课时规范练55 抛物线专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 围绕抛物线定义构建“定义应用-方程求解-性质探究”三阶训练体系，通过典例提炼定义转化、几何建模等方法，强化知识逻辑与数学抽象、逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例对点练|5题（定义1题、方程2题、性质2题）|定义法（距离转化）、几何性质应用（光学/中点）、方程参数求解|以定义为核心，推导标准方程，延伸几何性质，形成“概念-推导-应用”链条| |素能综合练|9题（综合应用）|定义与圆/直线综合、充要条件判断、最值问题转化|结合跨知识综合，强化数学思维，提升知识迁移与问题解决能力|

课时规范练55　抛物线 典例对点练 考点一　抛物线的定义及应用 1.(2025·广西南宁模拟)若抛物线y2=2px(p>0)上一点A到准线及对称轴的距离分别是5和3,则p的值为(　　) A.1或8 B.1或9 C.2或8 D.2或9 考点二　抛物线的标准方程 2.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为(　　) A.y2=x B.y2=9x C.y2=x D.y2=3x 3.已知抛物线C的准线与圆M:(x-1)2+(y+1)2=4相切,请写出一个抛物线C的标准方程:　　　　　　　　.  考点三　抛物线的几何性质 4.抛物线具有一条重要的光学性质:从焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线y2=4x的焦点F发出的入射光线过点(),则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在的直线方程为(　　) A.y=-1 B.y=2 C.y=3 D.y=4 5.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为　　　　.  素能综合练 6.若抛物线C的焦点到准线的距离为3,且抛物线C的开口朝左,则抛物线C的标准方程为(　　) A.y2=-6x B.y2=6x C.y2=-3x D.y2=3x 7.(2025·安徽皖江模拟)抛物线y=x2的焦点坐标是(　　) A.(0,2) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(2,0) 8.(2025·甘肃白银模拟)已知抛物线C的方程为x2=my,则“抛物线C经过点(4,1)”是“抛物线C的焦点为(0,2)”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.(2025·新疆模拟)已知圆C的圆心在抛物线y2=8x上,且圆C过定点(2,0),则圆C与直线x+1=0的位置关系为(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相离 10.(2025·山东济南模拟)以坐标原点为焦点,直线y=2为准线的抛物线的方程为(　　) A.x2=-4y-4 B.x2=-4y+4 C.x2=4y+4 D.x2=-2y+2 11.(2025·江苏灌云模拟)已知等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2x的焦点,另外两个顶点在抛物线上,则这个等边三角形的边长为(　　) A.2- B.2± C.4-2 D.4±2 12.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,与x轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A,B两点,且∠AFB=60°,则|AB|=(　　) A.2 B.2 C.2 D.4 13.(2023·全国乙,理13)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为　 .  14.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,P(1,4)为抛物线C上方一点,M为抛物线C上一动点,|MP|+|MF|的最小值为10,则p=　　　　　.  参考答案 课时规范练55　抛物线 1.B　解析 由题意不妨设点A的坐标为(x0,3),代入y2=2px(p>0)得9=2px0,则x0=. 由抛物线定义x0+=5, 即=5,解得p=1或p=9. 故选B. 2.D　解析 如图,分别过点A,B作准线的垂线,交准线于点E,D. 设|BF|=a,则|BC|=2a,由抛物线的定义得|BD|=a,故∠BCD=30°, ∴在Rt△ACE中,2|AE|=|AC|. ∵|AE|=|AF|=3,|AC|=3+3a, ∴3+3a=6,解得a=1. ∵BD∥FG,∴,∴p=. 因此抛物线的方程为y2=3x. 3.x2=-4y(答案不唯一)　解析 与圆M:(x-1)2+(y+1)2=4相切且与坐标轴平行或垂直的直线有y=1,y=-3,x=-1,x=3,对应的抛物线方程是x2=-4y,x2=12y,y2=4x,y2=-12x. 4.D　解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),过抛物线y2=4x的焦点F和点()的直线方程为y=(x-1)=(x-1).联立可得y2-3y-4=0,解得y=4或y=-1,结合已知条件可知反射光线所在的直线方程为y=4.故选D. 5.2　解析 由题意知抛物线的准线l:y=-1,过点A作AA1⊥l交l于点A1,过点B作BB1⊥l交l于点B1,图略.设弦AB的中点为M,过点M作MM1⊥l交l于点M1,则|MM1|=. ∵|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥6,∴|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3.故点M到x轴的距离d≥2,故最短距离为2. 6.A　解析 设抛物线C的标准方程为y2=-2px(p>0),由题意得p=3,所以抛物线C的标准方程为y2=-6x.故选A. 7.A　解析 y=x2,即x2=8y,则p=4,则其焦点坐标为(0,2).故选A. 8.D　解析 若抛物线x2=my经过点(4,1),则m=16,所以抛物线的方程为x2=16y,则抛物线的焦点坐标为(0,4),故充分性不成立;若抛物线C的焦点为(0,2),则=2⇒m=8,所以抛物线的方程为x2=8y,则42≠8×1,即抛物线x2=8y不经过点(4,1),所以必要性不成立. 故“抛物线C经过点(4,1)”是“抛物线C的焦点为(0,2)”的既不充分也不必要条件.故选D. 9.A　解析 抛物线y2=8x的焦点为(2,0),准线方程为x=-2,根据抛物线的定义可知,圆心C到焦点的距离等于到准线的距离,所以圆C与直线x+2=0相切. 又因为抛物线y2=8x的图象在x轴的右侧,所以圆C与直线x+1=0相交.故选A. 10.B　解析 不妨设点P(x,y)为抛物线上一点,由题意可知,点P到原点的距离等于点P到直线y=2的距离,所以=|y-2|,化简得出x2=4-4y,即抛物线的方程为x2=-4y+4.故选B. 11.D　解析 由题可知焦点(,0),准线方程为x=-,设等边三角形的边长为a,所以acos 30°+1=a或1-acos 30°=a,则a=4±2.故选D. 12.D　解析 由抛物线定义可知|BF|=|AB|,因为∠AFB=60°, 所以△ABF为等边三角形,故|AF|=|AB|=|BF|,∠BAF=60°,所以∠AFO=60°. 设准线l与x轴的交点为P,则|PF|=2,故|AF|==4,所以|AB|=4. 13.　解析 因为点A(1,)在抛物线C上,所以5=2p,所以p=,所以抛物线C的准线方程为x=-=-,所以点A到抛物线C的准线的距离为1+. 14.12　解析 设点M在抛物线C的准线上的射影为D,则|MF|=|MD|,要使|MP|+|MF|取最小值,即|MP|+|MD|取得最小值,当D,M,P三点共线时,|MP|+|MD|取得最小值,由4-(-)=10,解得p=12. 1 学科网（北京）股份有限公司 $