1.5.1《等边三角形的性质与判定》同步练习2026-2027学年八年级数学上册苏科版

**基本信息** 以基础巩固为核心，通过三级梯度设计实现从性质应用到动态综合的递进，强化推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|等边三角形性质与判定|单选1-2直接考查三线合一、角度计算，填空6-7结合直角三角形中线性质| |中档|性质与判定综合应用|单选3-4涉及面积转化、垂直平分线，填空8-9结合动点与全等证明| |提高|动态综合与拓展探究|单选5多结论判断，解答15-18含动态图形、跨知识整合（如与等腰直角三角形结合）|

1.5.1《等边三角形的性质与判定》同步练习 一、单选题 1.如图，在RIAABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点A、 对应的刻度分别为4、0，则C”的长为() B CD A D B 43 10 A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图，直线m/∥n,△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E,交AC于 点F若1=140°，则∠2的度数是() A.20° B.40° C.60° D.80° 3.如图，已知△ABC为等边三角形，D是BC上一点，E是AC的延长线上一点，且 BD=CE=号BC.若。ABD的面积为8，则A1DE的面积为（） B D A.28 B.30 C.32 D.34 4.如图，在等边三角形ABC中，D是三角形外一点，且BD=CD,∠BDC=120°，点E、F分别 在AB、AC上，∠EDF=60°，则下列结论错误的是() F B 0 A.AD垂直平分BC B.点D在∠EFC的平分线上 C.△AEF≌△DEF D.△AEF的周长为2BC 5.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正 三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PO.以下五 个结论：①AD=BE;②PO∥AE;③AP=BO;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.其中正确的有 B E A.①②④⑤B.①②③④⑤ C.①②③⑤ D.①②③ 二、填空题 6.如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AB的长为 ”,则 12km km 两点间的距离是 M 7.如图，D,E分别是AB,AC的中点，CD⊥AB,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,CD交BE于 点F,若DF=6,，则BE= E A D 8.已知△ABC是等边三角形，点D在AB上，点E在BC的延长线上，AD=CE,DE交AC于点 F,DG1AC,若DELB,且G=3,则BE的长为 G E 9.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC等于a,点D是等边△ABC外一点， ∠OCD=60°OC=C ,连接0D .则当“的度数为时， △AOD 是等腰三角形. a B I0.如图，△ADB,aBCD均是等边三角形，E,F分别是AB,AD边上的两个动点，且满足 AE=DF,BF与DE CG 于点G连接， D E 6 (1)∠EGB的度数是 ； (2)若DG=4,BG=6,则CG= 三、解容题 11.如图，已知△ABC是等边三角形，BD是△ABC的边AC上的中线，E在BC延长线上，且 EC=DC (1)求∠E的度数； (2)求证：BD=ED. 12.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E,延长ED和 ,交于点P,=0 CA (1)求证：△ABC是等边三角形. (2)若BD=2,EC=3,求AC的长. 13.如图1，等边△ABC与Rt△ABD叠放在一起，∠BAD=90°，AB=4cm,点C在边BD上. 图1 图2 (1)求证：点C为BD的中点； (2)如图2，△ABC沿BD向右平移2cm得△A'B'C,AC'与AD交于点E,求AE的长. 14.如图，在△ABC中，BA=BC,∠ABC=60°，点D是△ABC外一点，连接AD、CD,DA=DC, 过点D作DE∥BC分别交AB、AC于点E、F. B (1)求证：△AEF是等边三角形； (2)连接BD交AC于点G,若AB=15,DE=10,求AE的长. 15.已知，等边△ABC,P为直线AC上一点，点D为直线BC上一点，且PB=PD. E B 图1 图2 图3 (1)如图1，若P为AC的中点，AB=2,求CD的长. (2)如图2，若点P为AC上任意一点，过P作PO∥BC交AB于点O,探究线段A0与CD的数量 关系，并说明理由. (3)如图3，当P运动到CA延长线上，D为BC中点，PD交AB于点E,AP=6,求BE的长. 16.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，DE川AB,过点E作EF⊥DE, 交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； (2)若△DEC也为等边三角形，且CD=2,AB=4,求AE的长. 17.问题的解决策略：反思 【课本再现】 如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30° 角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“30°角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想 进行了证明. B B B E 图1 图2 图3 【方法探究】 针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明.以下是小明的证明思路，请你根据他的思 路继续完成证明. (0E知：知图2,41BC是直角三角形，∠C=0,∠A-30.求江：BC=4B. 证明：以点B为圆心，以BC为半径作弧交AB于点E,连接CE; 【知识应用】 (2)如图3，等边△ABC的边长为8，点D在AB上，且AD=2,过D点作DE⊥BC于点E,过点 E作EF⊥AC于点F,求AF的长. 18.解决问题 0 图1 图2 (1)问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE,求∠AEB的度数； (2)拓展探究 ①如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，点A、 D、E在同一直线上，连接BE,求∠AEB的度数； ②如图2，记S为△AOC面积，S,为△BOE面积，设S=S-S,CE=n,求s关于n的数量关系式. 参考容案 一、单选题 1.A 解：由刻度尺的读数可知，AB=4, 在RtAABC中，点D是斜边AB的中点， :CD=4B=2 2.A 解： △ABC是等边三角形， ∴.∠A=∠ABC=60°， .∠1=140°， .∠AEF=∠I-∠A=80°， .m/∥n, ∴.∠AEF=∠ABD=80°， ∴.∠2=∠ABD-∠ABC=20° 3.B 解：：△ABC是等边三角形， ∴.AC=BC BD CE=BC BD 1 CE 1 CD3,AC4, :△MBD边BD上的高与 ACD、,CD 边上的高相同， S.ABD=BD=1 SACD CD 3 △ABD 的面积为°， ·.S4cD=3SHBD=3×8=24 :a1CD边MC上的商与△CD的边CE上的高相同， S.SCD=CE1 S。ACD AC 4 1 1 S.m=434m=4x24=6, S.ADE =S.4CD+S.ECD=24+6=30 故选：B. 4.C 解：如图，连接AD, 在等边三角形ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°， BD=CD ∴.AD BC 垂直平分，故A正确； 如图，延长FC到G使CG=BE, F B G D .·∠BDC=120°，BD=CD ∴.∠DBC=∠DCB=30° ∴.∠ABD=∠ACD=90° .∠DCG=180°-∠ACD=90° BD=CD,BE=CG ∴.△BDE≌ACDG(SAS) ∴.∠BDE=∠CDG,DE=DG .·∠EDF=60° ∴.∠BDE+∠FDC=∠CDG+∠FDC=∠FDG=6O0° .DF=DF ∴.△DEF≌△DGF(SAS) ∴.∠EFD=∠GFD EF=GF 即点D在∠EFC的平分线上，故B正确； aAEF的周长为 E+AF+EF-AE+AF+FG-AE+AC+CG-AE+AC+BE-AB+AC-2BCD 正确， 根据题意，无法判断△AEF2△DEF,故C错误. 5.C 解：①.△ABC和△CDE是等边三角形， ∴.AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=6O°， ∴.∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE △ACD≌△BCE(SAS) ∴.AD=BE,∠ADC=∠BEC,故①正确； ②∠DCP=180°-2×60°=60°=∠EC0, 在aCDP和△CEO中， [∠ADC=∠BEC ∠DCP=∠ECQ CD=CE CDPCEQ(ASA) .CP=CO,DP=EQ ∴.aCPO是等边三角形， .∠CPg=∠CQP=60°. .∠OPC=LBCA .P∥AE,故②正确； ③与②的过程同理得：△ACP≌△BCQ .AP=BO,故③正确： ④：∠DQE=∠DCE+∠CE0=60°+∠CE0>60°，∠CDE=60°， ∴.∠DQE>∠CDE ...DE >OE ..DP =OE ∴.DE>DP,故④错误； ⑤.∠ACB=∠DCE=60°， ∴.∠BCD=60°， ,aDCE是等边三角形，∠EDC=60°=∠BCD, ∴.BC∥DE, ∴.∠CBE=∠DEO=LDAC, ∴.∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故⑤正确； 综上，正确的有①②③⑤. 二、填空题 6.6 解：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得： cM-24B=x12-=6(m） 2 7.18 解：连接BC, E D 点D是AB中点且CD⊥AB于点D, ∴CD是线段AB的垂直平分线， .'.CA=CB, .点E是AC中点且BE⊥AC于点E, ∴.BE是线段AC的垂直平分线， ∴CB=AB, ∴.AC=AB=CB, ∴.△ABC为等边三角形， ∴.∠A=60°，BE=CD, 在Rt△ABE中， ∠ABE=90°-∠A=30° 在Rt△ADC中， ∠ACD=90°-∠A=30° .∠ABC=∠ACB=60°， .∠FBC=∠FCB=30°， ∴.FC=BF=2DF=12, ∴.BE=CD=DF+CF=18 8.8 解：如图，过点D作DH∥BC交AC于点H. D E :△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， DH∥BC, .∠ADH=∠B=60,∠AHD=∠ACB=60°， ∴.△AHD是等边三角形， .'AD=DH AH .AD=CE, .'DH=CE, .DH∥BC, .∠DHF=∠ECF,∠HDF=∠E, 、△DHF≌△ECF(ASA) .'HF =CF, ,△AHD是等边三角形，DG⊥AC, .AG=HG, .AC=AG+GH+HF+CF=2GH+2HF =2GF=6, ∴.AB=BC=AC=6, 设AD=CE=x, ..BE=BC+CE=6+x,BD=AB-AD=6-x, .∠B=60°，DE⊥AB, ∴.∠E=30°， 6-=6+刘， ∴.x=2, .BE=6+x=6+2=8. 故答案为：8. 9.125°或110°或140° 解：∠OCD=60°，OC=CD, ∴.△OCD是等边三角形， ∴.OC=OD,∠C0D=∠0DC=60° .△ABC是等边三角形， ∴.BC=AC,∠ACB=60°， ∴.∠ACB-∠ACO=∠OCD-∠ACO 即：∠BCO=∠ACD, 在△BOC和△ADC中， BC=AC ∠BCO=∠ACD OC=DC △BOC≌AADC(SAS) ∴.∠ADC=∠BOC=a, .∠0DC=60° ∴.∠A0D=360°-∠A0B-∠B0C-∠C0D=360°-110°-a-60°=190°-a, ∠ADO=∠ADC-∠ODC=a-60° ∠0AD=180°-(190°-a)-(a-60)=50° 由三角形内角和得： △AOD 等腰三角形，分三种情况： 若A0=AD:则∠AOD=∠AD0,即190°-a=a-60°，解得a=125°； 若A0=OD:则∠AD0=∠OAD,即a-60°=50°，解得a=110°； 若AD=OD:则∠AOD=∠OAD，,即190°-a=50°，解得a=140° 综上，a的度数为110°、125°或140°. 10. 60° 10 解：(1)，△ADB△BCD都是等边三角形， .AB=BD=AD,BC=BD=CD,∠A=∠ADB=6O°， 在△AED和△DFB中， AD=AD ∠A=∠ADB AE=DF △AED≌△DFB(SAS) ∴.∠ADE=∠FBD, .∠EGB=∠GDB+∠FBD=∠GDB+∠ADE=6O°； 故答案为：60°； (2)延长BG到点H,使GH=GD,连接DH, D HK-7 G A E .∠DGH=∠EGB=60°， .△DHG是等边三角形， ∴.DH=DG,∠HDG=60°， ,△BCD是等边三角形， .∴.BC=BD=CD,∠BDC=60°， ∴.∠HDG+∠BDE=∠BDC+∠BDE, 即∠HDB=∠GDC, 、△DHB≌ADGC(SAS) 。。 .CG=BH=BG+GH=BG+DG=6+4=10, 故答案为：10. 三、解答题 11.(1)解：，△ABC是等边三角形，EC=DC, .∠ACB=60°，∠CDE=∠E, ,∠ACB是△DCE的一个外角， ∴.∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E, .∠E=30°； (2)证明：：△ABC是等边三角形，BD是△ABC的边AC上的中线， ∠Asc=60,∠c8D=ABc=30, 由(1)可知：∠E=30°， ∴.∠CBD=∠E, ∴.BD=ED. 12.（1)证明：DE⊥BC, ∴.∠DEC=90°， .∠F=30°， ∴.∠C=90°-30°=60°， .AB=AC, △ABC是等边三角形； (2)解：△ABC是等边三角形， ∴.∠B=60°，AC=BC, .DE⊥BC, ∴.∠BDE=90°-60°=30°， BE=号BD=1 2 ∴.BC=BE+EC=1+3=4, .AC=4」 13.(1)证明：△ABC为等边三角形， .∠B=∠ACB=60°AB=BC=AC=4cm ·△ABD 为直角三角形， .∴.∠BAD=90° ∴.∠D=90°-∠B=30° AB=2BD,即BD=2AB=8cm, .BD=2BC ∴.BC=CD 即点C为BD的中点. (2)解：由平移得，BB'=2cm,AB=A'B=BC=B'C'=A'C'=AC=4cm,∠ACB'=∠ACB=60°， :.BC'=BB+B'C'=2+4=6(cm) 由(1)可知，BD=2AB=8cm,∠D=30°， :.C'D=BD-BC'=8-6=2(cm)∠CED=∠AC'B-∠D=60°-30°=30° ∴.∠C'ED=∠D=30° .C'E=C'D=2cm A'E=A'C'-C'E=4-2=2(cm) 答：A'E的长为2cm. 14.(1)证明：在△ABC中，BA=BC,∠ABC=60°， .△ABC是等边三角形， ∴.∠BAC=∠BCA=60°， DE∥BC, .∠AFE=∠BCA=60°，∠AEF=∠ABC=60°， ∴.△AEF是等边三角形； (2)解：BA=BC,DA=DC, ∴.BD是线段AC的垂直平分线， ∴.BG⊥AC, ,BA=BC,∠ABC=60°， .∠ABG=∠CBG=∠ABC=30° 2 DE∥BC, ∴.∠BDE=∠CBG=30°， .∠BDE=∠ABG=30°， ∴.BE=DE=10, ∴.AE=AB-BE=15-10=5. 15.(1)解：△ABC为等边三角形， .AB=BC=AC=2∠ABC=∠ACB=60° :P为AC的中点， AC CPAC=1∠CBP=)∠ABC-0 .PB=PD ∴.∠D=∠CBP=30° .·∠CPD+∠D=∠ACB ∴.∠CPD=∠ACB-∠D=30° 3 ∴.∠CPD=∠D ..CD=CP=1 (2)A0=CD,理由如下： .PB=PD ∴∠PBC=∠D PQ‖BC ∴.∠AQP=∠ABC=60°∠QPB=∠PBC ∴.∠QPB=∠D :∠A=60° △APQ 为等边三角形， ..AO=AP=PO AB=AC :.AB-AO=AC-AP BO=CP ,即 :∠AQP=∠ACB=60° ∴.180°-∠AQP=180°-∠ACB∠BQP=∠PCD ,即 在△BPO和aPDC中， I∠BQP=∠PCD ∠QPB=∠D BO=CP .ABPQ≌APDC(AAS) ..PO=CD ..AO=CD (3)解：如图，过P作PKI‖BC交BA延长线于点K, D D 图3 .∠K=∠ABC=60°∠APK=∠ACB=60° .△APK 为等边三角形， ∴.PK=AK=AP=6 PB=PD ∴.∠PBD=∠PDB .PKI∥BC .∠PBD+∠BPK=180° .·∠PDB+∠PDC=180° .∠BPK=∠PDC 在△BPK和△PDC中， [∠K=∠C=60° ∠BPK=∠PDC BP=PD ∴.△BPK≌△PDC(AAS) ∴.CD=PK=6 D BC 中点， .BC=2CD=12 BD=CD=PK ∴.AB=BC=12 ∴.BK=AB+AK=18 在△PEK和△DEB中， ∠K=∠EBD ∠PEK=∠BED PK=BD ∴.△PEK≌△DEB(AAS) .EK=BE .BE+EK=BK =18 BE=BK=9 2 16.(1)解：△ABC是等边三角形， ∴.∠B=60° :DE∥AB ∴.∠EDC=∠B=60° .EF⊥DE ∴.∠DEF=90° 2 ,∠F=90°-∠EDC=30° (2)解：，△EDC是等边三角形， ∴.DC=EC=2 ,△ABC 是等边三角形， .∴.AB=AC=4 .∴.AE=AC-EC=2 17.(1)证明：以点B为圆心，以BC为半径作弧交AB于点E,连接CE,如图所示： 图2 ∴.BE=BC, 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴.∠B=90°-∠A=60°， 在△BCE中，BE=BC,∠B=60°， ∴△BCE是等边三角形， .∠BCE=60°，BC=EC=BE ∴.∠ECA=∠ACB-∠BCE=30°， ∴.∠ECA=∠A=30°， ∴EC=EA, .'EA=BE=BC, .AB=AE+BE=2BC, .BC=号AB 1 2 (2)解：，△ABC是等边三角形， ∴.AB=BC=AC=8,∠B=∠C=60° AD=2, ∴.DB=AB-AD=8-2=6. DE⊥BC, .∠DEB=90°， ∴.∠BDE=30°， BE-IDB=3 ∴.EC=BC-BE=8-3=5. .EF⊥AC, ∴.∠EFC=90°， ∴.∠FEC=30°， :c-c- 2 ..AF=AC-FC=8-5_I1 22· 18.(1)解：△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴.CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， ∴.∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE. AC=BC 在和 中， ∠ACD=∠BCE △ACD△BCE CD=CE △1 CD2BCE(S4S) ∴.∠ADC=∠BEC. ,△DCE为等边三角形， .∴.∠CDE=∠CED=60°， .点A,D,E在同一直线上， .∠ADC=120°， ∴.∠BEC=120°. ∴.∠AEB=∠BEC-∠CED=60° (2)解：①△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴.AC=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠ACD=∠BCE. CA=CB ∠ACD=∠BCE 在 和 中， ACD△BCE CD=CE ACDBCE(S4S) ∴.AD=BE,∠ADC=∠BEC ,△DCE为等腰直角三角形， ∴.∠CDE=∠CED=45°， .点A,D,E在同一直线上， .∠ADC=135°， .∠BEC=135°. ∴.∠AEB=LBEC-LCED=90°； ②设△OCD的面积为S,,△COE的面积为S4, .'△ACD≌aBCE, .△ADC与△BCE的面积相等， :S为△AOC面积，S2为△BOE面积， .S-S=S2+S4, S-S2=S+S4, ..S=S-S2, .S=S+S4, :S,+S4为△CDE的面积，CE=n,△CDE均为等腰直角三角形，且∠DCE=90°， ∴CD=CE=n. .S=1CD.CE 2 2,即S= 2·