则，即， 则， 由题意，四点共面，则，解得. 故选：A 7．在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误； 对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误. 于是四个选项都是错的. 故选：A 8．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 二、多选题 9．（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【详解】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误， 故选：BC 10．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，结合平面向量的基本定理可知四点共面，所以A选项正确； 由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数，使得，且，显然B选项不正确，C选项正确； 化简，可得， 满足四点不共面，D选项不正确． 故选：AC 11．（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 三、填空题 12．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 【答案】 【详解】由，则，即， 则. 13．（25-26高二上·吉林·开学考试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 【答案】0 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 14．（25-26高二上·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    【答案】 【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果. 【详解】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 四、解答题 15．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析 【详解】（1）因为，，所以，，共面， 所以四点共面． 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． （2） ， 所以. （3）. 16．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1);(2) 【详解】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 1．【数学文化】（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，因为是的中点，所以，    因为底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形， 又因M，N分别是的中点， 所以， 则， 又因，所以可得，解得， 所以. 故选：A. 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 3．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误； 对B，因为，所以共面，故B正确； 对C，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误； 对D，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误； 故选：B. 4．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）在四面体OABC中，空间的一点M满足，若共面，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】法一：根据空间向量运算结合共面向量定理即可得到相关方程组，解出即可； 法二：利用四点共面的结论即可. 【详解】法一：由题意，， ， 共面，所以存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得 法二：由共面得四点共面， 则根据四点共面的充要条件可得，即． 故选：A 5．【直观想象】（多选）（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用重心的性质得出，再利用向量的加减法计算求出，判断选项A；利用中点的性质计算，判断选项B；计算判断选项C；计算判断选项D． 【详解】 选项A：取中点，则是的一条中线，重心为，则， ， ， ，故A正确； 选项B：已知是中点，是中点， ，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：， ， 是中点， ，故D正确． 故选：ABD． 6．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，．若四点共面，则______．    【答案】24 【详解】如图，设的中点为，连接．    因为点为的重心，所以点在线段上． 因为 ， 所以， 所以． 若四点共面，则，解得． 7．【逻辑推理】（25-26高二下·上海·期中）如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】设平面与直线的交点为，由题意可得点在线段的延长线上，进而根据面面平行、线面平行的性质得到，，可得四边形为平行四边形，进而结合空间向量的线性运算可得，进而求解即可. 【详解】设平面与直线的交点为， 由于平面截所得截面是一个五边形， 则点在线段的延长线上， 在平行六面体中，平面平面， 因为平面，所以平面， 又平面，平面平面，则，同理可得， 所以四边形为平行四边形， 则， ， 由于点在线段的延长线上，则，即， 又点F在棱上，则，且时，点F与点重合，此时截面为四边形，不满足题意， 因此，则的取值范围是. 1．（2001·全国·高考真题）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 2．（2026·上海·高考真题）已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 【答案】 【详解】方法一：因为，所以. 因为，所以， 所以， 因为不平行，所以，所以. 方法二：因为，，两两不平行， 所以，. 若不共面，所以，矛盾， 所以共面，可设， 所以， 所以. 因为，可设， 所以，， 所以，， ，所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.1.1空间向量及其运算 参考答案 A组 巩固过关 知识点01 空间向量的有关概念 1.D: 2.C: 3.B; 知识点02 空间向量的加减运算 4.A; 5.B; 6.C: 7.D 知识点03 空间向量的数乘运算 8.D 9.A: 10.D: 11.D 知识点04 空间向量共线的判断 12.C: 13.A: 14.B: 知识点05 由空间向量共线求参数 7 15.D: 16. 2: 17.-8 知识点06 判断空间向量共面 18.BCD 19.C 20.C 1/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点07 由空间向量共面求参数 21.C: 22.A: 23.A: B组 能力进阶 一、单选题 1.B;2.B: 3.B; 4.B; 5.D:6.A:7.A:8.D: 二、多选题 9.BC:10.BC 11.ABD 三、填空题 2.a++ 1 2 2 13.0; 14.7 四、解答题 15.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析3)证明见解析 【详解】(1)因为AC=AD+mAB,m≠0，所以AC,AD,AB共面， 所以A,B,C,D四点共面 因为EG=E丽+mEF,m≠0，所以EG,E7,EF共面， 所以E,F,G,H四点共面。 (2)EG=EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE)=k(OD-0A)+mk(OB-0A) =kAD+kmAB=k(4D+mAB)=kAC, 所以AC/1EG (3)OG=OE+EG=k04+kAC=k04+AC)=kOC 16.【答案】(1)p9=-4(25 【详解】(I)因为B,C,D三点共线，则BC=mBD 2/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又BD=AD-AB=2a+b-2c-(a-2b+c)=a+36-3元， BC=AC-AB=pa+b+gc-(a-2b+c)=(p-1)a+3b+(q-1)c, 所以(p-1)a+3b+(q-1)c=m(a+36-3C) p-1=m 即3-3m 9-1=-3m m=1 解得卫=2，所以 9=-2 P9=-4 (2)因为A,B,C,D四点共面，所以AC=AB+4AD, pa+b+qc=A(a-26+c)+u(2a+B-2c) =(2+2m)a+(u-22)b+(2-20)c, p=元+24 于是有1=-2元， 9=元-2u 22=p+9 解得=4(p-9),即 4-21=1 3p+5q=-4 当P=子g=号时：网取到最大独号 2 C组 思维拔高 1.A:2.A;3.B;4A:5.ABD 6.24: 3/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接高考 1.A;2.-6: 414 分层作业 1.1.1空间向量及其线性运算 目 录 A组 巩固过关 知识点01 空间向量的有关概念（易错） 知识点02 空间向量的加减运算 知识点03 空间向量的数乘运算 知识点04 空间向量共线的判断 知识点05 由空间向量共线求参数 知识点06 判定空间向量共面 知识点07 由空间向量共面求参数（重点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 空间向量的有关概念知识点01 知识点速记： (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 题型巩固练： 1．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 2．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 空间向量的加减运算知识点02 知识点速记：空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言表述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形表示 平行四边形法则 语言表述 以共起点的两边为邻边作平行四边形， 共起点对角线为和 图形表示 减法运算 三角形法则 语言表述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形表示 运算律 交换律 结合律 题型巩固练： 4．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东深圳·期末）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 空间向量的数乘运算知识点03 知识点速记： 定义 任何一个向量都可看作某平面上的向量，它与实数相乘可类比平面向量数乘的法则进行，因而有 几何意义 与方向相同 的长度是的长度的倍 与方向相反 ，其方向是任意的 运算律 对实数加法的分配律 对向量加法的分配律 8．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·江苏·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 11．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 空间向量共线的判断知识点04 知识点速记：空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量、，的充要条件是存在实数λ，使得． 题型巩固练： 12．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 14．（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 由空间向量共线求参数知识点05 知识点速记：三点共线判定结论 空间中三点共线，具体结论如下： ⑴向量比例法：存在实数，使得； ⑵定点表示法：对于空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在唯一实数，使得； ⑶系数和性质：若，则三点共线的充要条件是. 题型巩固练： 15．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 17．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 判断空间向量共面知识点06 知识点速记：1.直线的方向向量 （1）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上的任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得，把与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量． （2）直线可以由其上一点和它的 方向向量确定． 2. 空间向量共面的充要条件 （1）共面向量：平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （2）空间向量共面的充要条件：向量与不共线向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 3. 空间四点共面推论（重点） 设是空间中不共面的四点，对应空间任意一点， ⑴若，且系数满足，则四点共面；反之，若四点共面，则存在唯一的实数满足； ⑵点位于平面内的充要条件是存在实数对使得. 题型巩固练： 18．（多选）（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 19．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（    ） A． B． C． D． 由空间向量共面求参数知识点07 21．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 22．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 1、 单选题 1．（25-26高二上·云南曲靖·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建福州·期末）在三棱锥中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南开封·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，点在线段OA上，且，为线段BC的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 7．在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 二、多选题 9．（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 10．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 13．（25-26高二上·吉林·开学考试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 14．（25-26高二上·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    四、解答题 15．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 16．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 1．【数学文化】（24-25高二上·广东东莞·阶段检测）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 3．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）在四面体OABC中，空间的一点M满足，若共面，则（   ） A． B． C． D．1 5．【直观想象】（多选）（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，．若四点共面，则______． 7．【逻辑推理】（25-26高二下·上海·期中）如图所示，为平行六面体（六个面均为平行四边形的棱柱），点E、F分别在棱、上，满足，（为实数）．若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是________． 1．（2001·全国·高考真题）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海·高考真题）已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $