课时作业77 离散型随机变量及其分布列、数字特征-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦离散型随机变量核心概念与应用，通过阶梯式题型构建“概念-性质-计算-应用”逻辑链，强化数学思维与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|多选5题|判断离散型随机变量|从具体情境抽象概念，明确取值可列性| |分布列性质|单选2、3、4题|利用概率和为1求参数|基于分布列基本性质推导参数关系| |数字特征计算|填空7、8题|期望、方差及标准差计算|通过分布列数据推导数字特征公式应用| |综合应用|解答题9、10题|分布列构建与决策分析|结合实际问题建立模型，体现数据观念与应用意识|

课时作业(七十七)　离散型随机变量及其分布列、数字特征 一、单项选择题 1．在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是(　　) A．8 B．10 C．12 D．14 2．(2025·南京期末)若随机变量ξ的分布列如下表： ξ －2 －1 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则P(|ξ|＜2)的值为(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 3．(2026·大庆模拟)随机变量X的分布列如表，则方差D(X)＝(　　) X 0 1 2 P a 3a A． B． C． D． 4．(2025·惠州期末)已知离散型随机变量X的分布列如表： X 0 1 2 3 P a 5a 若离散型随机变量Y＝2X＋1，则E(Y)＝(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题 5．(2025·西安市长安区校级月考)下列随机变量中属于离散型随机变量的是(　　) A．高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X B．测量一个年级所有学生的体重，在60 kg～70 kg范围内的体重记为X C．测量全校所有同学的身高，在170 cm～175 cm范围内的人数记为X D．某电子元件的寿命X 6．(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　) A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4 C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2 三、填空题 7．(人教A版选择性必修第三册P71习题7.3T2)现要发行10 000 张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1 000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1 000元的彩票5张．1张彩票中奖金额的均值是________元． 8．(2026·上海模拟)某公司有日生产件数为95件的“生产能手”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和X的标准差为________． 四、解答题 9．(13分)(2025·天津滨海新区期末)甲同学参加数学、物理2门课程的考试，假设甲同学在这2门课程考试中取得优秀成绩的概率分别是，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立． (1)求甲同学2门课程均未取得优秀成绩的概率； (2)求甲同学取得优秀成绩的课程数X的分布列及均值． 10．(15分)某投资公司准备在2026年年初将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为和． 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 课时作业(七十七) 1．C　[选手甲在三次中距离投篮中可能都不中，得0分，中一次，得2分，中两次，得4分，中三次，得6分，故总得分ξ的所有可能取值为0，2，4，6，所以总得分ξ的所有可能取值的和为12．] 2．B　[由离散型随机变量ξ的分布列的性质，得0.2＋0.1＋2m＋0.25＋m＝1， ∴3m＝0.45，解得m＝0.15， ∴P(|ξ|<2)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝0.1＋2m＝0.1＋2×0.15＝0.4． 故选B．] 3．C　[因为a＋＋3a＝1，所以a＝， 所以E(X)＝0×＋1×＋2×， 则D(X)＝×××． 故选C．] 4．C　[根据离散型随机变量概率分布列的性质可得概率和为1，即a＋＋5a＋＝1，解得a＝． 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×， 又因为离散型随机变量Y＝2X＋1， 所以E(Y)＝2E(X)＋1， 即E(Y)＝2×＋1＝． 故选C．] 5．AC　[半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，选项A正确； 体重无法一一列举，选项B错误； 人数可以列举，选项C正确； 某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，选项D错误． 故选AC．] 6．ACD　[由离散型随机变量X的分布列的性质得： q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1， E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2， D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8， ∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1， ∴E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2．故选ACD．] 7.2　[由题意，设X表示1张彩票中奖的金额，则P(X＝2)＝＝0.1，P(X＝10)＝＝0.03，P(X＝50)＝＝0.01， P(X＝100)＝＝0.005， P(X＝1 000)＝＝0.000 5， P(X＝0)＝1－(0.1＋0.03＋0.01＋0.005＋0.000 5)＝0.854 5，所以X的分布列为 X 0 2 10 50 100 1 000 P 0.854 5 0.1 0.03 0.01 0.005 0.000 5 所以E(X)＝0×0.854 5＋2×0.1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0.005＋1 000×0.000 5＝2，即1张彩票中奖金额的均值是2元．] 8.24　[由题意，可得X的所有可能取值为190，150，110， P(X＝190)＝，P(X＝150)＝，P(X＝110)＝， 所以E(X)＝190×＋150×＋110×＝158， 所以标准差为 ＝24．] 9．解：(1)根据题意，可得甲同学2门课程均未取得优秀成绩的概率为×． (2)根据题意，可得X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝， P(X＝1)＝××， P(X＝2)＝×， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×． 10．解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150．则X1的分布列为 X1 300 －150 P ∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元)， D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000． 若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，－300，0．则X2的分布列为 X2 500 －300 0 P ∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)， D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000． ∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $