1.2 等腰三角形（分层作业，6基础&3提升+培优）数学新教材北师大版八年级下册

1.2 等腰三角形 题型一 等边对等角与等角对等边的应用 一、单选题 1．如图，为等腰三角形，，是延长线上的一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，D为边上的点，满足，且，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，，那么和之间的关系是（    ） A． B． C． D． 4．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角．城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，点在直线上，且．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，，点和点是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在中，，点在边上，且，，则的度数为 ． 8．如图，在中，，点D在AC上，且，则的度数为 度． 9．如图，已知，，，，若，则的度数为 ． 10．如图，，且，则的度数为 ． 三、解答题 11．如图，在中，，是边上的中线，且，于点E． (1)求的度数； (2)若，求的长． 12．如图，，，点D在边上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型二 三线合一（等腰三角形的顶角平分线、底边中线与底边高线相互重合） 一、单选题 1．如图，某校实践小组为了让旗杆垂直于地面，采取以下的操作方法：从旗杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到旗杆脚E的距离相等，且B，E，C三点在同一直线上时，旗杆．这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 2．已知中，是的中点，那么下列说法不正确的是（　　） A．是底边上的中线 B．是底边上的高 C．是顶角的平分线 D．是一腰上的中线 3．下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（    ） A．等腰三角形两底角相等 B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 C．等腰三角形是轴对称图形 D．等腰三角形的对称轴为底边上的中线 4．如图，在中，是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．是直角三角形 5．如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在中，是角平分线，，，则的长是 ． 7．如图，在中，，D是的中点，E是边上的一点，连接、，且，若，则 度． 8．如图，在中，，于，延长到，使，连接，若的周长是，则的周长是 ． 三、解答题 9．证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”．（要求：画出图形，写出已知、求证，并证明） 已知：如图，在中，______． 求证：______． 10．补全过程或依据： 如下图，在中，，D为BC边的中点，E为AD上一点，连接CE，使得．若，求的度数． 解：因为在中，， 所以（等腰三角形两底角相等）． 因为D为BC边的中点，所以（________________）， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 11．如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：； (2)求的大小． 12．如图，的角平分线交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)作，垂足为，若，求的长． 13．如图，在中，，D为中点，点E是延长线上一点，点F是上一点，连接并延长交于点G，且． (1)若．求的度数； (2)求证：． 题型三 等边三角形的性质与判定 一、单选题 1．下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是（　　　） A．有两个内角是的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．有一个内角是且有两边相等的三角形 D．三边都相等的三角形 3．如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，在等边中，点是边的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，过等边三角形的顶点B作射线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在直角坐标系中，是等边三角形，若B点的坐标是，则A点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知a，b，c为的三边长，且，则的形状是 ． 8．如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为 ． 9．如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则 ． 10．如图，和都是边长为的等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，则的度数为 ． 11．等边三角形的面积为，则其边长为 ． 12．如图，等边的边长为4，是的中线，点E是边上的动点，点P是中线上的动点，则的最小值是 ． 13．如图，点是边长为的等边边上一点，，垂足为，，垂足为，则 ． 三、解答题 14．如图，是等边三角形，点、分别在、上，且，与相交于点． (1)试说明； (2)求的度数． 题型四 反证法的应用 一、单选题 1．在证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是（   ） A．举反例法 B．整体代入法 C．反证法 D．数学归纳法 2．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 3．已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 二、填空题 4．用反证法证明“任意三角形的三个内角中至多有一个直角”时，应假设 ． 三、解答题 5．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设___________． 在中，， ∴___________． ∵___________， ∴___________， ∴___________． 与假设相矛盾， ∴假设___________ ∴原命题成立，即． 题型五 直角三角形30°的应用（1：：2） 一、单选题 1．如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，交于点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，于H，若，则（    ）． A．3 B．6 C．12 D．9 4．如图所示，在中，，、是内两点，平分．，若，，则的长度是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 二、填空题 5．如图，将边缘平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕．若，，则阴影部分的面积为 ． 6．如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是 ． 三、解答题 7．如图， 在中，，，，求的长． 8．如图所示，为等边三角形，、分别是、上的点，且，与相交于点，于． (1)求证：； (2)求； (3)若，，则_____． 题型六 网格点中确定等腰三角形 一、单选题 1．我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，在的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，）．M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 二、解答题 4．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 题型一 用“两圆一线”法确定等腰三角形的顶点位置 1．已知点A在直线上，点A横坐标为2，点P 在x轴上，使是等腰三角形则P的坐标为 ． 2．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线运动，当为等腰三角形时，其底边的长为 ． 3．已知是等腰直角三角形，若在平面直角坐标系内，、两点的坐标分别是，，则点的坐标是 ． 二、解答题 4．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．      (1)请画出关于轴对称的 (2)直接写出，，三点的坐标； (3)在轴上找出点，使得点到点、点的距离之和最短（保留作图痕迹） (4)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，符合条件的点有 个． 5．如图，直线与轴，轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求，两点坐标； (2)求的坐标； (3)在轴上找一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 题型二 双等腰、双等边“手拉手”模型的应用 1．如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连接，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为 ． 2．已知在中，．以为边向三角形外作等边，以为边向上作等边，连接．若，，则 ． 二、解答题 3．如图，是等边三角形，D是延长线上一点，平分，且． 求证：是等边三角形． 4．如图，在四边形中，，平分，且，过点作于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求四边形面积． 5．如下图，在等腰三角形ABC中，，点D在线段CB的延长线上，以AD为边在AD的右侧作，使，，连接CE． (1)试说明：． (2)若，求的度数． 6．如图，已知和均为等边三角形，且点、、在同一条直线上，连接、，交和分别于、点，连接． （1）证明：； （2）证明：； （3）证明：是等边三角形． 题型三 由平行线与角平分线构造等腰三角形模型 一、单选题 1．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论，其中正确的有（   ） ①是等腰三角形；②；③若；；④． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若AB＝6，AC＝8，则△AMN的周长为 ． 3．如图，中，、分别平分、，，，，则的周长 ． 4．如图，平分， ，，于点D，，则的面积是= ． 5．如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 三、解答题 6．如图所示，在中，平分，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的度数． 一、单选题 1．如图，已知在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 2．如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．有四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 三、解答题 3．已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 4．如图1，直线过点，且与y轴交于点，与x轴交于点A． (1)求直线的函数表达式及点A的坐标； (2)如图2，作直线，点P在直线上，当的面积为面积的2倍时，求点P的坐标； (3)如图3，点P为第二象限内的一点，连接，以为边在的左侧作等边，当，时，求线段的长． 5．综合与实践 【问题提出】探究图形中线的之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系 【特例研究】 （1）如图1，在中，，点是边的中点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作干点F，连接，由分割法可得图形面积 ，则 【推广探索】 （2）如图2，在中，，点是边上一点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作于点F．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，是等边三角形，点P是边上一点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作于点F．设点P到三边，，的距离分别为，，，的高为．求证： 6．已知在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且，连接、． (1)填空：如图①，当点为中点时，线段与之间的数量关系是：______； (2)如图②，当点为边上任意一点时，过点作，交于点，写出线段与之间的数量关系，并证明； (3)当点为中点，时，点、分别为射线、射线上的动点，且，若，直接写出线段的长． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），△AOB为等边三角形，P是轴上一个动点（不与原点O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ． （1）点B的坐标是 ． （2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由． （3）当∠APO＝30°时，求AQ的长 8．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为___________，位置关系为___________； (2)类比探究 如图2，已知，以为边分别向外作等边和等边，交于点，求的大小． (3)解决问题 如图3，已知点在等边的外部，并且点与点位于线段的异侧，连接．若，，，则的长为___________． 9．问题情境： 已知：射线和射线相交于点．点在射线上，作射线，在射线上取一点，连接，使． 任务一：当点在线段上时， (1)如图1，请写出与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当，时，连接．在射线上取一点，使，连接． ①判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； ②的度数为_____； 任务二：当点是射线上的动点（点不与点和点重合）． (3)如图3，当，（），且时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 10．在等腰中，，，直线过点且，以点为一顶点作，，且点在直线上(不与点重合) (1)如图1，与交于点，若于点交于点， ①求证：为等腰直角三角形； ②求证：； (2)在图2中，与延长线交于点，试猜想线段、、数量关系，并证明你的猜想； (3)在图3中，与延长线交于点，（2）中结论是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． 11．如图所示，中，的平分线交于O点，过O点作交于点． （1）如果，求的度数； （2）如图2，如果，其他条件不变，图中有________个等腰三角形； 【综合运用】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段有关的三个结论：．你认为哪个正确？请说明理由； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有________个等腰三角形． 【拓广探索】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段有关的三个结论：，．你认为哪个正确？请说明理由． 12．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 13．【问题呈现】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交轴于点． 【问题提出】 （1）在此过程中，线段与有何数量关系？并证明你的结论； 【尝试探究】 （2）在点的运动过程中，的度数是否会发生变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）当点运动到什么位置时，以，，为顶点的三角形是等腰三角形？ （4）点为轴上的一个动点，如果以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点有___________个． 14．【例题再现】 滨滨同学通过学习等腰三角形的相关知识，独立完成了一道教材中的数学问题，并写出了部分证明过程． 如图①，是的中线，且，求证：． 证明：∵是的中线，∴， ∵，∴，∴，______．（依据） 在中，， ∴，即：． （1）请补全滨滨同学的证明过程和推理依据； ______，依据：______； 【思维迁移】 （2）如图②，在中，，D是上的一点，且．求证：； 【拓展运用】 （3）通过推理不难发现，在中，，当D是的中点时，； 请利用上述结论，完成下面的证明题． 如图③，在中，，D是的中点，将沿直线翻折，得到，，，连接，当时，求的长． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与直线相交于点． (1)求，的值； (2)直线与轴交于点D，动点P从点D开始沿射线DA以每秒1个单位的速度向左运动，设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为12，求t的值； ②是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 等腰三角形 题型一 等边对等角与等角对等边的应用 一、单选题 1．如图，为等腰三角形，，是延长线上的一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练运用三角形外角性质进行推理是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得出，根据三角形的外角性质得出，，代入求出即可． 【详解】解：∵为等腰三角形，， ∴， ∵是延长线上的一点，， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，在中，D为边上的点，满足，且，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和外角的性质，掌握好等腰三角形的性质是解题关键． 由等边对等角可得，，，根据外角的性质，用和表示出，最后利用三角形内角和定理计算出． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即． 故选：D． 3．如图，，那么和之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形性质和三角形内角和定理的应用．由已知条件可得到，在中，由，可推出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角．城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．先利用平行线的性质可得的度数，从而利用平角定义可得的度数，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：D． 5．如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，点在直线上，且．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握性质是解题关键． 由可求的大小，再结合平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ， ， ， 故选：D． 6．如图，，点和点是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由全等三角形的性质可得出相等的角，可得，又由平行线的性质可得，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得， 故选：A． 二、填空题 7．如图，在中，，点在边上，且，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角的性质，一元一次方程的应用等知识点，设，由，，得，根据三角形外角性质得，又，则，故有，然后通过三角形内角和定理得出，再求出的值即可，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，，点D在AC上，且，则的度数为 度． 【答案】72 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 设，根据等边对等角的性质求出，再利用三角形的内角和定理列方程求得x，进而求得的度数． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据三角形的外角性质，， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴． 故答案为：72． 9．如图，已知，，，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，同理可得，，依此类推得，其中为正整数，据此解答即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 同理可得：，， 依此类推得：，其中为正整数， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 10．如图，，且，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形外角的性质，连续多次运用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．如图，在中，，是边上的中线，且，于点E． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，掌握等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）由题意得，根据等边对等角可得，进一步可推出是等边三角形，然后角的和差关系即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．如图，，，点D在边上，，和相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理及等腰三角形的性质． （1）由得出，再利用“”证明即可； （2）由得出，，再由等腰三角形等边对等角得出，进而证得，最后利用三角形内角和定理得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴, ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型二 三线合一（等腰三角形的顶角平分线、底边中线与底边高线相互重合） 一、单选题 1．如图，某校实践小组为了让旗杆垂直于地面，采取以下的操作方法：从旗杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到旗杆脚E的距离相等，且B，E，C三点在同一直线上时，旗杆．这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．等角对等边 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合即可求解，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键，根据等腰三角形“三线合一”性质得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即，（等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合）， 即得出旗杆的依据是等腰三角形“三线合一”． 故选：D． 2．已知中，是的中点，那么下列说法不正确的是（　　） A．是底边上的中线 B．是底边上的高 C．是顶角的平分线 D．是一腰上的中线 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合的性质即可作出判断. 【详解】解：∵在 中，， ∴是等腰三角形，为底边. ∵D是的中点， ∴是底边上的中线. 根据等腰三角形三线合一的性质，同时也是底边上的高和顶角的平分线. ∴A、B、C选项正确 对于D选项，是底边上的中线，不是腰上的中线（腰上的中线应连接腰的中点和对角顶点），故D不正确. 故选：D. 3．下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（    ） A．等腰三角形两底角相等 B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 C．等腰三角形是轴对称图形 D．等腰三角形的对称轴为底边上的中线 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质逐一判断选项，注意对称轴是直线而非线段． 【详解】A、等腰三角形两底角相等，正确，不符合题意； B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，正确，不符合题意； C、等腰三角形是轴对称图形，正确，不符合题意； D、等腰三角形的对称轴为底边上的中线所在的直线，原说法错误，符合题意； 故选D． 4．如图，在中，是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．是直角三角形 【答案】A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练运用等腰三角形的三线合一性质是解本题的关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质解答． 【详解】解：∵中，，D是中点， ∴（故B正确，不符合题意）， 平分（故C正确，不符合题意）， ，则是直角三角形（故D正确，不符合题意）， 无法得到（故A不正确，符合题意）， 故选：A． 5．如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，三线合一，作，勾股定理求出的长，三线合一求出的长，再利用勾股定理求出的长，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：作于点， ∵在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故选B． 二、填空题 6．如图，在中，是角平分线，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是三线合一、勾股定理，解题关键是熟练掌握三线合一定理． 由三线合一可得且是中线，再结合勾股定理即可得解． 【详解】解：，是角平分线， 且是中线， 即， 中，， ． 故答案为：． 7．如图，在中，，D是的中点，E是边上的一点，连接、，且，若，则 度． 【答案】40 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可求出的度数，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，D是的中点， ∴，即， ∴． 故答案为：40 8．如图，在中，，于，延长到，使，连接，若的周长是，则的周长是 ． 【答案】 【分析】先由等边三角形的判定与性质得到，然后由三线合一确定，，进而根据勾股定理求出长度，再借助等腰三角形性质和外角性质确定，进而得到，最后由三角形周长公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， 是等边三角形， 的周长是， ， 于， ，， 在中，，，则由勾股定理可得， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中求线段长，涉及等边三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一性质、勾股定理、外角性质、等腰三角形的判定与性质、三角形周长等知识，熟记三角形相关几何判定与性质是解决问题的关键． 三、解答题 9．证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”．（要求：画出图形，写出已知、求证，并证明） 已知：如图，在中，______． 求证：______． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确画出图形、写出已知和求证是解题的关键． 先根据题意画出图形，再根据图形写出已知和求证；证明：连接，根据等腰三角形的性质以及证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】已知：如图，在中，，是的中点，于，于． 求证：． 证明：连接， ，是中点， 为的平分线（三线合一的性质）， 又，， ∴， ∵， ， ． 10．补全过程或依据： 如下图，在中，，D为BC边的中点，E为AD上一点，连接CE，使得．若，求的度数． 解：因为在中，， 所以（等腰三角形两底角相等）． 因为D为BC边的中点，所以（________________）， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 【答案】ACB；三线合一定理；35；ACE；35；20 【分析】本题考查了等边对等角，三线合一，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质及内角和定理，完成证明过程，并填空． 【详解】解：∵在中，， ∴（等腰三角形两底角相等）． ∵D为BC边的中点，∴（三线合一定理）， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为： 11．如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：； (2)求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角的和差． （1）先由得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； （2）先由已知得，则，再根据计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵，即， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图，的角平分线交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)作，垂足为，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由平行线得，根据角平分线的定义可得，即，由等角对等边可得即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可得，再在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 是的角平分线 ， ， ∴， 是等腰三角形． （2）解：是等腰三角形，， ， 在中， ． 13．如图，在中，，D为中点，点E是延长线上一点，点F是上一点，连接并延长交于点G，且． (1)若．求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角，平行线的判定；掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，平分，再根据外角的性质即可求出的度数； （2）根据角平分线的定义和外角的定义，可得，进而可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， D为中点， ∴，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三 等边三角形的性质与判定 一、单选题 1．下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 根据等边三角形的定义、判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； B、得到，那么只能得到是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意； C、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； D、，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 2．满足下列条件的三角形中，不一定是等边三角形的是（　　　） A．有两个内角是的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．有一个内角是且有两边相等的三角形 D．三边都相等的三角形 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定定理． 【详解】解：A、有两个内角是的三角形是等边三角形，不符合题意； B、有两边相等且是轴对称图形的三角形是等腰三角形，符合题意； C、有一个内角是且有两边相等的三角形是等边三角形，不符合题意； D、三边都相等的三角形是等边三角形，不符合题意； 故选：B． 3．如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质及平行线的判定和性质，准确构造辅助线是解题的关键． 过点C作直线a的平行线，根据平行线的性质及等边三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点C作， 直线， ， ， 等边三角形， ， ， ， ， 故选：B． 4．如图，在等边中，点是边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，掌握这一性质是关键；由等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：在等边中，点是边的中点， ∴，平分， ∴； 故选：A． 5．如图，过等边三角形的顶点B作射线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质和三角形外角的性质，理解题意是解决本题的关键． 根据等边三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴ ， 故选：B． 6．如图，在直角坐标系中，是等边三角形，若B点的坐标是，则A点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．过点作轴于点，根据等边三角形的性质，得到，，再结合勾股定理得出，即可得到A点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， B点的坐标是， ， 是等边三角形， ，， ， A点的坐标是， 故选：C． 二、填空题 7．已知a，b，c为的三边长，且，则的形状是 ． 【答案】等边三角形 【分析】此题考查了算术平方根和绝对值的非负性，等边三角形的定义， 根据非负数的性质，算术平方根和绝对值都非负，它们的和为零，则每个部分都为零，进而得到且，求出，即可得到是等边三角形． 【详解】∵，，且， ∴且， ∴且， 解得，， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 8．如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据等边三角形的性质得，再根据得，由此得，再求出，由三角形内角和定理得，然后在中，再由三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， 即的度数为． 故答案为：． 9．如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，根据等边三角形的性质求出，再根据等边三角形的性质得出，从而求出即可． 【详解】解：∵为等边三角形，为中线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 10．如图，和都是边长为的等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】由等边三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：∵和都是边长为的等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形的外角的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 11．等边三角形的面积为，则其边长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，勾股定理的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据等边三角形性质，设等边的边长为，过点作于点，由勾股定理得到，结合面积公式和题意即可求解． 【详解】解：如图所示，设等边的边长为，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 解得，（负值舍去）， ∴该等边三角形的边长为4． 故答案为：4． 12．如图，等边的边长为4，是的中线，点E是边上的动点，点P是中线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称一最短路线问题、等边三角形的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，先证明，则，当三点共线，且时，取最小值，据此回答即可． 【详解】解：连接， 是边长为4的等边三角形，是中线， ，即垂直平分， 在上， ， ， 是边上的动点 当时，到的距离最小， ， 点E是的中点， 当三点共线，且点是的中点时，取最小值． 在中， ， 当三点共线，且点是的中点时，取最小值为． 故答案为：.． 13．如图，点是边长为的等边边上一点，，垂足为，，垂足为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形面积的计算方法等知识． 连接，作交于点，由，得，再根据等边三角形的性质以及勾股定理求出的长即可得到答案，通过作辅助线，根据三角形面积相等得出是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接，作交于点， 则， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 14．如图，是等边三角形，点、分别在、上，且，与相交于点． (1)试说明； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，结合，然后利用“”即可证明； （2）由全等的性质可得，进而利用外角的性质得到，然后等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 在和中， ； （2）解：， ， ． 题型四 反证法的应用 一、单选题 1．在证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是（   ） A．举反例法 B．整体代入法 C．反证法 D．数学归纳法 【答案】C 【分析】本题主要考查了反证法，根据反证法的第一步：假设结论不成立，即可判断解题． 【详解】解：证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是反证法； 故选：C． 2．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 用反证法证明命题，应先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理，得出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两个锐角都大于． 故选：A． 3．已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题主要考查了反证法的步骤，首先需假设原命题的反面成立即第一步为③；进而得到，进而得到，这与“三角形内角和等于”相矛盾，则假设不成立，据此可得答案． 【详解】解：根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②， 故选D． 二、填空题 4．用反证法证明“任意三角形的三个内角中至多有一个直角”时，应假设 ． 【答案】三角形的三个内角中至少有两个直角 【分析】本题考查了反证法：假设命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．根据“至多有一个”的反面“至少有两个”假设即可； 【详解】解：由题意应假设：三角形的三个内角中至少有两个直角， 故答案为：三角形的三个内角中至少有两个直角； 三、解答题 5．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设___________． 在中，， ∴___________． ∵___________， ∴___________， ∴___________． 与假设相矛盾， ∴假设___________ ∴原命题成立，即． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的外角性质的证明，反证法等知识，根据三角形的内角和定理和邻补角互补即可证明，掌握三角形的内角和与反证法的解题思路是解题的关键． 【详解】证明：假设． 在中，， ． ， ， ， 与假设相矛盾， 假设不成立， 原命题成立，即． 故答案为：；；；；，不成立． 题型五 直角三角形30°的应用（1：：2） 一、单选题 1．如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．过点作，交延长线于点，先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵在中，的长是， ∴， ∵，分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∴， ∴乘电梯从点到点上升的高度是， 故选：A． 2．如图，在中，，，交于点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理．掌握等腰三角形“等边对等角”“等角对等边”及“直角三角形角所对直角边是斜边的一半”是解题关键．首先，根据等腰三角形“等边对等角”的性质及，得到，进而得到，接着，根据，得，可证，最后，根据“直角三角形角所对直角边是斜边的一半”可得，进而可求得的长． 【详解】解：∵ ，， ∴． ∴． ∵ ， ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴． 故选：C． 3．如图，中，，，于H，若，则（    ）． A．3 B．6 C．12 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，垂直定义. 根据直角三角形的性质可得和的度数，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得和的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图所示，在中，，、是内两点，平分．，若，，则的长度是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出NM的长是解题的关键．延长交于M，延长交于N，根据等腰三角形的性质得出，进而得出为等边三角形，从而得出的长，即可求出答案． 【详解】解：延长交于M，延长交于N， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 5．如图，将边缘平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕．若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；过点作于点，证明是等边三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 依题意， ∴，， ∴ ∵折叠 ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 6．如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含直角三角形的性质， 先根据等边三角形的性质得，再根据中点的定义得，然后根据含直角三角形的性质求出，最后根据得出答案． 【详解】解：在等边中，， ∴． ∵点D是的中点， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为：6． 三、解答题 7．如图， 在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形．过点作于点，在中，根据含角的直角三角形的性质可求得的长， 再根据勾股定理可求得的长，易知 为等腰直角三角形，可求得的长，最后根据即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中，，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 8．如图所示，为等边三角形，、分别是、上的点，且，与相交于点，于． (1)求证：； (2)求； (3)若，，则_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据边角边判定两个三角形全等即可； （2）先根据全等三解形的性质，得，再根据三角形外角的性质： （3）根据直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半，先求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ； （3）解：由（1）知， ， 于， ， 由（2）知， ， ， ． 故答案为：9． 题型六 网格点中确定等腰三角形 一、单选题 1．我们称网格线的交点为格点．如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰直角三角形底边；②为等腰直角三角形其中的一条腰． 【详解】解：①为等腰直角三角形底边时，符合条件的格点有2个：、； ②为等腰直角三角形其中的一条腰时，符合条件的格点有2个：、． 如图所示，共有4个格点满足． 2．如图，在的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了格点与等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据等腰三角形的定义在格点作图即可． 【详解】解：根据等腰三角形的定义作图如下， 图1，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意； 图2，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意； 图3，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意； 综上所述，点的个数为3个， 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，）．M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可． 【详解】解：如图，满足条件的点M的个数为6． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，利用数形结合求解更形象直观． 二、解答题 4．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，画轴对称图形，熟知等腰三角形的定义和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）如图所示，取格点C，连接，由网格的特点可得，则即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，由网格的特点可得，则即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求（画出其中一个即可）； （2）解：如图所示，即为所求； 题型一 用“两圆一线”法确定等腰三角形的顶点位置 1．已知点A在直线上，点A横坐标为2，点P 在x轴上，使是等腰三角形则P的坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，两点间距离公式，和正比例函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出，设，则，再分类讨论，解方程即可． 【详解】解：由题意得，把代入得， ∴， 设， ∴， 当，则，∴， 解得：或（舍）， ∴； 当，则，∴, 解得：， ∴； 当，即，∴， 解得：， ∴或， 综上所述：是等腰三角形，P的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 2．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线运动，当为等腰三角形时，其底边的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得的值，根据等腰三角形的顶点分三种情况讨论，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：由勾股定理可知：，分类讨论： ①为等腰三角形的顶点时，有， 即以点为圆心，为半径的圆，点在的延长线上，如图所示， 此时的底边； ②为等腰三角形顶点时，有， 即以点为圆心，为半径的圆，点在的延长线上，如图所示， 此时的底边为，， 在中，； ③为等腰三角形顶点时，有，如图所示， 此时点在线段的垂直平分线上，的底边为， 综上所述，当为等腰三角形时，这个三角形的底边的长为或或． 故答案为：或或． 3．已知是等腰直角三角形，若在平面直角坐标系内，、两点的坐标分别是，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，利用平面直角坐标系画图是解题的关键．利用图形结合等腰直角三角形的判定即可得出点A对应的坐标． 【详解】如图所示， 由图可知，点的坐标为， 故答案为：． 二、解答题 4．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．      (1)请画出关于轴对称的 (2)直接写出，，三点的坐标； (3)在轴上找出点，使得点到点、点的距离之和最短（保留作图痕迹） (4)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，符合条件的点有 个． 【答案】(1)见解析 (2)， ， (3)见解析 (4) 【分析】（1）由点的对称性，作出图形即可； （2）关于轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求； （4）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解． 【详解】（1）如图1：即为所求，    （2）由图可知，， 点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为， ， ， （3）如图2：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求；    ∴， 此时值最小； （4）如图：以为圆心，长为半径做圆，此圆与坐标轴有个交点， 以为圆心，长为半径做圆，此圆与坐标轴有个交点，    作线段的垂直平分线，此线与坐标轴有个交点， ∴是等腰三角形时，点坐标有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称作图，图形与坐标，熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键． 5．如图，直线与轴，轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求，两点坐标； (2)求的坐标； (3)在轴上找一点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查一次函数、勾股定理与折叠、等腰三角形的定义等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键． （1）令可求得A点坐标；令，得B点坐标； （2）由勾股定理可得线段，由折叠的性质可知，，进而得到，设，则，在中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标； （3）由勾股定理可得，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解： ， 令，则；，则； ，； （2）解： ，， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； （3）解：由（2）知，， ； 以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ； ； 以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， 或， 或； 如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； 综上所述，点P的坐标为或或或． 题型二 双等腰、双等边“手拉手”模型的应用 1．如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连接，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理．根据等边三角形的性质证明，可得，再根据当点A，B，D共线时，最大，即最大，然后作出图形，并作，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴当点A，B，D共线时，最大，即最大． 过点C作于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理得． 故答案为：． 2．已知在中，．以为边向三角形外作等边，以为边向上作等边，连接．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，，在中，根据得，则，在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 二、解答题 3．如图，是等边三角形，D是延长线上一点，平分，且． 求证：是等边三角形． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质定理和判定定理，三角形全等的判定定理和性质定理，并熟练应用． 根据等边三角形的性质和角平分线的定义，先证，得，，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可得答案． 【详解】证明：是等边三角形 ， ， 平分， ， ， 在和中 ， ，， ， 是等边三角形． 4．如图，在四边形中，，平分，且，过点作于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求四边形面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据角平分线定义得出，进而根据，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）在中，勾股定理得出，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图，，， ． 平分， ． 在和中， ． ． ． ． （2）解：在中，，，， ． 由（1），知：， ． 四边形的面积 ． 5．如下图，在等腰三角形ABC中，，点D在线段CB的延长线上，以AD为边在AD的右侧作，使，，连接CE． (1)试说明：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题干已知的边角相等即可得证，即可推导出； （2）根据题干边相等和第一问的全等即可得到角的关系：，即可求得的度数，即为的度数． 【详解】（1）解：∵， ， ∴． 在和中， ， ． （2）解：∵， ． 由（1）得， ． ∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 6．如图，已知和均为等边三角形，且点、、在同一条直线上，连接、，交和分别于、点，连接． （1）证明：； （2）证明：； （3）证明：是等边三角形． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【分析】（1）由△ABC和△CDE均为等边三角形得AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°，即可证明△ACD≌△BCE； （2）根据△ACD≌△BCE，∠CBH＝∠CAG，由∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上，得出∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°，根据AC＝BC即可证明； （3）由△ACG≌△BCH，CG＝CH，根据∠ACG＝60°即可证明； 【详解】（1）证明：∵△ABC和△CDE均为等边三角形 ∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACD＝∠ECB， 在△ACD与△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）证明：∵△ACD≌△BCE， ∴∠CBH＝∠CAG， ∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上， ∴∠BCH＝∠ACG＝60°， 在△ACG≌△BCH中， ， ∴△ACG≌△BCH（ASA）； （3）证明：∵△ACG≌△BCH， ∴CG＝CH（全等三角形的对应边相等）， 又∵∠ACG＝60°， ∴△CGH是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，关键是利用好全等三角形以及等边三角形的性质． 题型三 由平行线与角平分线构造等腰三角形模型 一、单选题 1．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论，其中正确的有（   ） ①是等腰三角形；②；③若；；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义证明，得到即可判断①；同理可证即可判断②；根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数即可判断③；根据现有条件无法证明，即可判断④． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；故①符合题意； 同理， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴ ，故③符合题意； 若，则，根据条件无法证明这一点， ∴不一定等于，故④不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，根据两直线平行、内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键． 二、填空题 2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若AB＝6，AC＝8，则△AMN的周长为 ． 【答案】14 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠EBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EBC＝∠BEM，从而得到∠ABE＝∠BEM，根据等角对等边的性质可得BM＝EM，同理可得CN＝EN，然后求出△AMN的周长＝AB＋AC，代入数据进行计算即可得到结果． 【详解】∵EB平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∵MN∥BC， ∴∠EBC＝∠BEM， ∴∠ABE＝∠BEM， ∴BM＝EM， 同理可得CN＝EN， ∴△AMN的周长 ＝AM＋ME＋EN＋AN＝AM＋BM＋CN＋AN＝AB＋AC， ∵AB＝6，AC＝8， ∴△AMN的周长＝6＋8＝14． 故答案为：14． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解题的关键． 3．如图，中，、分别平分、，，，，则的周长 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由角平分线的定义得出，结合平行线的性质得出，推出，同理，即可得解． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，     同理， ∵， 则的周长． 故答案为：． 4．如图，平分， ，，于点D，，则的面积是= ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键；过点P作于点E，由题意易得，，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点P作于点E，如图所示： ∵平分， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 5．如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等角对等边，延长交于点F，证明可得，然后根据平行线的性质和等角对等边得到． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵点E为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：4． 三、解答题 6．如图所示，在中，平分，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平分，，可知，所以，从而可知是等腰三角形； （2）根据三角形内角和定理与平行线的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ． 一、单选题 1．如图，已知在等腰中，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（   ） A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． ①连接，利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解；②因为点O是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断；③证明且，即可证得是等边三角形；④首先证明，则，． 【详解】解：①如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ②由①知：，， ∵点O是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；故④正确； 综上正确的结论有：①③④， 故选：A． 2．如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．有四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，准确找到并证明图中的全等三角形是解决问题的关键，还需要能够合理利用全等三角形的性质． 由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出与全等，由全等三角形的对应边相等得到，①结论正确；由与全等，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，②结论错误；由②结论再加上等于，再利用两锐角互余的三角形为直角三角形，得到，③结论正确；④结论正确，利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确． ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②错误． ③由②知，， ∴， ∴， 故③正确． ④∵， ∴， 故④正确． 故①③④都正确． 故选：C． 二、填空题 三、解答题 3．已知：在中，，点，点分别在，上，连接，，交于点，，． (1)如图1，证明为等边三角形； (2)如图2，过点作于点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等边三角形的证明性质，全等三角形的证明及性质，能够正确作出辅助线是解题关键； （1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，进而. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 4．如图1，直线过点，且与y轴交于点，与x轴交于点A． (1)求直线的函数表达式及点A的坐标； (2)如图2，作直线，点P在直线上，当的面积为面积的2倍时，求点P的坐标； (3)如图3，点P为第二象限内的一点，连接，以为边在的左侧作等边，当，时，求线段的长． 【答案】(1)，； (2)点P的坐标为或 (3) 【分析】（）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （）先求出直线的表达式为：，当点在点下方时，则；当点在点上方时，则，再由三角形面积公式求解即可； （）证明，得到，则，则 ，即可求解． 【详解】（1）解：设的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，则， 则直线的表达式为：， 令，则，即点； （2）解：设直线， 则代入得，， ∴ ∴直线的表达式为：， 当点在点下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在点上方时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：点P的坐标为或； （3）解：在上截取，连接，作轴于点，设交于点， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴，则， ∵， 则． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式的应用，掌握知识点的应用和分类求解是解题的关键． 5．综合与实践 【问题提出】探究图形中线的之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系 【特例研究】 （1）如图1，在中，，点是边的中点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作干点F，连接，由分割法可得图形面积 ，则 【推广探索】 （2）如图2，在中，，点是边上一点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作于点F．求证：； 【拓展延伸】 （3）如图3，是等边三角形，点P是边上一点，过点P分别作于点D，于点E，过点A作于点F．设点P到三边，，的距离分别为，，，的高为．求证： 【答案】（1），，；（2）证明见解析（3）证明见解析 【分析】本题考查了三角形的高与面积、等边三角形的性质，熟练掌握分割法是解题关键． （1）根据分割法可得，利用三角形的面积公式可得，再根据可得，由此即可得； （2）连接，先根据分割法可得，利用三角形的面积公式可得，再根据可得，由此即可得证； （3）连接，先根据分割法可得，利用三角形的面积公式可得，再根据等边三角形的性质可得，则可得，然后根据，，，即可得证． 【详解】（1）解：由分割法可得图形面积， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，． （2）证明：如图，连接， 由分割法可得图形面积， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：如图，连接， 由分割法可得图形面积， ∵，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点到三边，，的距离分别为，，，的高为， ∴，，，， ∴． 6．已知在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且，连接、． (1)填空：如图①，当点为中点时，线段与之间的数量关系是：______； (2)如图②，当点为边上任意一点时，过点作，交于点，写出线段与之间的数量关系，并证明； (3)当点为中点，时，点、分别为射线、射线上的动点，且，若，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)的长为10或2 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到、和，进而证得，从而得到； （2）根据等边三角形的性质及平行线的性质，证得为等边三角形，进而证得，从而得到； （3）分两种情况讨论：当点在线段的延长线上或点在线段上时，作交于点，通过证得，进而得出，从而求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，点为中点， 、、， ， ， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，证明如下： 是等边三角形，， ， ， 为等边三角形， ， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：的长为10或2，理由如下： 当点在线段的延长线上时，作交于点，如图： 同（2）知，为等边三角形， 、， 点为中点， 、， ， ， ， 、， 、， 在和中， ， ， ； 当点在线段的上时，作交于点，如图： 同理可证明、， ， 综上所述，的长为10或2． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），△AOB为等边三角形，P是轴上一个动点（不与原点O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ． （1）点B的坐标是 ． （2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由． （3）当∠APO＝30°时，求AQ的长 【答案】（1）B（3，3）；（2）∠ABQ大小不变，∠ABQ＝90°；（3）12 【分析】（1）如图，作辅助线；证明∠BOC＝30°，OB＝2，借助直角三角形的边角关系即可解决问题． （2）证明△APO≌△AQB，得到∠ABQ＝∠AOP＝90°，即可解决问题． （3）根据含30°的直角三角形的性质及等边三角形的特点即可求解． 【详解】（1）如图，过点B作BC⊥x轴于点C． ∵△AOB为等边三角形，且OA＝6， ∴∠AOB＝60°，OB＝OA＝6； ∴∠BOC＝30°，而∠OCB＝90°， ∴BC＝OB＝3，OC＝=3， ∴点B的坐标为（3，3）． （2）在点P的运动过程中，∠ABQ＝90°，始终不变．理由如下： ∵△APQ、△AOB均为等边三角形， ∴AP＝AQ、AO＝AB、∠PAQ＝∠OAB， ∴∠PAO＝∠QAB； 在△APO与△AQB中， ， ∴△APO≌△AQB（SAS）． ∴∠ABQ＝∠AOP＝90°． （3）在Rt△AOP中，当∠APO＝30°时，AP＝2AO＝2×6＝12， ∴AQ＝AP＝12． 【点睛】该题以平面直角坐标系、等边三角形为载体，以全等三角形的判定及其性质、等边三角形的性质等几何知识点为考查的核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 8．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图1，在中，分别以为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为___________，位置关系为___________； (2)类比探究 如图2，已知，以为边分别向外作等边和等边，交于点，求的大小． (3)解决问题 如图3，已知点在等边的外部，并且点与点位于线段的异侧，连接．若，，，则的长为___________． 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】（1）设交于点，结合等腰直角三角形的定义，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，即可证明； （2）结合等边三角形的性质，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，再证明，然后由三角形内角和定理即可获得答案； （3）在上取点，使得，证明为等边三角形，利用“”证明，，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，设交于点， ∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：，； （2）∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）如下图，在上取点，使得， ∵，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了“手拉手模型”的应用，涉及的知识点包括全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、三角形内角和定理等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题关键． 9．问题情境： 已知：射线和射线相交于点．点在射线上，作射线，在射线上取一点，连接，使． 任务一：当点在线段上时， (1)如图1，请写出与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当，时，连接．在射线上取一点，使，连接． ①判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； ②的度数为_____； 任务二：当点是射线上的动点（点不与点和点重合）． (3)如图3，当，（），且时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)；理由见解析 (2)①，，理由见解析；② (3)当点D在线段上时，；当点D在线段延长线上时， 【分析】本题考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键． （1）利用三角形外角的性质可得，，根据可得； （2）证明，可得，，根据可得，问题得证； （3）分两种情况讨论：①当点D在线段上时，②当点D在线段延长线上时，在上截取，连接，证明，根据等腰三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）解：①结论：，； 证明：由（1）知， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即； ②∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：； （3）解：当点D在线段上时，在上截取，连接，如图所示： 同理可得：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点D在线段延长线上时，在延长线上截取，连接，如图所示： 同理可证∴，， ， ∴ 综上所述：当点D在线段上时，；当点D在线段延长线上时，． 10．在等腰中，，，直线过点且，以点为一顶点作，，且点在直线上(不与点重合) (1)如图1，与交于点，若于点交于点， ①求证：为等腰直角三角形； ②求证：； (2)在图2中，与延长线交于点，试猜想线段、、数量关系，并证明你的猜想； (3)在图3中，与延长线交于点，（2）中结论是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)，见解析 (3)成立，见解析 【分析】（1）①先证明，结合，得证，再利用，得证，即可证明； ②证明，，继而得到，再利用，即可证明； （2）过点D作于点交的延长线于点，先证明，再利用，，继而证明，最后证明即可； （3）过点D作于点交于点，先证明，再根据，，得到，最后证明即可完成证明． 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，四边形内角和，余角的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）①证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； ②证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 解：线段、、数量关系为．理由如下： 过点D作于点交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴． （3）解：结论仍成立．理由如下： 过点D作于点交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴． 11．如图所示，中，的平分线交于O点，过O点作交于点． （1）如果，求的度数； （2）如图2，如果，其他条件不变，图中有________个等腰三角形； 【综合运用】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段有关的三个结论：．你认为哪个正确？请说明理由； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有________个等腰三角形． 【拓广探索】 观察、思考、猜想、验证：以下三条线段有关的三个结论：，．你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】（1）；（2）5；[综合运用]正确，理由见解析；（3）2；[拓广探索] 正确，理由见解析． 【分析】（1）利用三角形的内角和是，得出的度数； （2）根据，、的平分线交于点，可得，，，， 再加上题目中给出的，共5个等腰三角形，根据等腰三角形的性质，即可得出与、间有怎样的关系． （3）根据角平分线性质和平行线性质推出，，得出，即可得出与、之间的关系． 【详解】解：（1），； （2）， ， ， ，， ， ， ，， 和的平分线交于点， ，， ，， ， ， ，， △，△，△，△，△是等腰三角形，共5个， ； 故答案为：5； [综合运用]， 理由如下：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， △和△是等腰三角形， ， ； （3）平分，平分，， ，， ， ，， ，， ，， △和△是等腰三角形，共2个， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解本题的关键． 12．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 【答案】【方法初探】见解析；【方法应用】见解析；【实际应用】 【分析】此题是三角形的综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．根据截长补短法，构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解： 【方法初探】证明过程如下， ， ． 在和中， ， ，． ， ， ， ． ， ， 即． 【方法应用】证明：如图， 在上取一点，使得， 又， 是等边三角形， ，． 是等边三角形， ，， ， 即． 在和中， ， ， ， 即． 【实际应用】解：， 理由：如图， 在的延长线上取一点，，连接， 为的补角的角平分线， 即平分， ． 在和中， ， ，． ，， ， ． ， ， ， ． 又， ． 13．【问题呈现】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点为轴正半轴上一动点，连接，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交轴于点． 【问题提出】 （1）在此过程中，线段与有何数量关系？并证明你的结论； 【尝试探究】 （2）在点的运动过程中，的度数是否会发生变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）当点运动到什么位置时，以，，为顶点的三角形是等腰三角形？ （4）点为轴上的一个动点，如果以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点有___________个． 【答案】（1），证明见解析； （2）不变，的度数为； （3）当点时，以，，为顶点的三角形是等腰三角形； （4）4 【分析】（1）根据等边三角形的性质易证得，利用全等三角形的性质得到； （2）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，进而得到； （3）根据题意易证得、，进而得出以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰，根据直角三角形的性质得到，从而得出答案； （4）易得到点，设点的坐标为，分类讨论：若，和，列方程，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 和都是等边三角形， 、、， ， ， ， ； （2）解：在点的运动过程中，的度数不会发生变化，理由如下： 是等边三角形， ， 由（1）知， ， ， 因此，在点的运动过程中，的度数不会发生变化，且； （3）解：， ， ， ， 、， 以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰， 在中，、, , ， , 当点时，以，，为顶点的三角形是等腰三角形； （4）解：由（2）知，、， 在中，由勾股定理得, 点， 设点的坐标为， 以点、、为顶点的三角形是等腰三角形， 、、， ①若，则， 解得， 因此点坐标为； ②若，则， 解得或（舍去）， 因此点坐标为； ③若，则， 解得或， 因此点坐标为或， 综上所述，符合条件的点坐标为、、、，共有4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质，分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 14．【例题再现】 滨滨同学通过学习等腰三角形的相关知识，独立完成了一道教材中的数学问题，并写出了部分证明过程． 如图①，是的中线，且，求证：． 证明：∵是的中线，∴， ∵，∴，∴，______．（依据） 在中，， ∴，即：． （1）请补全滨滨同学的证明过程和推理依据； ______，依据：______； 【思维迁移】 （2）如图②，在中，，D是上的一点，且．求证：； 【拓展运用】 （3）通过推理不难发现，在中，，当D是的中点时，； 请利用上述结论，完成下面的证明题． 如图③，在中，，D是的中点，将沿直线翻折，得到，，，连接，当时，求的长． 【答案】（1），等边对等角（2）证明见解析（3）3 【分析】本题考查等腰三角形的证明及性质，全等三角形的证明及性质，能够正确作出辅助线证得三角形全等是解题关键； （1）通过等边对等角的性质进行解答即可； （2）通过三角形内角和定理得，，再通过等腰三角形性质得，进而可得证； （3）过点D作交于点N，先证得为等边三角形，再通过证得，进而可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，，（等边对等角） 在中，， ∴，即：． 故答案为：，等边对等角； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $