课时规范练68　离散型随机变量及其分布列、数字特征-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦离散型随机变量分布列及数字特征，以考点分层训练构建知识逻辑链，强化概念应用与实际决策能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例对点练|3考点（选择+解答）|分布列性质判断、实际情境分布列构建及期望方差计算、基于均值方差的决策分析|从分布列性质（概率和为1）到数字特征（期望、方差）计算，再到实际决策（比较期望与稳定性），形成“概念-计算-应用”递进逻辑| |素能综合练|4题|分布列参数求解、期望实际应用、方差性质应用|综合考查分布列与数字特征的关联，强化数学思维的推理与数学语言的表达|

课时规范练68　离散型随机变量及其分布列、数字特征 典例对点练 考点一　离散型随机变量分布列的性质 1.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为 X -1 0 1 2 3 P 则下列各式正确的是(　　) A.P(X=1.5)=0 B.P(X>-1)= C.P(0≤X<2)= D.P(X<0)=0 2.(多选题)已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.4 0.2 a 则(　　) A.E(X)=1 B.E(2X-1)=1 C.D(X)=0.8 D.D(2X-1)=0.6 考点二　离散型随机变量的分布列及数字特征 3.元旦班级联欢晚会上,某班设计了一个摸球表演节目的游戏:在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个,这些球除颜色外完全相同,同学不放回地每次摸出1个球,若摸到黑球,则停止摸球,否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演2个节目,摸到白球或黄球表演1个节目,摸到黑球不用表演节目. (1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率; (2)记X为a同学摸球后表演节目的个数,求随机变量X的分布列和数学期望、方差. 考点三　均值与方差中的决策问题 4.对某地区过去20年的年降水量(单位:毫米)进行统计,得到以下数据: 887　939　643　996　715　838　1 082　923　901　1 182　1 035　863　772　943　1 035 1 022　855　1 118　768　809 将年降水量处于799毫米及以下、800至999毫米、1 000毫米及以上分别指定为降水量偏少、适中、偏多三个等级. (1)用频率估计概率,分别计算该地区过去20年的年降水量偏少、适中、偏多的概率; (2)根据经验,种植甲、乙、丙三种农作物在年降水量偏少、适中、偏多的情况下可产出的年利润(单位:千元/公顷)如下表所示.你认为这三种作物中,哪一种最适合在该地区推广种植?请说明理由. 作物种类 年降水量 偏少 适中 偏多 甲 8 12 8 乙 12 10 7 丙 7 10 12 素能综合练 5.已知离散型随机变量X的分布列如表所示,则常数c为(　　) X 0 1 P 9c2-c 3-8c A. B. C. D. 6.一台机器生产某种产品,如果生产出一件甲等品可获利50元,生产出一件乙等品可获利30元,生产一件次品,要赔20元,已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1,则这台机器每生产一件产品,平均预期可获利的钱数为(　　) A.36 B.37 C.38 D.39 7.随机变量X的分布列如下表所示,若E(X)为X的数学期望,则E(X-E(X))=　　　　　.  X 1 2 3 4 5 P 0.1 a 0.2 0.3 0.1 8.随机变量X的取值范围为{0,1,2},若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=　　　　　.  参考答案 课时规范练68　离散型随机变量及其分布列、数字特征 1.AB　解析 ∵事件“X=1.5”不存在, ∴P(X=1.5)=0,故A正确; ∵P(X>-1)=1-P(X=-1)=,故B正确; ∵P(0≤X<2)=P(X=0)+P(X=1)=,P(X<0)=P(X=-1)=,故C,D均不正确.故选AB. 2.ABC　解析 对于A,B,由题意知,a=1-0.4-0.2=0.4,所以E(X)=0×0.4+1×0.2+2×0.4=1,所以E(2X-1)=2E(X)-1=2×1-1=1,故A,B正确;对于C,D,D(X)=0.4×(0-1)2+0.2×(1-1)2+0.4×(2-1)2=0.8,D(2X-1)=22D(X)=4×0.8=3.2≠0.6,故C正确,D错误.故选ABC. 3.解 (1)设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E,则P(E)=,故a同学摸球三次后停止摸球的概率为. (2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4. P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2,D(X)=(0-2)2×+(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×. 4.解 (1)将20年的年降水量按照降水量等级分类,可知降水量偏少的年份有4年,概率可估计为=0.2;降水量适中的年份有10年,概率可估计为=0.5;降水量偏多的年份有6年,概率可估计为=0.3.于是该地区年降水量偏少、适中、偏多的概率分别为0.2,0.5,0.3. (2)设种植农作物甲、乙、丙一年后每公顷地获得利润分别是随机变量X,Y,Z. X的分布列为 X 8 12 P 0.5 0.5 种植甲种农作物,则每公顷地获利的期望E(X)=8×0.5+12×0.5=10. Y的分布列为 Y 12 10 7 P 0.2 0.5 0.3 种植乙种农作物,则每公顷地获利的期望E(Y)=12×0.2+10×0.5+7×0.3=9.5. Z 7 10 12 P 0.2 0.5 0.3 种植丙种农作物,则每公顷地获利的期望E(Z)=7×0.2+10×0.5+12×0.3=10. 所以E(Y)<E(X)=E(Z),即种植甲、丙两种农作物获利的期望值比乙更高,不考虑推广乙. 又D(X)=0.5×(8-10)2+0.5×(12-10)2=4,D(Z)=0.2×(7-10)2+0.5×(10-10)2+0.3×(12-10)2=3,D(X)>D(Z),故种植丙种农作物时获利的稳定性更好,因此,农作物丙最适合在该地区推广种植. 5.A　解析 由题意,得 解得c=.故选A. 6.B　解析 设这台机器每生产一件产品可获利X,则X的可能取值为50,30,-20,所以X的分布列为P(X=50)=0.6,P(X=30)=0.3,P(X=-20)=0.1,所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利的钱数为50×0.6+30×0.3-20×0.1=37. 7.0　解析 由题可得,0.1+a+0.2+0.3+0.1=1,解得a=0.3,所以E(X)=1×0.1+2×0.3+3×0.2+4×0.3+5×0.1=3,所以E(X-E(X))=E(X-3)=E(X)-3=0. 8.　解析 设P(X=1)=p,P(X=2)=q,由题意得,E(X)=0×+p+2q=1,且+p+q=1,解得p=,q=, 所以D(X)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2=. 1 学科网（北京）股份有限公司 $