2027届高三一轮复习试题 数学 规范练68 离散型随机变量及其分布列、数字特征

**基本信息** 聚焦离散型随机变量分布列、期望与方差，通过基础巩固与综合提升分层训练，结合实际情境培养数学建模与数据分析能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|6题（如1-5题）|考查分布列性质、期望计算，强调概率和为1等基本概念|从分布列定义到期望公式推导，构建“概念-性质-计算”逻辑链| |综合提升练|8题（如7-14题）|结合实际情境（猜歌、保险、考试），涉及多变量建模与期望方差比较|拓展至应用场景，体现“模型构建-数据处理-决策分析”的数学思维过程|

课时规范练68　离散型随机变量及其分布列、数字特征 (分值:111分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础巩固练 1.已知离散型随机变量X的分布列如表所示,则常数c为(　　) X 0 1 P 9c2-c 3-8c A. B. C. D. 2.已知随机变量X的分布列如下表所示,则P(|2X-3|<3)=(　　) X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A. B. C. D. 3.一台机器生产某种产品,如果生产出一件甲等品可获利50元,生产出一件乙等品可获利30元,生产一件次品,要赔20元,已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1,则这台机器每生产一件产品,平均预期可获利的钱数为(　　) A.36 B.37 C.38 D.39 4.随机变量X的分布列如下表所示,若E(X)为X的数学期望,则E(X-E(X))=　　　　　.  X 1 2 3 4 5 P 0.1 a 0.2 0.3 0.1 5.随机变量X的取值范围为{0,1,2},若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=　　　　　.  6.(15分)(2024·九省适应性测试,16)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个,随机一次取出3个小球. (1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率; (2)记取出的3个小球上的最小数字为X,求X的分布列及数学期望E(X). 综合提升练 7.(2025·河北邯郸期中)一袋子里有大小、形状完全相同的3个红球,2个白球,1个黄球,现从袋子里这6个球中随机摸球,每次摸一球,不放回,摸到红球就结束摸球,X表示摸球次数,则X的数学期望E(X)=(　　) A. B. C. D. 8.(多选题)某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲M,N,O歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金分别是:猜对歌曲M的概率为0.8,可获公益基金1千元;猜对歌曲N的概率为0.5,可获公益基金2千元;猜对歌曲O的概率为0.5,可获公益基金3千元.规则如下:按照M,N,O的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首,记嘉宾获得的公益基金总额为X千元,则(　　) A.P(X=3)=0.4 B.E(2X+1)=5.4 C.D(2X+1)=18.24 D.获得公益基金总额的期望值与猜歌顺序无关 9.据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,交保险费100元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a>1 000),为确保保险公司获益,则a的取值范围是　　　　　　　.  10.已知x,y,z∈N*,且x+y+z=6,记随机变量X为x,y,z中的最小值,则E(X)=　　　　.  11.(2025·全国1,14)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球,记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望E(X)=　　　　　.  12.(15分)(2025·北京,18)有一道选择题考查了一个知识点.甲、乙两校各随机抽取100人,甲校有80人答对,乙校有75人答对,用频率估计概率. (1)从甲校随机抽取1人,求这个人做对该题目的概率; (2)从甲、乙两校各随机抽取1人,设X为做对的人数,求恰有1人做对的概率以及X的数学期望; (3)若甲校同学掌握这个知识点,则有100%的概率做对该题目,乙校同学掌握这个知识点,则有85%的概率做对该题目,未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个,设甲校学生掌握该知识点的概率为p1,乙校学生掌握该知识点的概率为p2,试比较p1与p2的大小(结论不要求证明). 13.(15分)某校举行知识竞赛,最后一个名额要在A,B两名同学中产生,测试方案如下:A,B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答,在这4个问题中,已知A能正确作答其中的3个,B正确作答每个问题的概率都是,A,B两名同学作答问题相互独立. (1)求A,B两名同学恰好共答对2个问题的概率; (2)若让你投票决定参赛选手,你会选择哪名学生?简要说明理由. 14.(15分)(2025·山东威海模拟)某考试中的多选题,每题有4个选项,其中有2个或3个正确选项,全部选出正确选项得6分.若正确选项是2个,只选对1个得3分,有选错的得0分;若正确选项是3个,只选对1个得2分,只选对2个得4分,有选错的得0分.若多选题正确选项是2个的概率为p(0<p<1),正确选项是3个的概率为1-p.某学生完全不会做其中的一道题,对于这道题,他随机地进行填涂. (1)若他只随机选择1个选项,求他的得分X的分布列与数学期望; (2)若他随机选择2个选项,求他的得分Y的分布列与数学期望; (3)若p=,该同学随机选择1个选项还是随机选择2个选项,能使得分更好? 参考答案 课时规范练68　离散型随机变量及其分布列、数字特征 1.A　解析 由题意,得 解得c=.故选A. 2.C　解析 由题得0.1+m+0.3+0.2=1,则m=0.4,故P(|2X-3|<3)=P(0<X<3)=P(X=1)+P(X=2)=0.5.故选C. 3.B　解析 设这台机器每生产一件产品可获利X,则X的可能取值为50,30,-20,所以X的分布列为P(X=50)=0.6,P(X=30)=0.3,P(X=-20)=0.1,所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利的钱数为50×0.6+30×0.3-20×0.1=37. 4.0　解析 由题可得,0.1+a+0.2+0.3+0.1=1,解得a=0.3,所以E(X)=1×0.1+2×0.3+3×0.2+4×0.3+5×0.1=3,所以E(X-E(X))=E(X-3)=E(X)-3=0. 5.　解析 设P(X=1)=p,P(X=2)=q,由题意得,E(X)=0×+p+2q=1,且+p+q=1,解得p=,q=, 所以D(X)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2=. 6.解 (1)记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M,先确定3个不同数字的小球,有种情况,然后每种小球各取1个,有种取法, 所以P(M)=. (2)由题意可知,X的可能取值为1,2,3, 当X=1时,有两种情况:只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球, 所以P(X=1)=; 当X=2时,有两种情况:只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球,所以P(X=2)=; 当X=3时,有两种情况:只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球, 所以P(X=3)=, 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)=1×+2×+3×. 7.A　解析 由题可得,X=1,2,3,4,则P(X=1)=; P(X=2)=; P(X=3)=; P(X=4)=×1=. 所以E(X)=1×+2×+3×+4×. 故选A. 8.BC　解析 由题意,可分别用A,B,C表示猜对三首歌曲M,N,O歌名的事件,则A,B,C相互独立,按照M,N,O的顺序猜,则X的可能取值为0,1,3,6,则P(X=0)=P()=0.2,P(X=1)=P(A)=0.8×0.5=0.4,P(X=3)=P(AB)=0.8×0.5×0.5=0.2,P(X=6)=P(ABC)=0.8×0.5×0.5=0.2,则E(X)=0×0.2+1×0.4+3×0.2+6×0.2=2.2,D(X)=(0-2.2)2×0.2+(1-2.2)2×0.4+(3-2.2)2×0.2+(6-2.2)2×0.2=4.56,故E(2X+1)=2×2.2+1=5.4,D(2X+1)=4×4.56=18.24,故A错误,B,C正确;假设按照M,O,N的顺序猜,设Y表示此时获得的公益基金总额,可能的取值为0,1,4,6,则P(Y=0)=P()=0.2,P(Y=1)=P(A)=0.8×0.5=0.4,P(Y=4)=P(AC)=0.8×0.5×0.5=0.2,P(Y=6)=P(ABC)=0.8×0.5×0.5=0.2,则E(Y)=0×0.2+1×0.4+4×0.2+6×0.2=2.4.与按照M,N,O的顺序猜歌名获得公益基金总额的期望值不同,故D错误.故选BC. 9.(1 000,20 000)　解析 设保险公司的收益为X,则X的可能取值为100,100-a(a>1 000),由已知P(X=100)=0.995,P(X=100-a)=0.005,所以随机变量X的分布列为 X 100 100-a P 0.995 0.005 所以E(X)=100×0.995+(100-a)·0.005=100-0.005a. 令100-0.005a>0,解得a<20 000,故1 000<a<20 000, 所以为确保保险公司有可能获益,a的取值范围是(1 000,20 000). 10.　解析 x,y,z∈N*,且x+y+z=6,则所有情况有(1,1,4),(1,2,3),(1,4,1),(4,1,1),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(1,3,2),(2,2,2),共10种,故X的可能取值为1,2,其中X=2时,只有(2,2,2)一种情况,故P(X=2)=,则P(X=1)=,所以E(X)=1×+2×. 11.　解析 由题意X=1,2,3,P(X=1)=; P(X=2)=×()2×; P(X=3)=×()3=. 故E(X)=×1+×2+×3=. 12.解 (1)从甲校随机抽取100人,其中有80人答对,用频率估计概率,设从甲校随机抽取1人,这个人做对该题目为事件A,则P(A)=. (2)设乙校中随机抽取1人,这个人做对该题目为事件B,则P(B)=,由(1)知P(A)=. ∴从甲、乙两校各随机抽取1人,恰有1人做对的概率为P(X=1)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=. X的可能取值为0,1,2, P(X=0)=(1-)×(1-)=,P(X=1)=,P(X=2)=. ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴E(X)=0×+1×+2×. (3)由题意可知,p1×100%+(1-p1)×,解得p1=,p2×85%+(1-p2)×,解得p2=,∴p2>p1. 13.解 (1)设A同学答对的题数为X,则随机变量X的所有可能取值为2,3, 则P(X=2)=, P(X=3)=. 设B同学答对的题数为Y,则随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,3, 则P(Y=0)=()3=, P(Y=1)=×()2=, P(Y=2)=×()2×, P(Y=3)=()3=. 所以A,B两名同学恰好共答对2个问题的概率为P(X=2)P(Y=0)=. (2)由(1)知,E(X)=2×+3×, E(Y)=0×+1×+2×+3×, D(X)=(2-)2×+(3-)2×, D(Y)=(0-)2×+(1-)2×+(2-)2×+(3-)2×. 因为E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),所以应该选择学生A. 14.解 (1)X=0,2,3, P(X=0)=p+(1-p)p, P(X=2)=(1-p)p, P(X=3)=pp, 所以X的分布列为 X 0 2 3 P p p p 从而E(X)=0×(p)+2×(p)+3×p=. (2)Y=0,4,6, P(Y=0)=p(1-)+(1-p)p, P(Y=4)=(1-p)p, P(Y=6)=pp, 所以Y的分布列为 Y 0 4 6 P p p p 从而E(Y)=0×(p)+4×(p)+6×p=2-p. (3)当p=时,E(X)=,E(Y)=,E(Y)<E(X),所以该同学随机选择1个选项能使得分更好. 学科网（北京）股份有限公司 $