专题06 等腰三角形 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题06 等腰三角形 暑假预习讲义 ✺知识框架 等腰三角形定义：掌握等腰三角形、腰、底边、顶角、底角的概念，识别图形基本要素。 等腰三角形性质：掌握“等边对等角”“三线合一”两大必考性质，理解轴对称特征。 等腰三角形判定：掌握定义判定、“等角对等边”两种判定方法，用于证明三角形为等腰三角形。 特殊等腰三角形（含等边三角形）：了解等腰直角三角形、等边三角形的定义与专属性质，完善特殊三角形知识体系。 基础题型：掌握等腰三角形角度计算、线段证明的基础思路。 ✺学习目标 1.基础知识 掌握等腰三角形的定义、各部分名称及轴对称特征。 熟记等腰三角形的核心性质，明确其适用场景。 掌握等腰三角形的判定方法，区分性质与判定的逻辑关系。 掌握等腰直角三角形、等边三角形的核心性质与角度规律，会基础计算。 2. 能力提升 能准确辨析等腰三角形各组成部分，规范运用几何概念。 会利用“等边对等角”进行三角形边角计算。 熟练运用“三线合一”完成线段、角度、垂直的几何证明。 能灵活选用定理判定等腰三角形，具备基础几何推理能力。 3.综合素养 建立数形结合、边角转化的几何思维，形成严谨的推理逻辑。 能运用等腰、等边三角形性质解题，养成分类讨论的严谨解题习惯。 ✺题型归纳 题型1.等边对等角 题型2.三线合一 题型3.根据等角对等边证明等腰三角形 题型4.根据等角对等边证明边相等 题型5.根据等角对等边求边长 题型6.含30度角的直角三角形 题型7.格点图中画等腰三角形 题型8.找出图中的等腰三角形 题型9.求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型10.等腰三角形的性质和判定 题型11.等边三角形的性质 题型12.等边三角形的判定 题型13.等边三角形的判定和性质 题型14.大（小）边对大（小）角定理 题型15.最短路径问题 题型16.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、等腰三角形的定义与基本概念 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2.各部分名称 腰：等腰三角形中相等的两条边；底边：等腰三角形中不相等的第三条边； 顶角：两腰的夹角；底角：腰与底边的夹角（两个底角）。 3.基础特征 等腰三角形是轴对称图形，仅有1条对称轴，对称轴为底边上的高、底边上的中线、顶角平分线所在的同一条直线。 知识点二、等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等。简写成“等边对等角” 几何语言：若在△ABC中，AB=AC，则∠B=∠C。 关键提醒：等腰三角形的两个底角一定是锐角，顶角可以为锐角、直角或钝角， 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简写成“三线合一” 几何语言：①∵AB=AC,∠1=∠2.∴AD⊥BC或BD=DC ②∵AB=AC，AD⊥BC∴∠1=∠2或BD=DC ③∵AB=AC，BD=DC.∴∠1=∠2或AD⊥BC 知识点三、等腰三角形的判定方法 1.定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2.判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，该三角形为等腰三角形。简写成“等角对等边” 几何语言：若在△ABC中，∠B=∠C，则AB=AC。 易错提醒：“等边对等角”“等角对等边”两大定理，仅限同一个三角形内部使用。 知识点四、等腰直角三角形 1.定义：顶角为90°的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。如下图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC 2.核心特征： 两条腰相等，顶角为90°；即 AB=AC,∠A=90° 两个底角相等，均为45°； 即∠B=∠C=45° 完全具备等腰三角形的所有性质，满足三线合一。 知识点五、等边三角形 1.定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。 ▲等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的全部性质。 2.等边三角形的性质 ◉三条边全部相等； ◉三个内角全部相等，且每一个角都等于60°； ◉是轴对称图形，共有3条对称轴； ◉全能三线合一：三条边上的中线、高、对应内角平分线均相互重合，三边都满足三线合一。 3. 等边三角形三种判定方法 判定1：三条边都相等的三角形是等边三角形； 判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形； 判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 重要推论：只要等腰三角形中有一个内角为60°（无论顶角或底角），该三角形即为等边三角形。 4. 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 如上图，在Rt△ABC中，∠A=30°,则BC=AB. ✺题型精讲 题型1.等边对等角 1．若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，直线分别与边交于点D，E，则的度数是_________． 3．如图，点在同一条直线上，与交于点，若，，，试说明：． 题型2.三线合一 1．工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 2．如图，在中，，，若，则的长为________． 3．如图，在中，，于点D，E为上一点，且，连接．若，求的度数． 题型3.根据等角对等边证明等腰三角形 1．一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 2．如图，中，、分别平分、，，，，则的周长_________． 3．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点．求证：是等腰三角形． 题型4.根据等角对等边证明边相等 1．如图，在中，，D为的中点，下列结论不一定成立的是（   ） A． B．C．D． 2．在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 3．如图，点C，D在上，，，，，相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 题型5.根据等角对等边求边长 1．如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的平分线交于点，交于点．如果，，那么_________． 3．如图，在四边形中，，点E在边上，连接、，，．求证：． 题型6.含30度角的直角三角形 1．在中，，，，则的长等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，在中，于点，，则的长为__________． 3．在中，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 题型7.格点图中画等腰三角形 1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点C有（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 3．在网格中，网格线的交点称为格点．已知O，A是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么满足条件的P点请在图中找出． 题型8.找出图中的等腰三角形 1．如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    3．如图，在中，，点在上，且， (1)请直接写出图中所有的等腰三角形； (2)求的度数． 题型9.求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1．在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在y轴上确定点P，使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作____________个． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于x轴对称的，并直接写出点的坐标 ； (2)在坐标轴上找一点Q，使与全等，请直接写出一个符合条件的点Q的坐标 ； (3)点F在y轴上，且为等腰三角形，满足条件的点F有 个． 题型10.等腰三角形的性质和判定 1．如图，在中，，，垂足为，且，若，则的长为（     ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 2．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为_______________ 3．如图中，，点，，分别是，，上的点，． (1)若，求证：； (2)若，，，求的长； (3)把（1）中的条件和结论反过来，即：若，则．这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 题型11.等边三角形的性质 1．如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．3 C．6 D．12 2．请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点是等边三角形内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别是，，，若，则的值为________． 3．如图，是的高，点是的中点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 题型12.等边三角形的判定 1．下列条件中，不一定是等边三角形的是（ ） A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个外角相等的等腰三角形 D．三边都相等的三角形 2．如图，括号内可填：________（填一个条件即可）． 3．如图，在中，为边上一点，，过点作于点，，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若点是的中点，求证：是等边三角形． 题型13.等边三角形的判定和性质 1．如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在等边中，于点D，点P、Q分别为、上，，，在上有一动点E使最短，则的最小值为______． 3．如图，是等边三角形，点是内的一点，连接，点是上的一点，连接，连接并延长，交于点，若．求证：是等边三角形． 题型14.大（小）边对大（小）角定理 1．在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．在，已知，，那么___________．(填“”“”或“”) 3．如图，已知：在中，，、是边上的两个三等分点．求证：． 题型15.最短路径问题 1．如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若，，则的周长最小值是______． 3．如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） ✺巩固测试 一、单选题 1．已知一个等腰三角形的顶角为，则它的底角的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 4．如图，现有一张三角形纸片，其中，为上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处，且折叠后得到的三角形是等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 6．在中，，则________．（填“”、“”或“”） 7．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 8．如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为________． 9．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长为______ ． 10．如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则__________． 三、解答题 11．如图，在中，，点D，E在边上，且． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 12．如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 13．如图，在中，点D在边上，下面两个问题中请你选择一个加以证明(写出推理过程)． (1)求证：； (2)若， 试比较与的大小． 解：我选择的是 (填序号) 证明： 14．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ (1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________． (2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值． (3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由． 15．如图，在中，，垂直平分，分别交，于点，，且满足． (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 等腰三角形 暑假预习讲义 ✺知识框架 等腰三角形定义：掌握等腰三角形、腰、底边、顶角、底角的概念，识别图形基本要素。 等腰三角形性质：掌握“等边对等角”“三线合一”两大必考性质，理解轴对称特征。 等腰三角形判定：掌握定义判定、“等角对等边”两种判定方法，用于证明三角形为等腰三角形。 特殊等腰三角形（含等边三角形）：了解等腰直角三角形、等边三角形的定义与专属性质，完善特殊三角形知识体系。 基础题型：掌握等腰三角形角度计算、线段证明的基础思路。 ✺学习目标 1.基础知识 掌握等腰三角形的定义、各部分名称及轴对称特征。 熟记等腰三角形的核心性质，明确其适用场景。 掌握等腰三角形的判定方法，区分性质与判定的逻辑关系。 掌握等腰直角三角形、等边三角形的核心性质与角度规律，会基础计算。 2. 能力提升 能准确辨析等腰三角形各组成部分，规范运用几何概念。 会利用“等边对等角”进行三角形边角计算。 熟练运用“三线合一”完成线段、角度、垂直的几何证明。 能灵活选用定理判定等腰三角形，具备基础几何推理能力。 3.综合素养 建立数形结合、边角转化的几何思维，形成严谨的推理逻辑。 能运用等腰、等边三角形性质解题，养成分类讨论的严谨解题习惯。 ✺题型归纳 题型1.等边对等角 题型2.三线合一 题型3.根据等角对等边证明等腰三角形 题型4.根据等角对等边证明边相等 题型5.根据等角对等边求边长 题型6.含30度角的直角三角形 题型7.格点图中画等腰三角形 题型8.找出图中的等腰三角形 题型9.求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型10.等腰三角形的性质和判定 题型11.等边三角形的性质 题型12.等边三角形的判定 题型13.等边三角形的判定和性质 题型14.大（小）边对大（小）角定理 题型15.最短路径问题 题型16.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、等腰三角形的定义与基本概念 1.定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2.各部分名称 腰：等腰三角形中相等的两条边；底边：等腰三角形中不相等的第三条边； 顶角：两腰的夹角；底角：腰与底边的夹角（两个底角）。 3.基础特征 等腰三角形是轴对称图形，仅有1条对称轴，对称轴为底边上的高、底边上的中线、顶角平分线所在的同一条直线。 知识点二、等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等。简写成“等边对等角” 几何语言：若在△ABC中，AB=AC，则∠B=∠C。 关键提醒：等腰三角形的两个底角一定是锐角，顶角可以为锐角、直角或钝角， 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简写成“三线合一” 几何语言：①∵AB=AC,∠1=∠2.∴AD⊥BC或BD=DC ②∵AB=AC，AD⊥BC∴∠1=∠2或BD=DC ③∵AB=AC，BD=DC.∴∠1=∠2或AD⊥BC 知识点三、等腰三角形的判定方法 1.定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2.判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，该三角形为等腰三角形。简写成“等角对等边” 几何语言：若在△ABC中，∠B=∠C，则AB=AC。 易错提醒：“等边对等角”“等角对等边”两大定理，仅限同一个三角形内部使用。 知识点四、等腰直角三角形 1.定义：顶角为90°的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。如下图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC 2.核心特征： 两条腰相等，顶角为90°；即 AB=AC,∠A=90° 两个底角相等，均为45°；即∠B=∠C=45° 完全具备等腰三角形的所有性质，满足三线合一。 知识点五、等边三角形 1.定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。 ▲等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的全部性质。 2.等边三角形的性质 ◉三条边全部相等； ◉三个内角全部相等，且每一个角都等于60°； ◉是轴对称图形，共有3条对称轴； ◉全能三线合一：三条边上的中线、高、对应内角平分线均相互重合，三边都满足三线合一。 3. 等边三角形三种判定方法 判定1：三条边都相等的三角形是等边三角形； 判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形； 判定3：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 重要推论：只要等腰三角形中有一个内角为60°（无论顶角或底角），该三角形即为等边三角形。 4. 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 如上图，在Rt△ABC中，∠A=30°,则BC=AB. ✺题型精讲 题型1.等边对等角 1．若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：若的角为底角，则两底角和为，不符合三角形内角和； ∴ 的角为这个等腰三角形的顶角， ∴这个等腰三角形的底角度数为． 2．如图，在中，，直线分别与边交于点D，E，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】先根据等腰直角三角形的性质，求出的度数．因为中，是直角，所以可结合三角形内角和定理得到的度数．观察和与内角的关系，利用三角形外角的性质，建立和的数量关系．对得到的数量关系做变形，直接推导的度数． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． 3．如图，点在同一条直线上，与交于点，若，，，试说明：． 【答案】解：∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴． 【分析】首先由得到，然后证明，即可得到． 【详解】略 题型2.三线合一 1．工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”和重力方向是竖直向下的解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中点时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平， ∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”． 2．如图，在中，，，若，则的长为________． 【答案】6 【分析】由等角对等边得，根据等腰三角形三线合一得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，，于点D，E为上一点，且，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据垂直定义可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ． 题型3.根据等角对等边证明等腰三角形 1．一个三角形的两个内角的度数分别为和，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和为求出第三个内角的度数，再根据三角形的分类标准判断三角形的类型即可． 【详解】解：∵三角形内角和为，已知两个内角分别为和 ∴第三个内角的度数为 ∴该三角形的三个内角分别为，，，三个角都小于，都是锐角，且三个角互不相等 ∴这个三角形是锐角三角形，不是钝角三角形、直角三角形，也不是等腰三角形． 2．如图，中，、分别平分、，，，，则的周长_________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由角平分线的定义得出，结合平行线的性质得出，推出，同理，即可得解． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，     同理， ∵， 则的周长． 故答案为：． 3．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵与是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】先证明，得出，再证明，得出，最后根据等腰三角形的判定方法，得出结论即可． 【详解】略 题型4.根据等角对等边证明边相等 1．如图，在中，，D为的中点，下列结论不一定成立的是（   ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】根据等角对等边得出，根据三线合一得出，，即可判断． 【详解】解：∵， ∴， 又D为的中点， ∴，，， 故A、C、D选项正确，但不符合题意； B选项无法证明，故错误，符合题意． 2．在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 【答案】 【分析】先运用平行线的性质推出，，再运用角平分线的性质推出，，运用等量代换结合等角对等边的性质推出，，最后根据，代入数值即可求解． 【详解】∵， ∴，， ∵平分， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴． 3．如图，点C，D在上，，，，，相交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：在和中， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）利用全等三角形的对应边相等得到，再根据等角对等边得到，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2） 略 题型5.根据等角对等边求边长 1．如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，过点D作于点E，根据角平分线的性质定理得到，再由直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，的平分线交于点，交于点．如果，，那么_________． 【答案】 9 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义证得，从而得到，再结合求出，最后由求解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ，， ， ． 3．如图，在四边形中，，点E在边上，连接、，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】先利用平行线的性质、等角对等边以及相关已知条件证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】略 题型6.含30度角的直角三角形 1．在中，，，，则的长等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，据此即可求出的长． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 所对的直角边 ∵ ∴ ． 2．如图，在中，于点，，则的长为__________． 【答案】4 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出的度数，的度数，利用含角的直角三角形的性质依次求出、的长即可． 【详解】解：， ． ， ， ． ， ． 在中，， ． 3．在中，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）直接根据直角三角形两锐角互余计算即可； （2）根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴． 题型7.格点图中画等腰三角形 1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点C有（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查了作图与应用，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思想解决问题． 根据等腰三角形的定义和网格的特点即可求解． 【详解】解：如图所示： ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， 则一共有5个等腰三角形， 故选：B． 2．如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 【答案】8 【详解】解：如图，点，，，，，，，即为所求． ∴满足条件的点C的位置有8处． 3．在网格中，网格线的交点称为格点．已知O，A是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得为等腰三角形，那么满足条件的P点请在图中找出． 【答案】 【分析】结合图形，利用格点，分以和为腰时；以和为腰时；以和为腰时，三种情况进行讨论，即可解决． 【详解】解：以和为腰时，符合条件的等腰有6个， 以和为腰时，符合条件的等腰有5个， 以和为腰时，此时顶点P在格点上的情况不存在， ∴符合条件的等腰有11个． 题型8.找出图中的等腰三角形 1．如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【详解】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 2．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．    【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 3．如图，在中，，点在上，且， (1)请直接写出图中所有的等腰三角形； (2)求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定． （1）由在中，，，可得图中的等腰三角形有：，，； （2）首先设，然后由等腰三角形的性质，求得，然后由三角形的内角和定理，得到方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）解：在中，，， 图中的等腰三角形有：，，； （2）设， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ． 题型9.求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1．在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在y轴上确定点P，使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，首先算出的长，再以O为圆心，长为半径画圆，交y轴于两点，再作出的垂直平分线，与y轴交点也可以构造出等腰三角形，此时为点，得出只有两点即为P所在位置． 【详解】解：过点A作轴于点C， ∵， ∴，， ∴， 以O为圆心，2为半径画圆，交y轴于两点，， 作的垂直平分线，此时交点正好与点重合， 故使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有2个， 故选：C． 2．如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作____________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰直角三角形．以为直角边有四个，以为斜边有两个． 【详解】解：如图，以为直角边有四个，以为斜边有两个，共6个： 故答案为：6． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于x轴对称的，并直接写出点的坐标 ； (2)在坐标轴上找一点Q，使与全等，请直接写出一个符合条件的点Q的坐标 ； (3)点F在y轴上，且为等腰三角形，满足条件的点F有 个． 【答案】(1)见解析， (2)或 (3)4 【分析】本题考查了作轴对称图形，全等三角形的判定，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质；能根据轴对称图形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质进行作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据找出点即可求解； （3）等腰三角形的定义及线段垂直平分线的性质进行作图，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图所示，和即为所求； 点Q的坐标为或 故答案为：或； （3）解：如图，以A为圆心，长为半径作圆与y轴有两个交点，其中交点在直线上，所以只有一个点符合条件；以C为圆心，长为半径作圆交y轴两个交点；作的垂直平分线交y轴有一个交点，则满足条件的点F共有个， 故答案为：4． 题型10.等腰三角形的性质和判定 1．如图，在中，，，垂足为，且，若，则的长为（     ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】C 【分析】在上取一点使得，可证，则，则题目可解． 【详解】解：在上取一点使得， ， ， ，     ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为_______________ 【答案】 8 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质得出，利用三角形面积公式求出的长，再根据线段垂直平分线的性质得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当，，三点共线时周长最小，最小值为，由此求解． 【详解】解：连接，，如图， 是等腰三角形，点是底边的中点， ， ，且， ，解得， 是线段的垂直平分线，点在上， ， 的周长， 为定值， 要使的周长最小，只需最小， 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 的周长的最小值 3．如图中，，点，，分别是，，上的点，． (1)若，求证：； (2)若，，，求的长； (3)把（1）中的条件和结论反过来，即：若，则．这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) (3)这个命题不成立，理由如下： 如图，在和中，，，，无法判定和全等， ∴不能得到与相等． 【分析】（1）利用三角形角角边对应相等判定和全等，即可证得； （2）同（1）利用三角形角角边对应相等判定和全等，即可证得，再利用已知条件，，求得的长； （3）边边角相等无法判定两个三角形全等，从而无法证得与相等． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． （3） 略 题型11.等边三角形的性质 1．如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】证明以及所有的小等边三角形全等，进而解题． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ ． 2．请运用“特殊化”策略完成本题：如图，点是等边三角形内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别是，，，若，则的值为________． 【答案】9 【分析】根据点是等边三角形内任意一点，且最终结果为确定值，求出当点为等边三角形的三条高线的交点时，的值即可. 【详解】解：由题意，当点为等边三角形的三条高线的交点时， 由三线合一可知：为等边三角形三边的中点， ∴， ∴的值为9. 3．如图，是的高，点是的中点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，点是的中点， ， ， ， ， ， 是等边三角形； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得垂直平分，得出，再求出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质得出，再由点是的中点得到的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得是等边三角形， ，， ， ， ， ， ∵点是的中点， ． 题型12.等边三角形的判定 1．下列条件中，不一定是等边三角形的是（ ） A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个外角相等的等腰三角形 D．三边都相等的三角形 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定条件，解题的关键是掌握等边三角形的判定方法． 根据各选项结合等边三角形的定义和性质进行判断． 【详解】解：A. 有两个角是的三角形是等边三角形，该选项不符合题意； B. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形，该选项不符合题意； C. 有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，该选项符合题意； D. 三边都相等的三角形是等边三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，括号内可填：________（填一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，关键掌握三条边相等的三角形是等边三角形，有一个角等于度的等腰三角形是等边三角形． 根据，结合等边三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：三条边相等的三角形是等边三角形，三个内角是的三角形是等边三角形， ①如图，添加或时， ∵， ∴，即是等边三角形； ②添加或或时， ∵，， ∴是等边三角形； 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，在中，为边上一点，，过点作于点，，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若点是的中点，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明，得到，结合，推出，即可证明结论； （2）由（1）知，由已知可得，结合，推出即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 题型13.等边三角形的判定和性质 1．如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，连接，利用邻补角定义求出的度数，结合判定为等边三角形，从而得出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 2．如图，在等边中，于点D，点P、Q分别为、上，，，在上有一动点E使最短，则的最小值为______． 【答案】50 【分析】先由等边三角形的性质求出，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，求得，再证是等边三角形，得到即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为50． 3．如图，是等边三角形，点是内的一点，连接，点是上的一点，连接，连接并延长，交于点，若．求证：是等边三角形． 【答案】证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴, 同理可得， ∴是等边三角形． 【分析】由等边三角形的性质得到，则由三角形外角的性质得到，同理可得，据此可证明是等边三角形． 【详解】证明：略． 题型14.大（小）边对大（小）角定理 1．在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 2．在，已知，，那么___________．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据三角形中大边对大角即可得到结果． 【详解】解：在中，对的是，对的是， ，， ， ． 故答案为： ． 3．如图，已知：在中，，、是边上的两个三等分点．求证：． 【答案】证明：如图，延长至点F，使，连接， ∵， ∴， ∵、是边上的两个三等分点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴． 【分析】延长至点F，使，连接，先根据等边对等角得，再证得，得，，然后，根据“大边对大角”得，证得，即，可得，即． 【详解】略 题型15.最短路径问题 1．如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据直线外一点到直线上所有点中垂线段最短可知，最短路径为． 2．如图，，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若，，则的周长最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，进而证明当、、三点共线，即点与点重合时，最小，最小值为，进而即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 是线段的垂直平分线， ， 的周长， 要使的周长最小，即要使最小， 当、、三点共线，即点与点重合时，最小，最小值为， ，，， ， ， 的周长最小值是， 故答案为：． 3．如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可． 【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，； （2）解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． ✺巩固测试 一、单选题 1．已知一个等腰三角形的顶角为，则它的底角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形顶角为， ∴底角度数为． 2．如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余的性质、等角对等边的性质，根据直角三角形两锐角互余可知，根据直角三角形的性质可得，根据、可以求出，根据三角形外角的性质可得，根据等角对等边可得：． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ． 故选：D． 3．如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，现有一张三角形纸片，其中，为上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处，且折叠后得到的三角形是等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，结合折叠的性质得到，进而求出的度数，利用求解即可． 【详解】解：三角形是等边三角形， 、， 由折叠的性质得：、， ， ， ， ， ， ， 解得：． 5．如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 二、填空题 6．在中，，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查三角形的概念，根据三角形边角关系，大边对大角，比较和的长度，对，对，，由，得，即可解答． 【详解】解：在中，，即， ∵对，对，根据大边对大角， ∴． 故答案为：． 7．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 【答案】 【分析】首先根据在中，，于点，得到是的中线，进而得到，再利用不同的方式表示的面积，化简即可得到与的关系，最后进行求解得到答案． 【详解】解：∵在中，，于点， ∴是的中线， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴． 8．如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】延长到N，使，连接，延长交延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论． 【详解】解：如图，延长到N，使，连接，延长交延长线于E， ∵M是的中点， ∴，， ∴， ∴，， 又∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 9．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长为______ ． 【答案】 【分析】连接，在中，求出的度数，又由的垂直平分线交于点D，交于点E，可得，即可得，又由含角的直角三角形的性质，求得答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ． 10．如图，在中，，，分别是，的中垂线，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质和等边三角形的证明，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，， ∴， ∵，分别是，的中垂线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．如图，在中，，点D，E在边上，且． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， 在和中， ， ， ， ∴为等腰三角形； (2) 【分析】（1）先由等边对等角得到，再证明即可； （2）由等腰三角形的性质以及三角形的外角性质求出，然后由全等三角形的性质求出，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 12．如图，是等边三角形，D是边的中点，，且，交于点F． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：， ， ． ，，． 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， 是等边三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，根据平行线的性质即可求出的度数； （2）根据垂线的性质得到，可知，进而得到，，，根据等边三角形的性质得到，证明，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， D是边的中点， ． ， ； （2）略． 13．如图，在中，点D在边上，下面两个问题中请你选择一个加以证明(写出推理过程)． (1)求证：； (2)若， 试比较与的大小． 解：我选择的是 (填序号) 证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)，见解析，选择（1）或（2） 【分析】本题考查了三角形三边关系，不等式的性质，三角形内角和定理，外角性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先由三角形三边关系得到，再根据不等式的性质得到，而，即可证明； （2）先根据三角形的外角性质得到，再由三角形内角和定理以及得到，故，最后由大边对大角求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 14．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ (1)【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________． (2)【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值． (3)【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由． 【答案】(1)④，两点之间，线段最短； (2)11 (3)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短． 【详解】（1）解：正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）解：过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点P， 由对称轴的性质可得：，， ，， 的周长最小值为： ； （3）解：如图，最短， 理由：过点P分别作的对称点，， 连接与交点即为点C，D． ，， 最短． 15．如图，在中，，垂直平分，分别交，于点，，且满足． (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由等腰顶角求底角，依托三线合一得到，借助三角形外角建立角度等式算出； （2）利用三线合一推出，对周长做线段等量代换，结合转化线段，代入长度求出周长． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 解得； （2）∵，， ∴， ∴， ∴的周长：， 由（1）知：， ∴， ∴的周长：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $