第5讲 三角形全等的判定过程（知识点+题型精讲）暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第5讲 三角形全等的判定过程 目录 知识点1 全等判定通用规则与易错禁区 2 知识点2 SSS（边边边）判定定理 2 知识点3 SAS（边角边）判定定理 3 知识点4 ASA（角边角）判定定理 3 知识点5 HL（斜边直角边）判定定理 4 知识点6 全等判定与性质综合逻辑 4 题型1 用SAS证明三角形全等 4 题型2 用SAS间接证明三角形全等 10 题型3 全等的性质和SAS综合 14 题型4 用ASA证明三角形全等 17 题型5 全等的性质和ASA综合 21 题型6 用SSS证明三角形全等 25 题型7 用SSS间接证明三角形全等 28 题型8 全等的性质和SSS综合 32 题型9 用HL证明全等 36 题型10 全等的性质和HL综合 39 1. 知识目标：熟练掌握三角形全等四大核心判定方法（SSS、SAS、ASA、HL）的定理内容、几何语言与适用条件；明确各类判定定理的区别与易错点，牢记SSA不能判定全等；掌握直角三角形专属HL判定定理；理清全等判定与全等性质的联动逻辑，建立完整的全等证明体系。 2. 能力目标：能直接利用SSS、SAS、ASA、HL证明三角形全等；掌握间接找边、找角条件的解题思路，解决隐含条件、线段和差、角度转化类间接证明题型；熟练实现“先判定全等、再用性质解题”的综合应用，规范几何证明步骤书写。 3. 素养目标：建立严谨的几何逻辑推理思想、模型化解题思维，培养识图找隐含条件、条件转化、分步推导的能力，规范几何证明书写格式，攻克八年级几何核心证明大题，为后续几何综合题型筑牢基础。 知识点1 全等判定通用规则与易错禁区 1. 判定核心：证明两个三角形全等，必须找到三组对应相等条件，且满足对应定理要求； 2. 绝对禁区：SSA（边边角）、AAA（角角角）不能判定三角形全等，仅能判定相似； 3. 隐含条件优先：识图优先找公共边、公共角、对顶角、平行线等角、垂直直角，快速凑齐判定条件； 4. 证明逻辑：先找边角条件→判定全等→利用全等性质得边角相等，逻辑不可逆。 知识点2 SSS（边边边）判定定理 1. 定理内容：三边对应相等的两个三角形全等（简记SSS）； 2. 适用场景：题干已知三边相等、通过线段和差可推三边对应相等、无角度条件的题型； 3. 几何语言：在△ABC和△A’B’C’中， ∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）； 4. 核心特征：无需任何角度条件，仅靠边长即可判定，对应三角形稳定性原理。 知识点3 SAS（边角边）判定定理 1. 定理内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记SAS）； 2. 关键核心：必须是两边夹角，绝非边外角（SSA无效）； 3. 几何语言：在△ABC和△A’B’C’中，，∴△ABC≌△A’B’C’（SAS）； 4. 适用场景：已知两组边、一组夹角相等，可直接判定全等。 知识点4 ASA（角边角）判定定理 1. 定理内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记ASA）； 2. 核心要点：角、边、角顺序，边必须是两组角的公共夹边； 3. 几何语言：在△ABC和△A’B’C’中，，∴△ABC≌△A’B’C’（ASA）； 4. 适用场景：题干有两组等角、一组夹边相等，平行线、角平分线题型高频使用。 知识点5 HL（斜边直角边）判定定理 1. 专属范围：仅适用于直角三角形，是直角三角形特有全等判定方法； 2. 定理内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记HL）； 3. 几何语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）； 4. 优势：直角三角形无需找角，两组斜边直角边条件即可判定，简化证明步骤。 知识点6 全等判定与性质综合逻辑 1. 判定全等：通过SSS、SAS、ASA、HL证明三角形全等； 2. 用性质解题：全等后直接得对应边相等、对应角相等，用于计算、二次证明； 3. 综合闭环：找条件→证全等→得等边角→再推导新结论，是几何大题固定解题链条。 题型1 用SAS证明三角形全等 解题技巧（夹角锁定三步法） 1. 精准找条件：锁定两组对应边，重点确认中间夹角为两边夹角，杜绝SSA错误； 2. 优先抓隐含：公共角、对顶角、垂直直角、平行线等角，快速凑齐夹角相等； 3. 规范书写：严格按照“边-角-边”顺序罗列条件，对应顶点顺序一致； 4. 避坑核心：只要不是两边夹角，绝对不能用SAS判定全等。 【典例1】．下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可得， A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； B选项中角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； C选项中已知两边及两边的夹角对应相等，所以根据“”能判定全等，故本选项符合题意； D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意． 【变式1】．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；再以点为圆心，大于的长为半径画弧，分别交，于点，，连接，，则，其全等的依据是________．（填“”或“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】根据作图过程和全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图过程得，， 在和中， ∴． 【变式2】．如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴ (2)方法一：如图，连接，得到， 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 方法二：如图，连接，得到， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ 【分析】（1）在和中，结合已知的、公共角与，依据即可证明两三角形全等； （2）可连接，得到；由（1）得，由全等性质可知、，结合推得，再根据三边对应相等，依据即可证明；也可连接，得到，同上得、，依据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】．如图，在中，，分别是，边上的中点，与交于点． (1)若，求； (2)求证：； (3)点在线段上（点不与点，点重合），连接并延长到点，连接，若平分四边形的面积．求证：． 【答案】(1)10； (2)分别是边上的中点， 分别是的中线，． 如下图，连接， ，， ． ， ， ； ∴. (3)证明：连接， 是边上的中点， ， ， 平分四边形的面积， ， ， ． 是边上的中点， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）先求出，根据三角形的面积公式可得答案； （2）由三角形面积和中线的性质，先证，再根据中线的性质，证，即可得答案； （3）由三角形面积、三角形的中线、平分四边形的面积，证明，再证，得，再证，得，即可得答案． 【详解】（1）解：是边上的中点， ； （2）略； （3）略． 题型2 用SAS间接证明三角形全等 解题技巧（条件转化凑齐法） 1. 边长间接转化：利用线段公共部分、线段和差、中点定义，推导两组对应边相等； 2. 角度间接转化：利用角平分线、平行线、三角形内角和、外角性质，推导夹角相等； 3. 分步推导：先证边等/角等，再凑齐SAS三组条件，最后判定全等； 4. 适用题型：题干条件不直接给出，需要二次转化的基础证明题。 【典例2】．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 【变式1】．如图，在中，平分，，，，则______． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的意义等知识，构造三角形全等是解题的关键； 在上取点E，使，连接，则由角平分线的性质可证明，从而有，则可得，有，再由即可求解． 【详解】解：如图，在上取点E，使，连接， ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 【变式2】．已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即． 在和中： ， ∴． (2)，且，证明如下： 由（1）得， ∴，． ∴， ∴． 综上，，且． 【分析】（1）因为已知，所以先对该等式同时减去公共线段，推导得到，结合已知的、，用全等判定定理证明． （2）和的关系，先根据全等三角形的性质得到对应边相等，直接确定数量关系；再由全等得到对应角，推导其补角，根据平行线的判定定理确定位置关系． 【详解】（1）略． （2）略． 【变式3】．如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． (1)试说明：≌； (2)判断线段与线段的关系，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，；理由见解析 【分析】（1）先证明，，再进一步证明即可； （2）由，可得，，进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， 在和中， ． ； （2）解：，；理由如下： 由（1）知：， ，， ∴． 题型3 全等的性质和SAS综合 解题技巧（先判后用闭环法） 1. 第一步：通过SAS定理证明两个三角形全等； 2. 第二步：利用全等性质，得出剩余对应边、对应角相等； 3. 第三步：用所得等边角，进一步求解角度、线段长度、证明平行垂直； 4. 核心套路：SAS专攻全等判定，性质专攻结论推导，二者结合解决综合大题。 【典例3】．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，，，，垂足分别为点C、点F，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等式的性质可得出，然后根据证明； （2）根据（1）中得出，然后根据平行线的判定即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】．如图，点、、、在同一条直线上，，，求证：． 【答案】证明：∵， ． ， ， 即． 在和中， ， ． 【详解】略． 【变式2】．如图，在中，，，为线段上一点，过点作，且，连接．求证：． 【答案】证明：，， ， ， 即． 在和中， ， ， ． 【分析】先证明，再证明，即可得证． 【详解】略 【变式3】．解答： (1)如图，已知，以，为边向外作正方形和正方形，连接，，线段与有什么关系？并说明理由． (2)运用（1）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图，需测量池塘两岸相对的，两点间的距离．其中已测得，，请在图中进行设计，画出图形，并描述你的方案，不需证明． 【答案】(1)解：，， 理由：正方形和正方形， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设与相交于O，与相交于M， ∵，， ∴， 综上，，； (2)解：以为边向外作等腰直角三角形（，），连接，由（1）同理可证，则测量的长度即可得出池塘两岸相对的，两点间的距离． 如图， 【分析】（1）证明即可得到，，设与相交于O，与相交于M，根据三角形外角的性质可得出，则可得出； （2）以为边向外作等腰直角三角形，然后利用（1）的结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型4 用ASA证明三角形全等 解题技巧（夹边核心定位法） 1. 找准结构：严格匹配“角-边-角”，中间边必须是两组角的公共夹边； 2. 快速凑条件：平行线得内错角、同位角相等，角平分线得等角，公共边直接用； 3. 书写规范：按角、夹边、角顺序罗列条件，对应关系清晰； 4. 题型适配：角度条件充足、含公共边的基础全等证明题。 【典例4】．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意整理已知条件： 由 ，，可得 ， ∵ ，， 且 恰好是 和 的夹边，恰好是 和 的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据． 【变式1】．数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释正确的是（     ） A．图1，弯曲河道改直是利用了垂线段最短 B．图2，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”是利用了三角形的稳定性 C．图3，体育课测量跳远的成绩是利用了两点之间线段最短 D．图4，一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等的判定方法 【答案】B 【详解】解：A、图1，弯曲河道改直是利用了两点之间线段最短，说法错误，故不符合题意； B、图2，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”是利用了三角形的稳定性，说法正确，故符合题意； C、图3，体育课测量跳远的成绩是利用了点到直线，垂线段最短，说法错误，故不符合题意； D、图4，一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等的判定方法，说法错误，故不符合题意． 【变式2】．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为_____． 【答案】49 【分析】先根据“”证明，可得，，然后根据可得答案． 【详解】解：由题意得，，，， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【变式3】．完成以下问题． (1)如图1，，，与相交于点，求证：； (2)如图2，过线段的两个端点作射线，，使， ①作，的平分线交于点，是什么角？为什么？ ②过点任作一条直线，交于点，交于点．证明：； ③试说明无论的两个端点在，上如何移动，只要经过点，的值就不变． 【答案】(1)证明：∵， ∴，， ∵在和中， ∴． (2)①解：为直角，理由如下： ∵， ∴， 又，分别为、的平分线， ∴， ∴， 即为直角． ②证明：如图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直角， ∴， ∵在和中， ∴， ∴． ③证明：由②中结论可知，， 无论的两端点在、如何移动，只要经过点，则总有，总有， 则恒成立， 的值不变， 故的值不变． 【分析】（1）利用平行线得到两组内错角相等，结合，根据证明两个三角形全等； （2）①根据两直线平行同旁内角互补，结合角平分线，算出，进而判定为直角；②延长交于，先证为等腰三角形，得到，再根据证三角形全等，得到；③根据②的结论得出，等量代换，为定值，故为定值． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 ③略 题型5 全等的性质和ASA综合 解题技巧（角边联动推导法） 1. 条件梳理：利用平行线、垂直、角平分线凑两组等角+一组夹边相等； 2. 判定全等：用ASA完成三角形全等证明； 3. 性质延伸：由全等得对应边角相等，进而求解未知角度、线段，证明线段平行、垂直、相等； 4. 拔高应用：可结合三角形内角和、外角性质，解决多层角度嵌套综合题。 【典例5】．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再证出，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式1】．如图，小丁和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高OM，于F，于E．小丁在自家阳台A处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，已知C，M，D三点共线，与互余，且，，．则办公楼的高度________． 【答案】/11米 【分析】先证明，根据全等三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵与互余， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． ∴． 则办公楼的高度为． 【变式2】．骏骏利用所学知识测量了河两岸A、B两点间的距离（如图）．测量过程如下： ①骏骏在点B所在河岸同侧的平地上选取一点C，连接并延长至点D，使得； ②过点D作交的延长线于点E． 已知图中所有点均在同一平面内．骏骏认为的长就是河两岸A、B两点间的距离，你觉得骏骏的说法正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请写出你的测量方法． 【答案】骏骏的说法正确；理由如下： ， ，， ， ， ， 骏骏的说法正确． 【分析】根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】略 【变式3】．补充完成下列推理过程． 如图，在四边形中，，点在上，连接，．若平分，平分． 求证：． 证明：延长交的延长线于点， ， ．（__________________________） 又平分，平分， ，，（__________________________） ． 在和中， ， ．（__________________） ．（__________________________） 在和中 ，（___________________） ．（________________） ． 【答案】两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；；全等三角形对应边相等；已证； 【分析】根据题目中的每一步推理过程，结合图形填写即可． 【详解】略 题型6 用SSS证明三角形全等 解题技巧（三边齐配秒杀法） 1. 核心思路：无需角度，只需找到三组对应边完全相等； 2. 优先找隐含：公共边为天然相等边，直接复用； 3. 条件罗列：按三组对应边依次书写条件，直接判定SSS全等； 4. 适配场景：题干无角度条件、仅涉及线段相等、中点、线段和差的题型。 【典例6】．如图，以 的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 ；连结 ．由作法可得： 的根据是（     ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【详解】解：由题意可知， 又∵， ∴ ． 【变式1】．如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知，是和的公共边，即．结合全等三角形判定定理、，补充一组对应边相等或两边的夹角相等，即可证明． 【详解】解：由题意可知： 是两个三角形公共边， ， 又已知， 添加条件： 在和中： ， ； 添加条件： 在和中： ， ， 综上，可填：（答案不唯一）． 【变式2】．已知，如图，，，， 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在 和中， ∴ ∴． 【分析】先由“”判定，即可证明． 【详解】略 【变式3】．如图，与相交于点，且，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)与全等吗？为什么？ 【答案】(1)解：，理由如下， 在和中， ， ∴； (2)解：，理由如下， 由得， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】通过“”即可证明； 由得，所以，又，，所以，即，然后通过“”即可证明． 【详解】（1）略； （2）略． 题型7 用SSS间接证明三角形全等 解题技巧（线段和差转化法） 1. 边长转化核心：利用“公共线段+线段和差”推导对应边相等，如AB+BC=DE+EF； 2. 中点条件转化：由中点定义得线段等分，推出对应边相等； 3. 分步逻辑：先证三组对应边间接相等，再用SSS判定全等； 4. 避坑要点：必须保证转化后的边为对应边，杜绝错配边长。 【典例7】．如图，四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质．根据轴对称的性质得出，，根据对应角相等，对应边相等逐项判断即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，点P是直线上的点， ∴，，，，， ∴，， ∴，， 故A，B，D选项正确， 无法判断， 故C选项不正确， 故选：C． 【变式1】．如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为______．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行线的判定及性质、角平分线的性质等知识，能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定和平行线的性质及判定是解题的关键．连接，，结合尺规作图，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，可知，然后根据角平分线的定义，即可获得答案． 【详解】解：连接，，    由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】．如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 【答案】(1)证明见详解 (2)2 【分析】（1）根据已知条件利用线段和差关系得出，进而利用“”证明； （2）由（1）的结论得到，结合已知条件即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】．如图，E为上一点，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）由可证明 （2）由（1）可得，即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ，，， ∴． （2）证明：如图， 由（1）知， 在和中， ，，， ． 题型8 全等的性质和SSS综合 解题技巧（无角判定+边角双用发） 1. 判定环节：依靠三边关系用SSS证全等，摆脱角度条件限制； 2. 性质输出：全等后直接解锁所有对应角、对应边相等； 3. 综合应用：可实现“无边角条件→证全等→得边角结论”的完整推导； 4. 专属优势：适合角度缺失、仅线段条件的几何证明与计算大题。 【典例8】．如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，连接，，下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可解决问题． 【详解】解：由作图可知，，，又， ∴， ∴，即， 故选项A，B，D正确， ∵以点O为圆心，适当长为半径画弧时的半径和以点C为圆心，大于的长为半径画弧时的半径不一定相等， ∴不一定成立，故选项C错误，符合题意． 【变式1】．如图，在中，，，，则________． 【答案】/99度 【分析】先证明，再结合邻补角互补列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， 则， 即．， 【变式2】．如图，D为外部一点，连接，，已知， (1)尺规作图：在内求作一点M，使；（提示：以点A为圆心，为半径画弧；再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接） (2)①通过作图可以得到：______，______； ②判定的依据是______（从、、或中选填）； (3)求． 【答案】(1) (2)①；；② (3) 【分析】（1）根据提示作图即可； （2）①根据题意可得答案；②结合全等三角形的判定可得答案． （3）结合全等三角形的判定可得，在中，，在中，，则可得． 【详解】（1）略； （2）解：①通过作图可以得到：． ②结合作图得， ∵ ∴判定的依据是； （3）解：在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴ ． 【变式3】．小区的便民服务点要搭建一个四边形遮阳棚，其中，点E在棚架上，点F在棚架上，施工时发现，且支撑杆． (1)工人师傅说：“不用测量和，就能知道这两段棚架长度相等．”你同意他的说法吗？请说明理由； (2)已知米，米，搭建该遮阳棚的材料单价为每平方米20元，求搭建这个四边形遮阳棚一共需要花费多少元？ 【答案】(1)同意工人师傅的说法． 理由：连接， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)160元 【分析】（1）连接，先证明，再证明，即可证明结论； （2）由（1）可知，可得米，米，即可求出四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴米，米， ∴（平方米） 总费用：（元）． 答：搭建这个四边形遮阳棚一共需要花费160元． 题型9 用HL证明全等 解题技巧（直角三角形专属速判法） 1. 前提锁定：必须先标注两个三角形为直角三角形，明确直角； 2. 条件匹配：只需找一组斜边+一组直角边对应相等，无需找角； 3. 书写规范：先写Rt△，再罗列斜边、直角边相等条件，最后判定HL全等； 4. 核心优势：直角三角形最简判定方法，步骤少于通用判定定理。 【典例9】．如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件识别出直角三角形及对应的斜边和直角边即可判断三角形全等． 【详解】解：∵于点， ∴， ∴和均为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则可判定，依据是． 【变式1】．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 【答案】 【分析】利用即可证明． 【详解】解：∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则全等的依据是． 【变式2】．如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【分析】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】．如图，在与中，于点．若，求证：． 【答案】证明：， ∴ ∵， ， 在和中， ， ； ∴． 【分析】由，结合，推出，得，确定两个三角形均为直角三角形．利用定理证明．最后根据全等三角形对应边相等，即可解答． 【详解】略 题型10 全等的性质和HL综合 解题技巧（直角全等综合推导法） 1. 锁定模型：遇双直角三角形、直角重叠图形，优先考虑HL判定； 2. 快速判定：找斜边、直角边相等，用HL证全等； 3. 性质延伸：由全等得剩余直角边、锐角对应相等； 4. 综合应用：结合直角互余、平行线性质，求解角度、证明线段平行垂直，搞定直角三角形压轴基础题。 【典例10】．如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】证明，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据“”判定，利用全等三角形对应角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 在中，． 【变式2】．如图，在中，，点D、E分别在的延长线上，连接，若，．求证：． 【答案】证明：， ． 在和中， ， ， ． 【分析】证明，即可证明结论． 【详解】略 【变式3】．已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； (2)解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3)5 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得出结果； （3）作于点，由全等得到，由（1）可知，进而得到，根据线段的和差关系得到，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴. 1．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定在一起，将两根木棒、端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得，之间的距离即内径的长度．判定图中三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点的定义可得两组对应边相等，结合对顶角相等，利用“边角边”即可判定三角形全等． 【详解】解：是，的中点 ， 在和中 判定依据是． 2．图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 【答案】A 【分析】本题考查作图——复杂作图，全等三角形的判定等知识，根据可以判定三角形全等，延长判断即可． 【详解】解：∵可以判定三角形全等， ∴Ⅰ和Ⅱ符合题意． 故选：A． 3．如图，，，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“”证明，从而得到，然后根据三角形外角性质计算的度数即可． 【详解】解：， 即， ， 在和中， ， ， ， 是的一个外角， ． 4．如图，已知点分别在上，，图中添加一个条件后可得，则添加的这个条件不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析条件可知，，根据三角形全等判定条件确定． 【详解】解：根据题意知，， A，，满足，可证全等，不符合题意； B，，则，满足，不符合题意； C，，满足，可证全等，不符合题意； D，，不满足任一判定条件，不能证全等，符合题意． 5．如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】C 【分析】先利用角平分线定义和垂直的性质，通过角角边证明，推出，，再结合已知条件和邻补角通过等量代换求出，然后再通过角角边证明，推出，设根据边长相等列一元一次方程，求出的值即是求出的长度． 【详解】解：过点作的延长线于点，如图所示， ，， ， 平分， ， 在和中，， ． ，． ，， ， 在和中，， ， ． ，设，， ， ， ． 6．如图是“作一个角等于已知角”的尺规作图及其步骤： 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 则下列说法错误的是（     ） A．在作法步骤（2）中，可以得到 B．在作法步骤（3）中，可以得到 C． D．判定的依据是 【答案】C 【详解】解： A、以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则，不符合题意； B、以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点，则，不符合题意； C、题目中没有信息说明，符合题意； D、判定的依据是，不符合题意． 7．如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和等知识，掌握这些知识是关键；由平行线的性质及等腰三角形性质、三角形内角和，可求得，从而判断①；可证明，得，即可判断②；由②的判断可判断③；由得，而，由此即可判断④，从而可确定答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意知，， ∴， 故①正确； 由题意知：，且， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 由②知，， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④错误， 综上，正确的有①②③三个正确， 故选：B． 8．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等得出全等三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：，，， ， ， ， ． 9．如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据垂直定义和平行线性质得出，再由得出，最后结合利用定理即可判定． 【详解】解：， ， ， ， 和都是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ． 10．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据直角边斜边判定，根据对应边相等得到，继而得到． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 11．如图，在的方格纸中，__________ ． 【答案】 【分析】取格点、、、、，证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义和垂直的定义，利用证明，从而得到，即为的中点，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得的面积等于面积的一半； 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 13．木工师傅常用角尺平分一个角，如图①所示．学生小明可用三角尺平分一个角，如图②所示．他们在两边上分别取出，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是________、________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形两种不同判定方式，都实现了角的平分. 【详解】如图①所示，由角尺两边相同刻度分别与，重合，可知， 故在和中， 由 ，得； 如图②所示，由所作垂线可知， 故在和中， 由 ，得. 14．如图，在 中， ，，D，E是边BC上两点，过点A作，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，交于点F，连接 ，其中．下列结论：① ；② ；③若，．则；④．其中正确的是______．（填序号） 【答案】②③/③② 【分析】证明即可判断①，证明，即可得到，即可判断②；根据得到，根据即可判断③；根据得到，由，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴, 但是无法证明， ∴不一定成立； 故①错误； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵ ∴， ∵，， ∴，故④错误； 综上可知，正确的是②③． 15．如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 【答案】、、8 【分析】分当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①当E在线段上时， 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； 若，此时点E和点A重合，不符合题意； ②当E在线段延长线上时， 如图：若， ∴， ∵， ∴； 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴当或或8秒时，与全等． 16．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】根据，得到，利用即可得证. 【详解】略 17．如图，在方格纸内将三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点，解答下列问题． (1)过点C画的平行线； (2)过点C画的垂线，垂足为E； (3)线段的长度是点C到_______的距离； (4)在线段、、中，线段_______最短，理由：_______； (5)在给定方格纸中画出平移后的三角形． 【答案】(1) (2) (3) (4)，垂线段最短 (5) 【分析】（1）直接利用网格得出的平行线； （2）直接利用网格结合垂线的作法得出答案； （3）直接利用点到直线的距离定义得出答案； （4）直接利用垂线段的性质得出答案； （5）直接利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案． 【详解】（1）解：如图，取的中点G，的中点F，连接并延长，使得，连接，即的平行线为所求． （2）解：如图，以为斜边构造， ∴，， 再以点C为顶点构造，使得，，与的交点为E，则的垂线即为所求； 理由：在和中， ， ∴， ∴， 如图，设与的交点为K， 由网格图特征可知，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即． （3）略 （4）略 （5）略 18．如图，已知，点、、在同一条直线上，，且．求证：； 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由平行线的性质得出，由角的和差关系得出，利用即可证明． 【详解】证明：略； 19．如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知，，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． 20．【问题背景】 如图，在和中，点、、在一条直线上，为的中线，点是边上一点，连接，点是线段的中点．已知，． 【问题探究】 (1)如图1，与全等吗？请说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，过点作于点，若，，，，求的长度．（用含、的式子表示） 【答案】(1)全等，理由如下： ∵是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）利用即可证明结论； （2）证明是直角三角形，由是的中线，可得，进而可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 21．如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若，，，求线段的长度． 【答案】(1) 全等，理由如下： 由题意可知，，，， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由两个直角三角形全等的判定定理判定即可； （2）由全等的性质得到长，数形结合表示出求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：由（1）知， ， ，， 线段． 22．已知在四边形中，，． 【问题背景】 (1)如图1，连接，若，，求的长； 【类比探究】 (2)如图2，点，分别在线段，上，满足，探究，，之间的数量关系，并证明； 【拓展应用】 (3)如图3，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为_________． 【答案】(1) (2)．证明如下： 如图，延长到点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． ，， (3) 【分析】（1）根据已知角度关系推出，结合、公共斜边，利用证明两个直角三角形全等，进而得到； （2） 采用截长补短作辅助线，构造全等三角形，先证，再证，通过线段等量代换，推导出； （3） 构造全等三角形，先证，再证，结合四边形内角和与角度转化，推导出与的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略； （3）如图，延长到点，使得，连接， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形的内角和为， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题核心为截长补短构造全等的经典几何模型，通过两次全等完成线段、角度的转化，同时结合四边形内角和进行角度推导，需灵活运用模型变式解题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 三角形全等的判定过程 目录 知识点1 全等判定通用规则与易错禁区 2 知识点2 SSS（边边边）判定定理 2 知识点3 SAS（边角边）判定定理 3 知识点4 ASA（角边角）判定定理 3 知识点5 HL（斜边直角边）判定定理 4 知识点6 全等判定与性质综合逻辑 4 题型1 用SAS证明三角形全等 4 题型2 用SAS间接证明三角形全等 6 题型3 全等的性质和SAS综合 7 题型4 用ASA证明三角形全等 8 题型5 全等的性质和ASA综合 10 题型6 用SSS证明三角形全等 12 题型7 用SSS间接证明三角形全等 13 题型8 全等的性质和SSS综合 14 题型9 用HL证明全等 16 题型10 全等的性质和HL综合 17 1. 知识目标：熟练掌握三角形全等四大核心判定方法（SSS、SAS、ASA、HL）的定理内容、几何语言与适用条件；明确各类判定定理的区别与易错点，牢记SSA不能判定全等；掌握直角三角形专属HL判定定理；理清全等判定与全等性质的联动逻辑，建立完整的全等证明体系。 2. 能力目标：能直接利用SSS、SAS、ASA、HL证明三角形全等；掌握间接找边、找角条件的解题思路，解决隐含条件、线段和差、角度转化类间接证明题型；熟练实现“先判定全等、再用性质解题”的综合应用，规范几何证明步骤书写。 3. 素养目标：建立严谨的几何逻辑推理思想、模型化解题思维，培养识图找隐含条件、条件转化、分步推导的能力，规范几何证明书写格式，攻克八年级几何核心证明大题，为后续几何综合题型筑牢基础。 知识点1 全等判定通用规则与易错禁区 1. 判定核心：证明两个三角形全等，必须找到三组对应相等条件，且满足对应定理要求； 2. 绝对禁区：SSA（边边角）、AAA（角角角）不能判定三角形全等，仅能判定相似； 3. 隐含条件优先：识图优先找公共边、公共角、对顶角、平行线等角、垂直直角，快速凑齐判定条件； 4. 证明逻辑：先找边角条件→判定全等→利用全等性质得边角相等，逻辑不可逆。 知识点2 SSS（边边边）判定定理 1. 定理内容：三边对应相等的两个三角形全等（简记SSS）； 2. 适用场景：题干已知三边相等、通过线段和差可推三边对应相等、无角度条件的题型； 3. 几何语言：在△ABC和△A’B’C’中， ∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）； 4. 核心特征：无需任何角度条件，仅靠边长即可判定，对应三角形稳定性原理。 知识点3 SAS（边角边）判定定理 1. 定理内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记SAS）； 2. 关键核心：必须是两边夹角，绝非边外角（SSA无效）； 3. 几何语言：在△ABC和△A’B’C’中，，∴△ABC≌△A’B’C’（SAS）； 4. 适用场景：已知两组边、一组夹角相等，可直接判定全等。 知识点4 ASA（角边角）判定定理 1. 定理内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记ASA）； 2. 核心要点：角、边、角顺序，边必须是两组角的公共夹边； 3. 几何语言：在△ABC和△A’B’C’中，，∴△ABC≌△A’B’C’（ASA）； 4. 适用场景：题干有两组等角、一组夹边相等，平行线、角平分线题型高频使用。 知识点5 HL（斜边直角边）判定定理 1. 专属范围：仅适用于直角三角形，是直角三角形特有全等判定方法； 2. 定理内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记HL）； 3. 几何语言：在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）； 4. 优势：直角三角形无需找角，两组斜边直角边条件即可判定，简化证明步骤。 知识点6 全等判定与性质综合逻辑 1. 判定全等：通过SSS、SAS、ASA、HL证明三角形全等； 2. 用性质解题：全等后直接得对应边相等、对应角相等，用于计算、二次证明； 3. 综合闭环：找条件→证全等→得等边角→再推导新结论，是几何大题固定解题链条。 题型1 用SAS证明三角形全等 解题技巧（夹角锁定三步法） 1. 精准找条件：锁定两组对应边，重点确认中间夹角为两边夹角，杜绝SSA错误； 2. 优先抓隐含：公共角、对顶角、垂直直角、平行线等角，快速凑齐夹角相等； 3. 规范书写：严格按照“边-角-边”顺序罗列条件，对应顶点顺序一致； 4. 避坑核心：只要不是两边夹角，绝对不能用SAS判定全等。 【典例1】．下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；再以点为圆心，大于的长为半径画弧，分别交，于点，，连接，，则，其全等的依据是________．（填“”或“”或“”或“”）． 【变式2】．如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1)求证：； (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 【变式3】．如图，在中，，分别是，边上的中点，与交于点． (1)若，求； (2)求证：； (3)点在线段上（点不与点，点重合），连接并延长到点，连接，若平分四边形的面积．求证：． 题型2 用SAS间接证明三角形全等 解题技巧（条件转化凑齐法） 1. 边长间接转化：利用线段公共部分、线段和差、中点定义，推导两组对应边相等； 2. 角度间接转化：利用角平分线、平行线、三角形内角和、外角性质，推导夹角相等； 3. 分步推导：先证边等/角等，再凑齐SAS三组条件，最后判定全等； 4. 适用题型：题干条件不直接给出，需要二次转化的基础证明题。 【典例2】．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，平分，，，，则______． 【变式2】．已知：如图，在同一直线上，． (1)求证：； (2)判断线段与满足的数量关系和位置关系，并给出证明． 【变式3】．如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． (1)试说明：≌； (2)判断线段与线段的关系，说明理由． 题型3 全等的性质和SAS综合 解题技巧（先判后用闭环法） 1. 第一步：通过SAS定理证明两个三角形全等； 2. 第二步：利用全等性质，得出剩余对应边、对应角相等； 3. 第三步：用所得等边角，进一步求解角度、线段长度、证明平行垂直； 4. 核心套路：SAS专攻全等判定，性质专攻结论推导，二者结合解决综合大题。 【典例3】．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，，，，垂足分别为点C、点F，．求证： (1)； (2)． 【变式1】．如图，点、、、在同一条直线上，，，求证：． 【变式2】．如图，在中，，，为线段上一点，过点作，且，连接．求证：． 【变式3】．解答： (1)如图，已知，以，为边向外作正方形和正方形，连接，，线段与有什么关系？并说明理由． (2)运用（1）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图，需测量池塘两岸相对的，两点间的距离．其中已测得，，请在图中进行设计，画出图形，并描述你的方案，不需证明． 题型4 用ASA证明三角形全等 解题技巧（夹边核心定位法） 1. 找准结构：严格匹配“角-边-角”，中间边必须是两组角的公共夹边； 2. 快速凑条件：平行线得内错角、同位角相等，角平分线得等角，公共边直接用； 3. 书写规范：按角、夹边、角顺序罗列条件，对应关系清晰； 4. 题型适配：角度条件充足、含公共边的基础全等证明题。 【典例4】．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释正确的是（     ） A．图1，弯曲河道改直是利用了垂线段最短 B．图2，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”是利用了三角形的稳定性 C．图3，体育课测量跳远的成绩是利用了两点之间线段最短 D．图4，一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等的判定方法 【变式2】．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为_____． 【答案】49 【变式3】．完成以下问题． (1)如图1，，，与相交于点，求证：； (2)如图2，过线段的两个端点作射线，，使， ①作，的平分线交于点，是什么角？为什么？ ②过点任作一条直线，交于点，交于点．证明：； ③试说明无论的两个端点在，上如何移动，只要经过点，的值就不变． 题型5 全等的性质和ASA综合 解题技巧（角边联动推导法） 1. 条件梳理：利用平行线、垂直、角平分线凑两组等角+一组夹边相等； 2. 判定全等：用ASA完成三角形全等证明； 3. 性质延伸：由全等得对应边角相等，进而求解未知角度、线段，证明线段平行、垂直、相等； 4. 拔高应用：可结合三角形内角和、外角性质，解决多层角度嵌套综合题。 【典例5】．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，小丁和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高OM，于F，于E．小丁在自家阳台A处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，已知C，M，D三点共线，与互余，且，，．则办公楼的高度________． 【变式2】．骏骏利用所学知识测量了河两岸A、B两点间的距离（如图）．测量过程如下： ①骏骏在点B所在河岸同侧的平地上选取一点C，连接并延长至点D，使得； ②过点D作交的延长线于点E． 已知图中所有点均在同一平面内．骏骏认为的长就是河两岸A、B两点间的距离，你觉得骏骏的说法正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请写出你的测量方法． 【变式3】．补充完成下列推理过程． 如图，在四边形中，，点在上，连接，．若平分，平分． 求证：． 证明：延长交的延长线于点， ， ．（__________________________） 又平分，平分， ，，（__________________________） ． 在和中， ， ．（__________________） ．（__________________________） 在和中 ，（___________________） ．（________________） ． 题型6 用SSS证明三角形全等 解题技巧（三边齐配秒杀法） 1. 核心思路：无需角度，只需找到三组对应边完全相等； 2. 优先找隐含：公共边为天然相等边，直接复用； 3. 条件罗列：按三组对应边依次书写条件，直接判定SSS全等； 4. 适配场景：题干无角度条件、仅涉及线段相等、中点、线段和差的题型。 【典例6】．如图，以 的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点 为圆心，以 长为半径作弧，两弧交于点 ；连结 ．由作法可得： 的根据是（     ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【变式1】．如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 【变式2】．已知，如图，，，， 求证：． 【变式3】．如图，与相交于点，且，． (1)与全等吗？请说明理由． (2)与全等吗？为什么？ 题型7 用SSS间接证明三角形全等 解题技巧（线段和差转化法） 1. 边长转化核心：利用“公共线段+线段和差”推导对应边相等，如AB+BC=DE+EF； 2. 中点条件转化：由中点定义得线段等分，推出对应边相等； 3. 分步逻辑：先证三组对应边间接相等，再用SSS判定全等； 4. 避坑要点：必须保证转化后的边为对应边，杜绝错配边长。 【典例7】．如图，四边形中，对角线所在的直线是其对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为______．    【变式2】．如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 【变式3】．如图，E为上一点，，．求证： (1)； (2)． 题型8 全等的性质和SSS综合 解题技巧（无角判定+边角双用发） 1. 判定环节：依靠三边关系用SSS证全等，摆脱角度条件限制； 2. 性质输出：全等后直接解锁所有对应角、对应边相等； 3. 综合应用：可实现“无边角条件→证全等→得边角结论”的完整推导； 4. 专属优势：适合角度缺失、仅线段条件的几何证明与计算大题。 【典例8】．如图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，连接，，下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，，，则________． 【变式2】．如图，D为外部一点，连接，，已知， (1)尺规作图：在内求作一点M，使；（提示：以点A为圆心，为半径画弧；再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接） (2)①通过作图可以得到：______，______； ②判定的依据是______（从、、或中选填）； (3)求． 【变式3】．小区的便民服务点要搭建一个四边形遮阳棚，其中，点E在棚架上，点F在棚架上，施工时发现，且支撑杆． (1)工人师傅说：“不用测量和，就能知道这两段棚架长度相等．”你同意他的说法吗？请说明理由； (2)已知米，米，搭建该遮阳棚的材料单价为每平方米20元，求搭建这个四边形遮阳棚一共需要花费多少元？ 题型9 用HL证明全等 解题技巧（直角三角形专属速判法） 1. 前提锁定：必须先标注两个三角形为直角三角形，明确直角； 2. 条件匹配：只需找一组斜边+一组直角边对应相等，无需找角； 3. 书写规范：先写Rt△，再罗列斜边、直角边相等条件，最后判定HL全等； 4. 核心优势：直角三角形最简判定方法，步骤少于通用判定定理。 【典例9】．如图，于点O，连接、，若，，则可判定，依据是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 【变式2】．如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【变式3】．如图，在与中，于点．若，求证：． 题型10 全等的性质和HL综合 解题技巧（直角全等综合推导法） 1. 锁定模型：遇双直角三角形、直角重叠图形，优先考虑HL判定； 2. 快速判定：找斜边、直角边相等，用HL证全等； 3. 性质延伸：由全等得剩余直角边、锐角对应相等； 4. 综合应用：结合直角互余、平行线性质，求解角度、证明线段平行垂直，搞定直角三角形压轴基础题。 【典例10】．如图，点在的边的延长线上，过点作，连接，若，，，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【变式1】．如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 【变式2】．如图，在中，，点D、E分别在的延长线上，连接，若，．求证：． 【变式3】．已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 1．化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点固定在一起，将两根木棒、端放入瓶内底部并最大程度分开，根据三角形全等的判定和性质，测得，之间的距离即内径的长度．判定图中三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 2．图中3个三角形都被墨迹污染了，则能用尺规画出和原来完全一样的三角形的是（　　） A．I和II B．只有 C．只有II D．只有 3．如图，，，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知点分别在上，，图中添加一个条件后可得，则添加的这个条件不可能是（     ） A． B． C． D． 5．如图，平分，，于点，，则的长度为（     ） A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm 6．如图是“作一个角等于已知角”的尺规作图及其步骤： 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 则下列说法错误的是（     ） A．在作法步骤（2）中，可以得到 B．在作法步骤（3）中，可以得到 C． D．判定的依据是 7．如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 9．如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 10．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 11．如图，在的方格纸中，__________ ． 12．如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 13．木工师傅常用角尺平分一个角，如图①所示．学生小明可用三角尺平分一个角，如图②所示．他们在两边上分别取出，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是________、________． 14．如图，在 中， ，，D，E是边BC上两点，过点A作，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，交于点F，连接 ，其中．下列结论：① ；② ；③若，．则；④．其中正确的是______．（填序号） 15．如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 16．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 17．如图，在方格纸内将三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点B的对应点，解答下列问题． (1)过点C画的平行线； (2)过点C画的垂线，垂足为E； (3)线段的长度是点C到_______的距离； (4)在线段、、中，线段_______最短，理由：_______； (5)在给定方格纸中画出平移后的三角形． 18．如图，已知，点、、在同一条直线上，，且．求证：； 19．如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 20．【问题背景】 如图，在和中，点、、在一条直线上，为的中线，点是边上一点，连接，点是线段的中点．已知，． 【问题探究】 (1)如图1，与全等吗？请说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，过点作于点，若，，，，求的长度．（用含、的式子表示） 21．如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等． (1)与全等吗？请说明理由． (2)若，，，求线段的长度． 22．已知在四边形中，，． 【问题背景】 (1)如图1，连接，若，，求的长； 【类比探究】 (2)如图2，点，分别在线段，上，满足，探究，，之间的数量关系，并证明； 【拓展应用】 (3)如图3，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为_________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $