2.4 解直角三角形的应用 第1课时 课件 2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

该初中数学课件核心内容为俯角、仰角概念及解直角三角形的实际应用。以天舟十号对接时事导入，引出距离计算问题，通过探险者估算山峰水平距离过渡到概念学习，含对接视频辅助，构建从实际问题到数学抽象的学习支架。 其亮点是以时事和生活实例为载体，培养数学眼光观察现实世界，通过测量东方明珠塔等例题及基本图形总结，发展数学思维（推理、运算）与数学语言（模型表达）。课堂小结用表格梳理概念，助力学生掌握应用方法，为教师提供系统教学资源。

湘教·九年级上册 与俯角、仰角有关的实际问题 新课导入 2026年5月11日8时13分，搭载天舟十号货运飞船的长征七号遥十一运载火箭，在中国文昌航天发射场点火发射，任务取得成功。 5月11日13时11分，成功对接于空间站天和核心舱后向端口。交会对接完成后，天舟十号将转入组合体飞行段。 对接视频 天舟十号与空间站组合体在距离地球表面400km 的轨道上运行.当组合体A运行到地球表面P点的正上方时从中能够看到地球表面最远的点在Q，此时OQ⊥AQ，α为19.8°求组合体距离最远点的距离 (提示：地球半径6371km，sinα≈0.34，cosα ≈0.94 ，tanα ≈0.36，结果保留整数) . A O P Q α A O P Q α 解：因为 PO = 6371km，AP = 400km， 所以 AO=PO+AP=6371+400 = 6771(km) 在Rt△ABC中， 答：组合体距离最远点的距离为2302km. 在在日常生活中，我们经常会碰到一些与直角三角形有关的实际问题.对于这些问题，可用所学的解直角三角形的知识来加以解决. 探究新知 某探险者到达如图2.4-1所示的点 A 处时，他准备估算出到目的地—海拔为 3500m 的山峰顶点 B 处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗？ 思考： A B 图2.4-1 如图2.4-2，BD 表示点 B 的海拔，AE 表示点 A 的海拔，AC⊥BD，垂足为点 C .用仪器先测量出点A 的海拔 AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角的正切就可求出 A，B 两点之间的水平距离 AC. 俯角 仰角 眼睛 A C B D E 图2.4-2 海平面 仰角和俯角 名称 定义 图示 仰角 俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的是俯角 俯角 仰角 眼睛 视线 视线 做一做 如图2.4-2，如果测得点 A 的海拔 AE 为 1 600m， 仰角∠BAC=40°求A，B两点的水平距离 AC (tan40°≈ 0.839 1，结果精确到 1 m). A C B D E 海平面 因为 BD = 3 500m，AE = 1 600m，AC⊥BD，∠BAC = 40°， 所以 在Rt△ABC中， 即 从而 AC ≈ 2 264(m). 因此，A，B两点的水平距离 AC 约为2264 m. A C B D E 海平面 例1：某测量人员准备测量上海东方明珠塔的高 度，他站在塔底部 1 000m 的 A 处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°，仪器距地面的高度 AE 为1.7m．如图2.4-3所示.求上海东方明珠塔的高度BD(tan25°≈ 0.466 3，结果精确到 1 m). 图2.4-3 解 在Rt△ABC中，∠BAC＝25°， AC＝1000 m，因此 又tan25°≈0.466 3， 因此，上海东方明珠塔的高度 BD ≈ 466.3 ＋ 1.7 ＝ 468 (m) ． 答：上海东方明珠塔的高度 BD 约为468 m. 从而 BC ≈ 1 000 ×0.466 3 = 466.3(m) ． 图2.4-3 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般过程 一般过程 图示 (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题) ； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案. 实际问题 数学问题(解直角三角形) 数学问题的解 实际问题的解 抽象 (转化) 求解 得到 得到 解决 随堂诊断 1. 如图，小强想测量楼 CD 的高度，楼在 围墙内，小强只能在围墙外测量.他无法测 得观测点到楼底的距离，于是小强在 A 处 仰望楼顶，测得仰角为37°，再往楼的方 向前进30m 至B处，测得楼顶的仰角为53° (A，B，C 三点在一条直线上)，求楼CD 的高度(小强的身高忽略不计，结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈ 0.60，cos 37°≈ 0.80，tan 37°≈0.75， sin53°≈ 0.80，cos 53°≈ 0.60， tan 53°≈1.33). 解：设楼 CD 的高度为 x m. 依题意得，有∠DAC=37°， ∠DBC=53°， 在Rt△ACD中， 因为AB = AC－BC 解得 x = 51.6 答：楼 CD 的高度为51.6m. 2. 如图，测角仪 CD 竖直放在距建筑物 AB 底部 5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为_______米.(结果精确到0.1，参考数据：sin50°≈ 0.77，cos 50°≈ 0.64，tan 50°≈1.19). 解：如图过点D作DE⊥AB，垂足为E. 则DE = BC = 5m， BE = DE = 1.5m， 在Rt△ADE中， 所以 AB=AE+BE≈5.95+1.5 ≈ 7.5 (m) A B D C 5m 50° E 7.5 实际问题中常见的基本图形及相应的关系 图形 关系式 图形 关系式 AC = BC·tanα AG = AC+BE AC = BC·tanα AG = AC－BE BC= CD－BD=AD·(tanα－tanβ) 1.如图，一艘游船在离开码头 A 后，以与和河岸成 30°角的方向行驶了 500m 到达 B 处，求 B 处与河岸的距离 BC. 练习 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=500m. 从而BC = 500×sin30°= 250(m). 答：B处与河岸的距离 BC 为 250 m． 2. 某厂家新开发的一种电动车，其大灯 A 射出 的光线 AB，AC 与地面 MN 所成的夹角∠ABN， ∠ACN 分别为8°和15°，大灯 A 与地面的距离为 1m，如图所示，求该车大灯照亮地面的宽度 BC (tan 8°≈ 0.14，tan 15°≈ 0.27，不考虑其他因素，结果精确到0.1m) ． 解：作AD⊥MN，垂足于D. D 如图，在Rt△ABD中，∠ABD =8°，AD =1m， 因此 从而 同理 CD ≈3.70 m. 所以 BC = BD-CD ≈ 3.4(m). 答:该车大灯照亮地面的宽度 BC 为3.4m. 3.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼 顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)？ 解析：在Rt△ABD中，α=30°，AD=120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC. 解：如图，α=30°，β=60°，AD=120m. 因为 所以BD=AD·tanα=120×tan30°= CD=AD·tanβ = 120×tan60° 所以 BC=BD+CD 答：这栋高楼约高277.1m. 4.如图，在离树 BC 12米的 A 处，用测角仪测得 树顶的仰角是30°，测角仪AD高为1.5米，求树高BC．(计算结果可保留根号) 分析：本题可以通过过点D作DE⊥BC于E，把求CB的问题转化求BE的长，从而可以在△BDE中利用三角函数. 解：过点D作DE⊥BC于E，则四边形DECA是矩形， 所以 DE=AC=12 m．CE = AD =1.5 m． 在Rt△BED中，∠BDE=30°， 所以 BE=DE·tan30°= 所以 BC=BE+EC= 答：树高BC为 课堂小结 仰角和俯角 名称 定义 图示 仰角 俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的是俯角 俯角 仰角 眼睛 视线 视线 $