第16讲分式及其基本性质（知识点+题型精讲）2026年人教版八年级数学上册暑假预习讲义

第16讲 分式及其基本性质 目录 知识点1 分式的定义 2 知识点2 分式的取值核心条件（必考） 2 知识点3 分式的基本性质 2 知识点4 约分与最简分式 3 知识点5 通分与最简公分母 3 题型1 分式的判断 3 题型2 分式无意义的条件 5 题型3 分式有意义的条件 6 题型4 分式值为零的条件 7 题型5 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 8 题型6 判断分式变形是否正确 10 题型7 求使分式变形成立的条件 12 题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化 14 题型9 将分式的分子分母各项系数化为整数 16 题型10 求使分式值为整数时未知数的整数值 18 题型11 约分 20 题型12 最简分式 22 题型13 最简公分母 24 题型14 通分 25 1. 知识目标：理解分式的定义，掌握分式有意义、无意义、值为0、值正负的判定条件；熟记分式基本性质，掌握分式变形、约分、通分的核心规则，明晰最简分式与最简公分母的定义与求法。 2. 能力目标：能快速判断分式、求解未知数取值范围；熟练掌握分式各类变形题型、系数化简、整数取值问题；规范完成约分、通分运算，精准解决各类基础必考题型。 3. 素养目标：建立代数式取值讨论、等价变形的数学思维，养成严谨的取值范围分析习惯，规避分式概念与变形常见易错点，夯实分式运算基础。 知识点1 分式的定义 1. 定义：形如（A、B为整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。其中A是分子，B是分母。 2. 分式判定三要素：整体为分数形式、分子分母都是整式、分母含字母（核心判定依据）。 3. 区分：分母不含字母为整式，分母含字母为分式，与分子是否含字母无关。 知识点2 分式的取值核心条件（必考） 1. 分式无意义：分母，无需考虑分子。 2. 分式有意义：分母，无需考虑分子。 3. 分式值为0：分子且分母（双重条件，缺一不可）。 4. 分式值为正：分子、分母同号（同正或同负）。 5. 分式值为负：分子、分母异号（一正一负）。 知识点3 分式的基本性质 1. 核心公式：，（C为不等于0的整式）。 2. 核心内涵：分子、分母同时、同乘、同除同一个非零整式，分式值不变。 3. 关键限制：C≠0，是分式变形成立的前提，也是高频易错点。 4. 衍生符号性质：，任意两处符号同时改变，分式值不变。 知识点4 约分与最简分式 1. 约分定义：根据分式基本性质，约去分子、分母公因式的过程。 2. 约分步骤：先对分子、分母因式分解，再约去所有相同公因式。 3. 最简分式：分子、分母没有非1公因式，无法再约分的分式（最终运算必须化为最简）。 知识点5 通分与最简公分母 1. 通分定义：将几个异分母分式，化为等值同分母分式的变形过程。 2. 最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积。 3. 最简公分母求法：系数取最小公倍数，字母（因式）取最高次幂；分母为多项式需先因式分解再找公分母。 题型1 分式的判断 解题技巧（一看分母，秒判分式） 1. 核心判定：只看分母是否含字母，含字母为分式，不含字母为整式； 2. 规避误区：π、常数不属于字母，分母含π不是分式；化简结果不影响原式判定； 3. 快速筛选：分数形式+分母含字母=分式，其余均为整式。 【典例1】．下列各式：，，，，，其中分式共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】分式的定义为：若A，B是整式，且B中含有未知数，则式子是分式． 【详解】解：的分母为常数2，分母为常数3，中是常数，都不是分式； 和的分母都含有未知数x，符合分式定义，是分式； ∴分式共有2个． 【变式1】．下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题关键是掌握分式的判定规则，即分母中含有字母的代数式是分式，且是常数不是字母. 【详解】解：根据分式定义：若表示两个整式（），且中含有字母，则式子是分式. ∵选项A分母是，为常数，不含字母，属于整式，不符合要求； 选项B分母是，为字母，满足分式定义，符合要求； 选项C分母是，为常数，不含字母，属于整式，不符合要求； 选项D中是常数，因此分母不含字母，属于整式，不符合要求. 【变式2】．下列有理式中、、、，哪些是整式__________哪些是分式____________；当______时，分式有意义；当______时，分式的值为0． 【答案】 、 、 【详解】解：整式与分式区分：分母不含字母的是整式，含字母的是分式，为常数，因此、是整式，、是分式； 分式有意义：分母，解得； 分式值为0：分子，得， 分母得， 因此． 【变式3】．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有_______________，是整式的有__________．（只填序号） 【答案】 ①③④⑤ ②⑥⑦ 【分析】根据整式和分式的定义，即看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则是整式，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据整式和分式的定义可知， 是分式的有：，，，， 是整式的有：，，． 故答案为：①③④⑤，②⑥⑦． 题型2 分式无意义的条件 解题技巧（分母为0，直接求解） 1. 解题核心：令分式分母整体等于0，列方程求解未知数； 2. 无需考虑分子，分子任意取值不影响分式有无意义； 3. 多分母题型：多个分母只需任意一个分母为0，分式即无意义。 【典例2】．若分式无意义，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵分式无意义，则分母为零， ∴， 解得． 【变式1】．使分式无意义的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式无意义时分母为，列方程解答即可． 【详解】解：∵分式无意义时，分式的分母等于， ∴令， 解得 ∴使分式无意义的是． 【变式2】．若分式在实数范围内无意义，则的值是________． 【答案】 【分析】分式无意义的条件是分母等于零，据此列方程求解即可． 【详解】分式在实数范围内无意义， ，解得：． 【变式3】．当______时，分式无意义． 【答案】 【详解】解：根据分式无意义的条件，当分母为时，分式无意义． ∴， ∴. 题型3 分式有意义的条件 解题技巧（分母非0，取值限定） 1. 解题核心：令分母整体不等于0，解不等式，求出未知数取值范围； 2. 多分母题型：所有分母必须同时不为0，取取值范围的公共部分； 3. 易错规避：不可化简后再判断，必须按原式分母分析。 【典例3】．若分式有意义，则x应满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式有意义的条件，即分式的分母不能为0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义时，分母不能为0， ∴，解得． 【变式1】．分式有意义的条件是（     ） A． B． C． D．可以取任意实数 【答案】A 【分析】分式有意义的条件是分母不为0，据此列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：根据题意得， 解得． 【变式2】．若分式有意义，则应满足的条件是__________． 【答案】 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 【变式3】．已知分式，分式有意义，则________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不为零，列出不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】根据分式有意义的条件，分式的分母不能为零，可得：， 解得． 题型4 分式值为零的条件 解题技巧（分子为0+分母非0，双重验证） 1. 第一步：令分子等于0，解出未知数候选值； 2. 第二步：将候选值代入分母，剔除使分母为0的取值； 3. 最终取值：仅保留分子为0、分母不为0的有效值； 4. 高频易错：只看分子忽略分母，导致取值增根。 【典例4】．若分式的值为0，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵分式的值为， ∴可得且， 解得，且，符合条件 因此的值为． 【变式1】．若代数式的值是0，则实数的值是（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据分式为0的条件是分子为0，分母不为0，据此即可解答． 【详解】解：令， 解得． 当时，，符合题意． 【变式2】．若分式的值为，则________． 【答案】 【分析】根据分式值为的条件，分式值为需满足分子为，且分母不为，据此计算求解． 【详解】解：分式的值为， ，， 解得：， 当时，，满足分母不为的条件． 【变式3】．若分式的值为零，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件：需满足分子为零，同时分母不为零，进行解答即可． 【详解】解：分式的值为零， ，且， 解得，，且，且， ． 题型5 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 解题技巧（同正异负，组不等式组） 1. 分式值为正：分子分母同号，列不等式组（同正或同负），求解取交集； 2. 分式值为负：分子分母异号，列不等式组（一正一负），求解取交集； 3. 硬性前提：全程保证分母≠0，剔除无意义取值； 4. 化简技巧：先整理分子分母符号、因式，简化不等式求解。 【典例5】．分式的值为正数的条件是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】要使分式的值为正数，需满足两个条件，一是分式有意义，分母不为0，二是分子分母同号，根据平方的非负性判断分母符号后，求解分子的不等关系即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母，即， ∵任意非零数的平方都是正数， ∴当时，， ∵要使分式的值为正数，需分子与分母同号， ∴分子， 解不等式得， 综上，分式的值为正数的条件是且． 【变式1】．使分式的值为负数的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式值的正负性问题，解题的关键是掌握：若对于分式时，说明分子分母同号；分式时，分子分母异号． 根据分式的值为负，得到，解不等式即可． 【详解】解：∵使分式的值为负数，， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式2】．若分式的值为负数，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据分式的值为负数的条件，结合分子为正数，得到分母小于零，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得． 【变式3】．写出使分式的值为正数的的一个值_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，熟练掌握分式的性质和一元一次不等式的解法是解题的关键．要使分式的值为正，分子为正，因此分母必须为正，由此确定的取值范围，再在范围内找一个值即可． 【详解】解：要使分式的值为正数， 分母必须为正数，即，解得， 任意大于的实数均可，例如取． 故答案为：（答案不唯一）． 题型6 判断分式变形是否正确 解题技巧（三查核验法） 1. 查规则：是否分子分母同时、同乘、同除同一个整式； 2. 查限制：乘除的整式是否不为0，有无遗漏取值限制； 3. 查符号：分式符号、分子分母符号变换是否符合符号法则； 4. 错项秒杀：单独变分子/分母、乘除不同整式、默认整式不为0，均为错误变形。 【典例6】．下列从左到右的变形中，一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变，根据性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、该变形不符合分式基本性质，举例取，，左边为，右边分母为0无意义，等式不成立，故A错误； B、变形中分子分母同乘，未保证，当时，右边分母为0，无意义，故不一定成立，B错误； C、举例取，，左边，右边，，等式不成立，故C错误； D、是分式，故隐含条件，根据分式基本性质，分子分母同乘不为0的，可得，变形一定成立，故D正确． 【变式1】．下列各式由左边到右边的变形，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的符号法则和分式的基本性质，根据分式相关性质逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：选项A：∵，符合分式的符号法则，∴A变形正确； 选项B：只有当或时，才成立，不是对任意都成立，∴B变形错误； 选项C：分式的基本性质是分子分母同乘或同除以同一个不为0的整式，分式值不变，不是同加同一个数，例如时，，∴C变形错误； 选项D：拆分分式得，∴D变形错误． 【变式2】．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 【变式3】．下列各式从左到右的变形一定正确的是___________． ①  ②  ③  ④ 【答案】④ 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：根据分式的基本性质， ①该选项变形错误，不符合题意； ②，该选项变形错误，不符合题意； ③，当异号的时候，该选项变形错误，不符合题意； ④，该选项变形正确，符合题意； 正确选项为④， 故答案为：④． 题型7 求使分式变形成立的条件 解题技巧（锁定公因式，限定非零条件） 1. 变形本质：分式约分、化简的核心是除以公因式； 2. 解题关键：找出变形中约去的整式，令该整式不等于0； 3. 补充条件：结合原式分母非0条件，综合确定取值范围； 4. 核心逻辑：约去的因式不能为0，否则变形不成立。 【典例7】．如果，那么为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质可将左边的等式分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 【变式1】．已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据题意两边同乘，得，即可求解． 【详解】解：∵，且保证， ∴两边同乘，得， ∴. 故选：C． 【变式2】．填空： （1）；括号内应填入：______． （2）；括号内应填入：______． （3）；括号内应填入：______． （4）（且）．括号内应填入：______． 【答案】 【分析】根据分式左右两边分母或分子的变化，依据分式的基本性质对分子或分母做相同的运算，结合因式分解即可求解． 【详解】解：（1）观察分母可得，根据分式的基本性质，分子同乘，得 ； （2）对分母因式分解，得，，故， 分子分母同除以，得； （3）观察分母可得，根据分式的基本性质，分子同乘，得 ； （4）对左边分子因式分解，得，，约分左边得 ， 对右边分子因式分解得，因此，可得括号内应填． 【变式3】．填空： （1）（a≠0）； （2）． 括号内的式子分别是_________，___________． 【答案】 / 【分析】本题考查了分式的基本性质与因式分解，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质，分子分母同乘求解即可； （2）将分母因式分解后再约分即可． 【详解】解：（1）左边分式的分母为，右边分式分母为， 由于， 因此分子分母同乘，分子， 故括号内应填； （2）左边分式分母可因式分解为， 故， 因此右边分式分母为， 故括号内应填． 故答案为：；． 题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化 解题技巧（代入缩放，整体对比法） 1. 固定操作：将题干中未知数扩大/缩小倍数，整体替换原式字母； 2. 整理新式子：提取倍数系数，与原分式对比； 3. 结果判定：根据系数倍数关系，确定分式值扩大、缩小或不变； 4. 快速结论：分子缩放影响分式值同向变化，分母缩放影响分式值反向变化。 【典例8】．若、均不为0，将下列分式中的和都变为原来的2倍，分式的值保持不变的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将、分别替换为原来的2倍，代入各选项化简后，与原分式对比，即可判断分式值是否改变. 【详解】解：将换为，换为，依次化简判断： A、，分式值改变，不符合题意； B、，分式值改变，不符合题意； C、，替换后与原分式相等，分式值不变，符合题意； D、，分式值改变，不符合题意． 【变式1】．将分式中的，同时扩大为原来的2倍，分式的值将（     ） A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】将扩大后的，代入原分式，化简后与原分式对比，即可得到分式值的变化． 【详解】解：当，同时扩大为原来的2倍时， 新的分子为， 新的分母为， 故新的分式为， 因此分式的值缩小为原来的，故选C． 【变式2】．把分式中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 【答案】缩小为原来的 【分析】直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的m和n都扩大为原来的2倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的． 【变式3】．若，则________． 【答案】 【分析】根据已知的比例关系，设参数表示出和，再代入所求分式化简计算即可得到结果． 【详解】解：设，其中， 则，， ∴． 题型9 将分式的分子分母各项系数化为整数 解题技巧（找公分母，整体同乘） 1. 小数系数：分子分母同乘10、100等整十数，消去小数； 2. 分数系数：找出所有分数分母的最小公倍数，分子分母整体同乘； 3. 核心要求：整体同乘、不遗漏任何项，保证分式值不变； 4. 收尾化简：化为整数系数后，可同步约分至最简。 【典例9】．不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数化为整数，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质将分子分母同乘适当的数，即可在不改变分式值的前提下把系数化为整数． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘一个不等于的整式，分式的值不变， 将原分式的分子分母同时乘以，可得：． 【变式1】．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 【变式2】．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_________． 【答案】 【分析】利用分式的基本性质让分子分母同扩大10倍即可． 【详解】解：． 【变式3】．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质的应用．根据分式的基本性质，给分子与分母同乘一个合适的非零整数，将分子、分母中各项系数化为整数，第一问选择乘10，第二问选择乘100后再约分即可． 【详解】解：（1）； （2）． 题型10 求使分式值为整数时未知数的整数值 解题技巧（分离常数，整除判定法） 1. 化简变形：将分式拆分，分离出常数，保留单一整式分母； 2. 整除核心：分式值为整数→分母是分子剩余部分的整数约数； 3. 枚举取值：列出所有正负约数，求解对应未知数； 4. 最后校验：剔除使原式分母为0的无效取值。【典例10】．已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的和为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】先对分式变形分离常数，再根据代数式的值为整数得到是的约数，求出所有符合条件的后求和即可． 【详解】解：对分式变形得， ∵代数式的值为整数，为整数，分式有意义要求， ∴是的整数约数， 即或或或， 解得， 解得， 解得， 解得， ∴所有符合条件的的和为． 【变式1】．关于的多项式，（为常数），下列说法：①若中不含和项，则；②当时，；③当时，若的值为正整数，则此时所有整数的值的和为20．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查整式混合运算中的无关型问题、分式的化简．求出，再根据中不含和项，可判断①；求出，可判断②；求出，可判断③． 【详解】解：①∵， ∴， ∵中不含和项， ∴， 解得：，故①错误； ②当时， ，故②错误； ③当时， ， ∵的值为正整数， ∴9是的整数倍， ∴取， ∴x的值为， ∵的值为正整数， ∴x取3，5，11， ∴此时所有整数的值的和为，故③错误． 故选：D 【变式2】．已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 【答案】或0或2 【分析】先将分式化简为整式与分式和的形式，再根据分式的值为正整数且为整数，确定的所有可能取值，进而求解得到整数的值. 【详解】解： 分式的值是正整数，是整数， 为整数，且是正整数， 或 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，不是正整数，舍去. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 综上，整数的值为或或． 【变式3】．若的值为整数，则满足条件的的整数值可以为________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先对原式的分子分母分别因式分解，约分得到化简结果，再根据分式的值为整数，结合分式有意义的条件，即可得到满足要求的整数． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母不为零， ∴， 解得且， ∴ ∵原式的值为整数，为整数， ∴为整数，即为的因数，符合条件的整数可以为，任取一个即可． 题型11 约分 解题技巧（先分解、后约分、彻底化简） 1. 第一步：对分子、分母分别因式分解（多项式必须先分解）； 2. 第二步：约去分子、分母全部相同公因式； 3. 第三步：整理剩余因式，符号归整，化为标准形式； 4. 禁忌要点：禁止直接约去加减项，仅可约去乘积形式的公因式。 【典例11】．约分的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式． 【变式1】．化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质，约去分子分母的公因式即可得到结果． 【详解】解：． 【变式2】．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式3】．约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：. 题型12 最简分式 解题技巧（因式筛查，无公因式判定） 1. 判定标准：分子、分母因式分解后，无公共非1因式； 2. 解题步骤：先因式分解，再筛查公因式，无公因式即为最简分式； 3. 易错规避：表面无公因式不代表最简，必须分解后核验； 4. 答题要求：所有分式运算结果，必须化为最简分式。 【典例12】．将分式化成最简分式的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∴将分式化成最简分式的结果是． 【变式1】．下列分式为最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：的分子分母有公因式，可约分为， 不是最简分式，不符合题意； 选项B：的分子分母有公因式，可约分为， 不是最简分式，不符合题意； 选项C：的分子分母没有公因式， 是最简分式，符合题意； 选项D：的分子分母有公因式，可约分为， 不是最简分式，不符合题意． 【变式2】．要将化成最简分式，应将分子、分母同时约去它们的公因式，这个公因式为_______． 【答案】 【分析】本题考查分式约分中公因式的确定，公因式由分子分母系数的最大公约数和相同字母的最低次幂组成，利用公因式的确定方法解题． 【详解】解：分子与分母中， 系数和的最大公约数为， 两个式子共有的字母为和， 相同字母的最低次幂分别为和， 仅出现在分子中，不属于公因式的组成部分， 因此可得公因式为． 【变式3】．在分式，，，，中，最简分式有__个． 【答案】1 【分析】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为：1 ． 题型13 最简公分母 解题技巧（系数取小，因式取高） 1. 单项式分母：系数取最小公倍数，相同字母取最高次幂，不同字母全部保留； 2. 多项式分母：先因式分解，再对所有因式取最高次幂相乘； 3. 核心规则：不重复、不遗漏，所有独有因式全部纳入公分母； 4. 避坑要点：多项式未分解直接找公分母，极易出错。 【典例13】．分式，，的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出系数的最小公倍数和各字母的最高次幂，再相乘得到结果． 【详解】三个分母的系数分别为，，，它们的最小公倍数是， 相同字母的最高次幂为，相同字母的最高次幂为， ∴三个分式的最简公分母为． 【变式1】．分式，的最简公分母为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简公分母的确定，按照最简公分母的求解规则：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，所有出现的不同字母都写入乘积，即可得到结果． 【详解】解：先确定系数部分，两个分母的系数为1和2，最小公倍数为2， 再确定字母部分，分母中出现的字母为和， ∵的最高次为，的最高次为， ∴最简公分母为． 【变式2】．分式与的最简公分母是________． 【答案】 【分析】确定最简公分母的方法为取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积，据此计算即可． 【详解】解：两个分式的分母分别为和，系数和的最小公倍数为，字母因式中的最高次幂为，的最高次幂为，因此最简公分母为． 【变式3】．分式与分式的最简公分母是______． 【答案】 【分析】根据最简公分母的确定规则，取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式最高次幂的乘积作为最简公分母，即可求解本题. 【详解】解：①确定系数部分，两个分式分母的系数分别为和，系数的最小公倍数为； ②确定字母的幂次，两个分母中的次数分别为和，取最高次幂； ③确定字母的幂次，两个分母中的次数分别为和，取最高次幂； 将系数与各字母最高次幂相乘，得到最简公分母为. 题型14 通分 解题技巧（先定公分母，同形等值变形） 1. 第一步：求出所有异分母分式的最简公分母； 2. 第二步：观察各分母到公分母的扩倍倍数； 3. 第三步：分子同步扩大相同倍数，保证分式值不变； 4. 最终要求：通分后分母统一为最简公分母，分子完整对应，无遗漏。 【典例14】．把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，通分时分子分母需同乘相应因式，确保变形恒等是解题的关键． 先确定三个分式的最简公分母，再逐一验证每个选项的通分是否正确． 【详解】解：A、最简公分母为， 正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、正确通分应为，但选项D中分子为，错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】．对分式，，进行通分，通分的结果分别是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分运算，平方差公式在确定最简公分母中的应用，掌握先通过因式分解确定最简公分母，再将各分式变形为同分母分式的方法是解题的关键． 通分的关键是确定最简公分母，观察各分式的分母，发现是和的乘积，因此最简公分母为，再将每个分式化为以为分母的形式． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，其中=，因此最简公分母为. 对于，分子和分母同乘，得; 对于，分子和分母同乘，得; 对于，分母已是，保持不变，为. 故答案为：，，. 【变式2】．下列分式中，属于最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简分式的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：选项，分子分母有公因式，不是最简分式． 选项，分子与分母无公因式，是最简分式． 选项，分子因式分解为，与分母有公因式，不是最简分式． 选项，分子可变形为，与分母有公因式，不是最简分式． 【变式3】．若分式有意义，则满足的条件是（     ） A．为任意实数 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列出不等式求解即可得到结果． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得． 1．若则下列分式化简正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A，D：分式分子分母进行同加或同平方运算，不符合分式基本性质，均错误； 选项B：由有意义得，即且，分子分母同除以得，正确； 选项C：，错误． 2．如果把分式的x与y都扩大10倍，那么这个分式的值（     ） A．不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D．缩小50倍 【答案】C 【分析】用和替换原分式中的和，化简后与原分式对比，即可得到分式值的变化． 【详解】解：∵将原分式中与都扩大10倍，可得新分式为， ∴新分式的值是原分式值的10倍，即这个分式的值扩大10倍． 3．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可. 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故选：C. 4．下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简分式，掌握相关知识点是解题的关键．根据分子与分母是否存在非零公因式，判断是否可约分，即可求解． 【详解】解：A、的分子9与分母无公因式，是最简分式，故选项A符合题目要求； B、，分子分母有公因式，不是最简分式，故选项B不符合题目要求； C、，分子分母有公因式，不是最简分式，故选项C不符合题目要求； D、，分子分母有公因式，不是最简分式，故选项D不符合题目要求． 故选：A． 5．化简时，应约去的分子分母的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：分子为，分母为，先确定系数部分：和的最大公约数是， 对字母：分子中的次数为，分母中的次数为，取最低次幂， 对字母：分子中的次数为，分母中的次数为，取最低次幂，仅出现在分子中，不纳入公因式， 分子分母的公因式为． 6．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 7．若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：分式有意义， ， 解得：． 8．当______ 时，分式无意义；当 ______ 时，分式的值是． 【答案】 【分析】本题根据分式无意义的条件和分式值为的条件求解．分式无意义时，分母为；分式值为时，需满足分子为且分母不为，分别列方程求解即可得到结果． 【详解】解：分式无意义， 解得； 分式的值为， 且， 又 得或，得， 所以． 9．分式和的最简公分母是_________． 【答案】 【分析】根据最简公分母的定义，取各分母系数的最小公倍数与字母因式最高次幂的乘积计算即可． 【详解】解：两个分式的分母分别为和， 和的最小公倍数是， 字母的最高次幂为， ∴ 两个分式的最简公分母是． 10．分式与的最简公分母是______． 【答案】 【分析】确定最简公分母需取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，据此即可得到结果． 【详解】解：两个分式的分母分别为和． 各分母系数的最小公倍数为． 字母因式中的最高次幂为，的最高次幂为． 因此最简公分母为． 11．已知a，b为正整数，且整除，则的最大值与最小值之和为________． 【答案】20 【分析】设，整理得，由a，b为正整数，得且，即，故．代入到中进行计算，进而即可求解． 【详解】解：由题意得，设（为正整数）， ∴ ∴， ∵为正整数，且为正整数， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴最小值为1，最大值为19， ∴两者之和为． 【点睛】本题以整数整除为背景，核心是将整除关系转化为含参数的分式，通过正整数约束确定的取值范围，再列举计算的最值，体现了数论问题中“代数转化参数列举”的典型思路． 12．当x取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：要使分式有意义，则需满足； （2）解：要使分式有意义，则需满足， ∴； （3）解：要使分式有意义，则需满足， ∴； （4）解：要使分式有意义，则需满足， ∴． 13．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 14．将下列各分式通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， 【详解】（1）解： ； （2）不变 ； （3） ； （4）； 15．阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了求最简公分母，根据最简公分母的定义求解即可． 根据题干中的方法求解即可． 【详解】（1）解：第一步：1，，，； 第二步：，c，，； 第三步：，，，； ∴，，的最简公分母是； （2）解：第一步：1，，，； 第二步：，3，，； 第三步：，，，； 第四步：，，，； ∴，，的最简公分母是． 16．对于形如的分式，可通过配凑变形，化为一个常数与分子为常数的分式相加的形式：（m，n为常数），该方法称为分离常数法． 例如：． (1)将分式化为形式，并写出m，n的值． (2)若x为正整数，且分式的值为正整数，求x的值． 【答案】(1)， ， (2)的值为或 【分析】（1）仿照例题求解即可； （2）仿照例题得到，则可推出是整数，结合x为正整数得到或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：， ∵分式的值为正整数， ∴为正整数， ∴一定是整数， ∵x为正整数， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去，此时的值为负数）． 17．定义：对于分式，若存在整数a，使得该分式的值为整数，则称整数a是该分式的巧数．例如：若时，分式的值为3，则称是分式的巧数． (1)“是分式的巧数”，该说法是否正确？请说明理由； (2)求分式所有的巧数； (3)对于分式，小华通过整理得出，借助问题（2）的结论即可得出的巧数．类比小华的做法，求分式所有的巧数． 【答案】(1)正确，把代入，得，是整数，所以是分式的巧数 (2)，，，是分式的巧数 (3)分式的巧数为， 【分析】（1）将代入分式计算出结果为整数，结合巧数定义即可判断说法正确； （2）根据分式值为整数推出分母是分子的因数，找出的所有整数因数，依次算出对应的值即为全部巧数； （3）先对分式因式分解约分并确定的取值限制，再拆分变形分式，根据分式值为整数得到是1的因数，求出对应值并检验，即可得到该分式所有巧数． 【详解】（1）略 （2）解：∵分式值为整数， ∴是的因数， ∴，，则的值为，，，， ∴，，，是分式的巧数； （3）解：由题意得：，且且， 又∵， ∵的值为整数， ∴为整数，则是的因数， ∴， ∴或， ∴分式的巧数为，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 分式及其基本性质 目录 知识点1 分式的定义 2 知识点2 分式的取值核心条件（必考） 2 知识点3 分式的基本性质 2 知识点4 约分与最简分式 3 知识点5 通分与最简公分母 3 题型1 分式的判断 3 题型2 分式无意义的条件 4 题型3 分式有意义的条件 4 题型4 分式值为零的条件 5 题型5 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 5 题型6 判断分式变形是否正确 6 题型7 求使分式变形成立的条件 6 题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化 7 题型9 将分式的分子分母各项系数化为整数 8 题型10 求使分式值为整数时未知数的整数值 8 题型11 约分 9 题型12 最简分式 10 题型13 最简公分母 10 题型14 通分 11 1. 知识目标：理解分式的定义，掌握分式有意义、无意义、值为0、值正负的判定条件；熟记分式基本性质，掌握分式变形、约分、通分的核心规则，明晰最简分式与最简公分母的定义与求法。 2. 能力目标：能快速判断分式、求解未知数取值范围；熟练掌握分式各类变形题型、系数化简、整数取值问题；规范完成约分、通分运算，精准解决各类基础必考题型。 3. 素养目标：建立代数式取值讨论、等价变形的数学思维，养成严谨的取值范围分析习惯，规避分式概念与变形常见易错点，夯实分式运算基础。 知识点1 分式的定义 1. 定义：形如（A、B为整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。其中A是分子，B是分母。 2. 分式判定三要素：整体为分数形式、分子分母都是整式、分母含字母（核心判定依据）。 3. 区分：分母不含字母为整式，分母含字母为分式，与分子是否含字母无关。 知识点2 分式的取值核心条件（必考） 1. 分式无意义：分母，无需考虑分子。 2. 分式有意义：分母，无需考虑分子。 3. 分式值为0：分子且分母（双重条件，缺一不可）。 4. 分式值为正：分子、分母同号（同正或同负）。 5. 分式值为负：分子、分母异号（一正一负）。 知识点3 分式的基本性质 1. 核心公式：，（C为不等于0的整式）。 2. 核心内涵：分子、分母同时、同乘、同除同一个非零整式，分式值不变。 3. 关键限制：C≠0，是分式变形成立的前提，也是高频易错点。 4. 衍生符号性质：，任意两处符号同时改变，分式值不变。 知识点4 约分与最简分式 1. 约分定义：根据分式基本性质，约去分子、分母公因式的过程。 2. 约分步骤：先对分子、分母因式分解，再约去所有相同公因式。 3. 最简分式：分子、分母没有非1公因式，无法再约分的分式（最终运算必须化为最简）。 知识点5 通分与最简公分母 1. 通分定义：将几个异分母分式，化为等值同分母分式的变形过程。 2. 最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积。 3. 最简公分母求法：系数取最小公倍数，字母（因式）取最高次幂；分母为多项式需先因式分解再找公分母。 题型1 分式的判断 解题技巧（一看分母，秒判分式） 1. 核心判定：只看分母是否含字母，含字母为分式，不含字母为整式； 2. 规避误区：π、常数不属于字母，分母含π不是分式；化简结果不影响原式判定； 3. 快速筛选：分数形式+分母含字母=分式，其余均为整式。 【典例1】．下列各式：，，，，，其中分式共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．下列有理式中、、、，哪些是整式__________哪些是分式____________；当______时，分式有意义；当______时，分式的值为0． 【变式3】．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有_______________，是整式的有__________．（只填序号） 题型2 分式无意义的条件 解题技巧（分母为0，直接求解） 1. 解题核心：令分式分母整体等于0，列方程求解未知数； 2. 无需考虑分子，分子任意取值不影响分式有无意义； 3. 多分母题型：多个分母只需任意一个分母为0，分式即无意义。 【典例2】．若分式无意义，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．使分式无意义的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．若分式在实数范围内无意义，则的值是________． 【变式3】．当______时，分式无意义． 题型3 分式有意义的条件 解题技巧（分母非0，取值限定） 1. 解题核心：令分母整体不等于0，解不等式，求出未知数取值范围； 2. 多分母题型：所有分母必须同时不为0，取取值范围的公共部分； 3. 易错规避：不可化简后再判断，必须按原式分母分析。 【典例3】．若分式有意义，则x应满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．分式有意义的条件是（     ） A． B． C． D．可以取任意实数 【变式2】．若分式有意义，则应满足的条件是__________． 【变式3】．已知分式，分式有意义，则________． 题型4 分式值为零的条件 解题技巧（分子为0+分母非0，双重验证） 1. 第一步：令分子等于0，解出未知数候选值； 2. 第二步：将候选值代入分母，剔除使分母为0的取值； 3. 最终取值：仅保留分子为0、分母不为0的有效值； 4. 高频易错：只看分子忽略分母，导致取值增根。 【典例4】．若分式的值为0，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．若代数式的值是0，则实数的值是（     ） A．3 B． C．2 D． 【变式2】．若分式的值为，则________． 【变式3】．若分式的值为零，则的值为_______ 题型5 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 解题技巧（同正异负，组不等式组） 1. 分式值为正：分子分母同号，列不等式组（同正或同负），求解取交集； 2. 分式值为负：分子分母异号，列不等式组（一正一负），求解取交集； 3. 硬性前提：全程保证分母≠0，剔除无意义取值； 4. 化简技巧：先整理分子分母符号、因式，简化不等式求解。 【典例5】．分式的值为正数的条件是（     ） A． B．且 C． D． 【变式1】．使分式的值为负数的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．若分式的值为负数，则x的取值范围是_________． 【变式3】．写出使分式的值为正数的的一个值_____． 题型6 判断分式变形是否正确 解题技巧（三查核验法） 1. 查规则：是否分子分母同时、同乘、同除同一个整式； 2. 查限制：乘除的整式是否不为0，有无遗漏取值限制； 3. 查符号：分式符号、分子分母符号变换是否符合符号法则； 4. 错项秒杀：单独变分子/分母、乘除不同整式、默认整式不为0，均为错误变形。 【典例6】．下列从左到右的变形中，一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各式由左边到右边的变形，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【变式3】．下列各式从左到右的变形一定正确的是___________． ①  ②  ③  ④ 题型7 求使分式变形成立的条件 解题技巧（锁定公因式，限定非零条件） 1. 变形本质：分式约分、化简的核心是除以公因式； 2. 解题关键：找出变形中约去的整式，令该整式不等于0； 3. 补充条件：结合原式分母非0条件，综合确定取值范围； 4. 核心逻辑：约去的因式不能为0，否则变形不成立。 【典例7】．如果，那么为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 【变式2】．填空： （1）；括号内应填入：______． （2）；括号内应填入：______． （3）；括号内应填入：______． （4）（且）．括号内应填入：______． 【变式3】．填空： （1）（a≠0）； （2）． 括号内的式子分别是_________，___________． 题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化 解题技巧（代入缩放，整体对比法） 1. 固定操作：将题干中未知数扩大/缩小倍数，整体替换原式字母； 2. 整理新式子：提取倍数系数，与原分式对比； 3. 结果判定：根据系数倍数关系，确定分式值扩大、缩小或不变； 4. 快速结论：分子缩放影响分式值同向变化，分母缩放影响分式值反向变化。 【典例8】．若、均不为0，将下列分式中的和都变为原来的2倍，分式的值保持不变的是（     ）． A． B． C． D． 【变式1】．将分式中的，同时扩大为原来的2倍，分式的值将（     ） A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【变式2】．把分式中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 【变式3】．若，则________． 题型9 将分式的分子分母各项系数化为整数 解题技巧（找公分母，整体同乘） 1. 小数系数：分子分母同乘10、100等整十数，消去小数； 2. 分数系数：找出所有分数分母的最小公倍数，分子分母整体同乘； 3. 核心要求：整体同乘、不遗漏任何项，保证分式值不变； 4. 收尾化简：化为整数系数后，可同步约分至最简。 【典例9】．不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数化为整数，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_________． 【变式3】．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 题型10 求使分式值为整数时未知数的整数值 解题技巧（分离常数，整除判定法） 1. 化简变形：将分式拆分，分离出常数，保留单一整式分母； 2. 整除核心：分式值为整数→分母是分子剩余部分的整数约数； 3. 枚举取值：列出所有正负约数，求解对应未知数； 4. 最后校验：剔除使原式分母为0的无效取值。 【典例10】．已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的和为（     ） A．2 B． C．4 D． 【变式1】．关于的多项式，（为常数），下列说法：①若中不含和项，则；②当时，；③当时，若的值为正整数，则此时所有整数的值的和为20．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2】．已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 【变式3】．若的值为整数，则满足条件的的整数值可以为________．（写出一个即可） 题型11 约分 解题技巧（先分解、后约分、彻底化简） 1. 第一步：对分子、分母分别因式分解（多项式必须先分解）； 2. 第二步：约去分子、分母全部相同公因式； 3. 第三步：整理剩余因式，符号归整，化为标准形式； 4. 禁忌要点：禁止直接约去加减项，仅可约去乘积形式的公因式。 【典例11】．约分的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．约分： (1)； (2)； (3)． 题型12 最简分式 解题技巧（因式筛查，无公因式判定） 1. 判定标准：分子、分母因式分解后，无公共非1因式； 2. 解题步骤：先因式分解，再筛查公因式，无公因式即为最简分式； 3. 易错规避：表面无公因式不代表最简，必须分解后核验； 4. 答题要求：所有分式运算结果，必须化为最简分式。 【典例12】．将分式化成最简分式的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．下列分式为最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．要将化成最简分式，应将分子、分母同时约去它们的公因式，这个公因式为_______． 【变式3】．在分式，，，，中，最简分式有__个． 题型13 最简公分母 解题技巧（系数取小，因式取高） 1. 单项式分母：系数取最小公倍数，相同字母取最高次幂，不同字母全部保留； 2. 多项式分母：先因式分解，再对所有因式取最高次幂相乘； 3. 核心规则：不重复、不遗漏，所有独有因式全部纳入公分母； 4. 避坑要点：多项式未分解直接找公分母，极易出错。 【典例13】．分式，，的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．分式，的最简公分母为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．分式与的最简公分母是________． 【变式3】．分式与分式的最简公分母是______． 题型14 通分 解题技巧（先定公分母，同形等值变形） 1. 第一步：求出所有异分母分式的最简公分母； 2. 第二步：观察各分母到公分母的扩倍倍数； 3. 第三步：分子同步扩大相同倍数，保证分式值不变； 4. 最终要求：通分后分母统一为最简公分母，分子完整对应，无遗漏。 【典例14】．把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【变式1】．对分式，，进行通分，通分的结果分别是_____． 【变式2】．下列分式中，属于最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】．若分式有意义，则满足的条件是（     ） A．为任意实数 B． C． D． 1．若则下列分式化简正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如果把分式的x与y都扩大10倍，那么这个分式的值（     ） A．不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D．缩小50倍 3．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 4．下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 5．化简时，应约去的分子分母的公因式是（     ） A． B． C． D． 6．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 7．若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 8．当______ 时，分式无意义；当 ______ 时，分式的值是． 9．分式和的最简公分母是_________． 10．分式与的最简公分母是______． 11．已知a，b为正整数，且整除，则的最大值与最小值之和为________． 12．当x取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 13．约分： (1)； (2)． 14．将下列各分式通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 16．对于形如的分式，可通过配凑变形，化为一个常数与分子为常数的分式相加的形式：（m，n为常数），该方法称为分离常数法． 例如：． (1)将分式化为形式，并写出m，n的值． (2)若x为正整数，且分式的值为正整数，求x的值． 17．定义：对于分式，若存在整数a，使得该分式的值为整数，则称整数a是该分式的巧数．例如：若时，分式的值为3，则称是分式的巧数． (1)“是分式的巧数”，该说法是否正确？请说明理由； (2)求分式所有的巧数； (3)对于分式，小华通过整理得出，借助问题（2）的结论即可得出的巧数．类比小华的做法，求分式所有的巧数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $